2022年圆中最值问题的求解方法宣贯 .pdf

1 圆中最值问题的求解方法有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短例 1 （2012 宁波）如图1， ABC 中， BAC 60， ABC 45， AB22，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分别交 AB ，AC 于点 E，F，连结 EF，则线段 EF 长度的最小值为_分析由垂线段的性质可知，当AD 为 ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短解如图 2，连结 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为H在 RtADB 中，ABC 45， AB 22，AD BD 2，即此时圆的直径为2由圆周角定理，可知EOH12EOF BAC 60，在 RtEOH 中，EH OE sinEOH 33122由垂径定理，可知EF2EH3点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆二、两点之间线段最短例 2 （2014 三明）如图3，在 RtABC 中， ACB 90，ACBC2，以 BC 为直径的半圆交AB 于点 D，P 是?CDCD 上的一个动点，连结AP，则 AP 的最小值是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 分析如图 4，取 BC 的中点 E，连结 AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得， AP1EP1AE ，即 AP2是 AP 的最小值再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可解如图 4，取 BC 的中点 E，连结 AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结 AP1，EP1，可得， AP1EP1AE ，22215AE，P2E1AP251即 AP2是 AP 的最小值点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短例 3 （ 2014 张家界）如图5，AB、CD 是半径为5 的O 的两条弦， AB 8，CD6，MN 是直径， AB MN 于点 E，CD MN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则PAPC 的最小值为 _分析 A、B 两点关于MN 对称，因而PAPCPB PC，即当 B、C、P在一条直线上时， PAPC 的最小，即BC 的值就是PAPC 的最小值解如图 6，连接 OA ，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于点 H根据垂径定理，得到在 RtBCH 中，根据勾股定理得到BC 72，则 PAPC 的最小值为72点评正确理解BC 的长是 PAPC 的最小值，是解决本题的关键例 4（2014 东营） 如图 7，在 O 中，AB 是 O 的直径， AB 8cm，?ACCDBD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 M 是 AB 上一动点，则CMDM 的最小值是 _cm解析如图 8，作点 C 关于 AB 的对称点C，连结 CD 与 AB 相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题， 点 M 为 CM DM 的最小值时的位置， 根据垂径定理可得?ACAC，然后求出 CD 为直径，从而得解CMDM 的最小值是8cm点评本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出 CM DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键四、利用切线的性质求最小值例 5（2010 苏州）如图9，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)， C 的圆心坐标为（ 1，0） ，半径为 1若 D 是 C 上的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点E，则ABE 面积的最小值是( ) (A)2 (B)1 (C)222(D)22解析根据三角形的面积公式，ABE 底边 BE 上的高AO 不变， BE 越小，则面积越小， 可以判断当AD 与 C 相切时， BE 的值最小根据勾股定理求出AD 的值， 然后根据相似三角形求出OE 的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解如图 10，由题意知道当DA 是圆 C 的切线时， OE 最短，此时 ABE 面积最小AC 213CD1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 故选 C点评本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE 的长度是解题的关键五、立体图形上两点之间最短距离例 6（2014 兰州）如图11，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm 的正三角形，母线的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路程解析如图 12，先确定扇形的圆心角，根据两点之间线段最短，再确定起点和终点，从而求解， ABC 为正三角形BC6l 2 3 6 根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得66180n故 n180，则 BAC 90，BP3693 5（米）答：小猫所经过的最短路程是35米点评本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，根据勾股定理求解以圆为载体的最值问题在中考试题中通常以选择、填空的压轴题频繁出现这类试题“小而精”，集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基本知识、基本技能、解题技巧、以及数学思维和数学素养，成为中考试题中的一朵奇葩，希望同学们在平时学习中，多注意练习总结这类题型的解题方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -