2022年圆锥曲线解题技巧方法总结 .pdf

1 圆锥曲线解题技巧方法总结1.圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要重视“ 括号 ” 内的限制条件 ：椭圆中 ， 与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数2a， 且此常数2a一定要大于21FF， 当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中 ，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 |F1F2|，定义中的 “ 绝对值 ” 与2a|F1F2|不可忽视 。若2a|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线， 若2a|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。例：方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时12222byax（0ab） ，焦点在 y 轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C 同号， AB） 。例： 若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2 ）（2） 双曲线： 焦点在 x轴上：2222byax=1， 焦点在 y 轴上：2222bxay1 （0,0ab） 。 方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B 异号） 。例：设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C 过点)10, 4(P，则C 的方程为 _（答：226xy）（3） 抛物线 ： 开口向右时22(0)ypx p， 开口向左时22(0)ypx p， 开口向上时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ：（1）椭圆：由 x2, y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _ （答：)23,1 ()1,(）（2）双曲线 ：由 x2, y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中， a最大，222abc，在双曲线中， c 最大，222cab。4.圆锥曲线的几何性质 ：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例） ：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b；准线：两条准线2axc；离心率 ：cea，椭圆01e， e越小，椭圆越圆； e越大，椭圆越扁。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 例（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则 m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为 _ （答：22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例） ：范围： xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a ，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc；离心率 ：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e， e越小，开口越小， e越大，开口越大；两条渐近线 ：byxa。（3）抛物线（以22(0)ypx p为例） ：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线2px；离心率 ：cea，抛物线1e。例：设Raa, 0，则抛物线24axy的焦点坐标为 _（答：)161, 0(a） ；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系 ：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab. 6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线， 共四条； P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线； （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan|2Sbc y， 当0|yb即 P 为短轴端点时，m axS的最大值为 bc；对于双曲线2tan2bS。练习： 点 P是双曲线上11222yx上一点，21,FF为双曲线的两个焦点，且21PFPF=24，求21FPF的周长。8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF；（3）设 AB 为焦点弦， A、B 在准线上的射影分别为A1，B1，若 P为 A1B1的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于C 点，则 A，O，C 三点共线。9、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则 AB 2121kxx ，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则AB 21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则 AB 2121kyy 。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “ 韦达定理 ” 或“ 点差法 ” 求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 FAPHBQ了检验0！11了解下列结论（1）双曲线12222byax的渐近线方程为0byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0 ）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2 p，焦准距为 p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为 AB，1122(,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA、OB 是过抛物线22(0)ypx p顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、(1)抛物线C:y2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。分析： （1）A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2） （2） （1 ,41）练习题1、已知椭圆 C1的方程为1422yx，双曲线 C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点。(1) 求双曲线 C2的方程；(2) 若直线 l：2kxy与椭圆 C1及双曲线 C2恒有两个不同的交点，且l 与 C2的两个交点 A 和 B满足6OBOA(其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。解： （）设双曲线 C2的方程为12222byax，则.1,31422222bcbaa得再由故 C2的方程为221.3xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 （II）将.0428)41 (1422222kxxkyxkxy得代入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221kkk即21.4k0926)31(1322222kxxkyxkxy得代入将.由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点A，B 得22222221 30,11.3( 6 2 )36(13)36(1)0.kkkkkk即且226 29(,), (,),131 366,(2)(2)AABBABABABABABABABABkA xyB xyxxxxkkOA OBx xy yx xy yx xkxkxuu u r uuu r设则由得而222222(1)2 ()2962(1)22131337.31ABABkx xk xxkkkkkkk22223715136,0.3131kkkk于是即解此不等式得22131.153kk或由、得.11513314122kk或故 k 的取值范围为13311313( 1,)(,)(,)(,1)15322315UUU2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB/OA ，MA?AB = MB?BA ，M 点的轨迹为曲线C。（）求 C 的方程；（） P为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。解：()设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以MAuuu r=（-x,-1-y）, MBuuu r=(0,-3-y), ABuuu r=(x,-2).再由愿意得知（MAuuu r+MBu uu r）?ABuuu r=0,即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y=14x2-2. ()设 P(x0,y0)为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为 y=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即200220 x xyyx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x =0 时取等号，所以 O 点到l距离的最小值为 2. 3、设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于4、过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作 x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F为右焦点，若1260F PFo，则椭圆的离心率为：5、已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上 .则1PF 2PF 6、已知直线20yk xk与抛物线2:8Cyx相交于 AB、两点， F 为C的焦点，若|2 |FAFB，则k7、已知直线1: 4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点 P 到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（ 2，2） ，则直线 l 的方程为 _. 9、椭圆22192xy的焦点为12,F F，点 P 在椭圆上，若1| 4PF，则2|PF；12F PF的大小为. 10、 过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 作倾斜角为45o的直线交抛物线于A、 B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_【 解 析 】 设 切 点00(,)P xy， 则 切 线 的 斜 率 为00|2x xyx. 由 题 意 有0002yxx又2001yx解 得 : 2201,2,1()5bbxeaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去 y,得210bxxa有唯一解 ,所以 =2( )40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa由渐近线方程为xy知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是222yx，于是两焦点坐标分别是（2， 0） 和 （2， 0） ， 且) 1 ,3(P或) 1,3(P.不妨去) 1 , 3(P，则) 1,32(1PF，) 1,32(2PF. 1PF2PF,32)(1,32(【解析】设抛物线2:8Cyx的准线为:2l x直线20yk xk恒过定点P2,0.如图过 AB、分别 作 AMl 于M , BNl 于N, 由|2|FAFB,则| 2 |AMBN,点 B 为 AP 的中点.连结OB,则1|2OBAF, | |OBBF点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为2 202 2(1,2 2)1( 2)3k, 故选 D 2111122122222212121212124,4441yxA xyB xyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，直线 l 的方程为 y-2=x-2,即y=x课后作业：1. 若动点 (x,y)在曲线14222byx(b0)上变化，则 x2+2y 的最大值为 (A ) (A) )4(2)40(442bbbb； (B) )2(2)20(442bbbb；(C) 442b；(D) 2b；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 2. 函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a( B ) (A) 18(B)41(C) 21(D)1 3. 设双曲线以椭圆192522yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（C ）A2B34C21D434从集合 1,2,3 ，11中任选两个元素作为椭圆方程12222nymx中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域B=( x,y)| |x|11且|y|9内的椭圆个数为（ B ）A43 B 72 C 86 D 90 5. 过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在6. 设直线:220lxy关于原点对称的直线为l，若l与椭圆2214yx的交点为 A、B、 ，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为12的点P的个数为（B ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 7 .已知双曲线)0(1222ayax的一条准线为23x，则该双曲线的离心率为（A ）（A）23（B）23（C）26（D）3328.双曲线22149xy的渐近线方程是 ( C) (A) 23yx(B) 49yx(C) 32yx(D) 94yx9.已知双曲线22163xy的焦点为1F、2F，点M在双曲线上且1MFx轴，则1F到直线2F M的距离为 (C ) (A) 3 65(B) 5 66(C) 65(D) 5610. 抛物线24xy上一点A的纵坐标为 4，则点A与抛物线焦点的距离为 (D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 11. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）（A）22（B）212（C）22（D）2112.已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则该双曲线与抛物线xy42的交点到原点的距离是（ B ）A23+6B21C21218D21 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 13.抛物线 y=42x上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( B) ( A ) 1617( B ) 1615( C ) 87( D ) 0 14.点 P(-3,1)在椭圆22221(0)xyabab的左准线上 .过点 P且方向为 a=(2,-5)的光线 ,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点 ,则这个椭圆的离心率为 (A ) ( A ) 33( B ) 31( C ) 22( D ) 2115.已知双曲线22ax22by1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点A， OAF 的面积为22a（O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为（D ）A30oB45oC60oD90o16. 已知双曲线22ax22by1（a0，b0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， OAF 的面积为22a（O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为（D）A30oB45oC60oD90o17. 双曲线)0(122mnnymx离心率为2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn 的值为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -