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    2022年复变函数复习题 .pdf

    • 资源ID:34251784       资源大小:273.79KB        全文页数:10页
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    2022年复变函数复习题 .pdf

    1 一、 复数基本概念及初等函数1、312(1)ii= 2、复数1i的模为,主辐角为3、13zi的指数表示式为4、设201zi(),则Im z5、1i6、( 1)Lni7、复数21ii()的值为8、求下列方程的根:(1)310z (2)sincos0zz二、 解析函数与调和函数1、 函数22( )f zzz在何处可导?何处解析?2、 设3322( )33f zxiyx yixy,证明它是解析函数,并求( )fz3、 若3232( )()f zmynx yi xlxy为解析函数,求,l m n4、 设22( , )(0)yu x yxxy证 明u(x,y)是 调 和 函 数 , 并 求 解 析 函 数( )( , )( , )f zu x yiv x y5、 设( ,)2(1) ,u x yxy求解析函数( )( , )( , )f zu x yiv x y,且使得(2)fi6、 若函数( )f zuiv在区域 D内解析,且( )f z在 D内是一个常数,证明( )fz是常数。三、 级数1、 级数1!2nnnnz的收敛半径为2、 若0(1)nnnaz在 z=2 处条件收敛,则它的收敛半径为3、 若03)nnnaz( 在 z 6处收敛,则它在z7 处名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 2 4、 把1( )2f zz在 z=1 处展开成泰勒级数5、 把23( )2zf zzz在下列指定圆环域内展开成洛朗级数:(1)2z(2)3z26、 把21( )(1)zf zzz在下列指定圆环域内展开成洛朗级数:(1)01z(2)1z四、 共形映射1、2wz在 z=1+i 处的伸缩率为,转动角为2、在映射2wz下,扇形区域0arg4z的像区域为3、11zwz将1z映射成什么图形?4、求将上半平面Im( )0z映射成单位圆1w,且满足( )0,arg( )2w iw i的分式线性映射。5、 求且满足(0)0,arg(0)2LL, 且将单位圆1z映射成单位圆1w的分式线性映射。五、 积分1、()()( )1zzizifze的奇点是2、z=0 是241( )zef zz的级极点。3、z=0 是2sin( )zf zz的级极点,且Re ( ),0s f z4、32( )tefzdttz,则( )f i ,()fi 5、求Re( )Cz dz,其中 C是连接 z=0 和 z=1+i 的直线段6、0sinizzdz7、12Re ,0zs z e8、求以下积分:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 3 (1)12zzedzz(2)1sinzzdzz(3)2312(1)izzedzzz(4)2252zzdzz-(z-1 )(5)1tanzzdz(6)3tanzzdz(7)20153sind(8)220sin 2(1)(2)xxdxxx(9)4011dxx9、如果( )f z在z1内解析,且1( )1f zz,证明:()!(0),(01)(1)nnnfrr r,n 取正整数参考答案:一、 1、9344i 2、2,4 3、32ie 4 、102sin5 5、482ie,9482ie 7 、42(cosln 2sinln 2)kei二、 1、在( 0,0)处可导,处处不解析 2 、22( )(33)6fzxyxyi3、3,1,3lmn 5 、2( )(1)f zzi三、 1、0 2、1 3、收敛4、10(1)( 1),122nnnnzz5、 (1)23433915()fzzzzz(2)223333( )2(2)(2)fzzzz6、 (1)2212( )222fzzzzz(2)23451222( )fzzzzz四、 1、22,42、0 arg2w4、z iwzi5、2iL ez五、1、(21) ,0,1,2ki k2、三级 3、一级, 0(提示:求洛朗展开式)4、32iie,32iie5、1(1)2i6、cos1 sin1(cos1 sin1)i7、16(提示:求洛朗展开式)8、 (1)0 (2)0 (3)1i(4)0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 4 一、填空题1、复数1zi的模z,辐角Arg z2、复数13zi的指数表示式为3、2(1)ii4、函数1( )2f zz关于z的幂级数展开式为二、选择题1、下列积分值可能不为0 的是() (利用柯西 -古萨基本定理判断)(A) 21coszzzdz(B) 1coszdzz(C) 131zdzz(D) 22zz dz2、0z为函数3sin( )zf zz的() (分别判断z=0 是分子分母的几级零点)(A) 零点(B)一级极点(C)二级极点(D) 三级极点3、映射2wz在点1zi处的伸缩率是()(A) 22i(B) 22(C) 1i(D) 24、函数( )f z在点 z 可导是( )fz在点 z 解析的 ( ) (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D)无关条件5.方程232zi所表示的曲线是( ) (A) 中心为23i,半径为2的圆周(B) 中心为23i,半径为2的圆周(C) 中心为23i,半径为2的圆周(D) 中心为23i,半径为2的圆周三、函数( )f zzz在何处可导?何处解析?四、已知( , )2(1)u x yxy,求( , )v x y使得( )f zuiv解析。五、 将函数1( )(1)(2)f zzz在下列区域中展成洛朗级数: (1)12z(2)2z六、计算下列积分: (1)2(1)zzedzz z( 2)22cos(1)zzdzz七、求把上半平面Im( )0z映射为圆域1w且满足(2 )0,arg(2 )0wiwi的分式线性变换。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 5 答案一、填空题1、2,24k2、32ie3、(4)2(cos2ln2sin2ln2)kei4、10( 1)2nnnnz(2z)二、选择题CCBBC 三、解:( )2( , )0, ( ,)2f zzzyiu x yv x yy0,0,2xyxyuuvv因此yxvu, 函数处处不可导,处处不解析。四、( , )2(1)2 ,2(1)xyu x yxyuy ux22( , )( )xyyuvvyv x yyx由于因此( ),2(1)xxyvxvux又由于,2( )2(1)( )(1)Cxxxx可得所以22( , )(1)v x yyxC五、解:111( )(1)(2)21f zzzzz(1)12z11,12zz21111(1( )2222212zzzz2111111(1)111zzzzzz因此22111111( )(1)(2)21248zzf zzzzzzz(2)2z211,1zz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 6 2111122(1( )221zzzzzz2111111(1)111zzzzzz因此234111137( )(1)(2)21f zzzzzzzz六、 (1)2(1)zzedzz z解:有 2 个奇点:120,1zz0010Re( ),0limlim1(1)1Re( ),1lim(1)lim(1)zzzzzzzzees f zzz zzees f zzez zz原式 =2(1)i e(2)22cos(1)zzdzz解:奇点为1z为二级极点2200cosRe( ),1lim (1)lim cos0(1)zzs f zzzz原式 =0七、解:设22iziwezi则24(2 )()(2 )4iiiiwewieziar g( 2 )ar ga r g ()0422iiwie因此所求的映射为22ziwizi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 7 一、填空题( 30 分)1、设121,32izzi,试用指数形式表示12zz= 2、方程310z的全部为3、复数z(1)ii的值为4、映射2( )f zzzi在点的伸缩率为,旋转角为5、在有限复平面上,函数1( )sinf zz的孤立奇点为6、函数1( )31f zz关于 z 的幂级数展开式为二、若函数( )f z在区域D 内解析,且( )fz在 D 内为常数,证明( )fz在 D 内必为常数 .(10 分)三、 证明22( ,)2u x yxxy为整个复平面上的调和函数,求( ,)v x y使得( )f zuiv解析。 (14 分)四、将函数( )(21)(2)zf zzz在下列区域中展成洛朗级数:(16 分)(1)12z(2)2z五、 (20 分)计算下列积分: ( 1)2252(1)zzdzz z(2)20cos1xdxx六 、 ( 10 分) 求把 上半平 面Im( )0z共 形映射 为圆 域0wwR的分 式线 性映 射wL z,且满足0( ),( )0L iwL i。答案一、填空题1、122ie,2、213(k0,1,2)kize3、1ln 224ike4、2,25、k6、03nnnz(13z)二、解:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 8 三、解:22,22 ,2xxxyyyuxuuy u,0 xxyyuu,此时, u 是调和函数。由于( )f zuiv解析,所以有22,xyuvx2 ,xyvuy从而22( ),vxyyg x解得( )Cg x故22vxyyC所以222( )2222f zuivxxyixyyCzziC()四、解:1121( )(21)(2)5 2152zf zzzzz(1)12z2233222223322311222211111(1)22222121121( )5 215212 11222(1)55 2221313248zzzzzzzzf zzzzzzzzzzz(2)2z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 9 222222231111111121222212111122(1)2211121( )5 215211112 1221(1)5 22253 13 113 1548zzzzzzzzzzzzf zzzzzzzzzzzz五、 (1)2252(1)zzdzz z解:有 2 个奇点:10,z(一级极点)21z(二级极点)Re( ),02,Re( ),12s f zs f z则原式 =2( 22)0i(2)20cos1xdxx解:原式 = 21cos21xdxx21ixedxx=1122Re,212ixeeisiiexi则122cosRe()11ixxedxdxexx从而120c o s12xedxx六、解:首先作分式线性变换01wwwR将圆域0wwR映射为1wR再作从上半平面Im( )0z到圆域1wR的分式线性映射iziwezi把上面两个映射复合,可得0iwwzieRzi,即0iziwwRezi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 10 由于()21( )R e0222iiRL iei因此所求的映射为0ziwL zwRizi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -

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