2022年2022年江苏省高三上学期期末数学试题分类：解析几何 .pdf

十三、直线与圆的方程（一）试题细目表地区 +题号类型考点思想方法南通泰州期末 13 填空直线与圆的位置关系无锡期末 10 填空直线与圆的位置关系镇江期末 11 填空圆的标准方程南京盐城期末 12 填空直线与圆的位置关系数形结合苏州期末 11 填空圆的标准方程苏北四市期末 12 填空圆的标准方程、对称性（二）试题解析1.（南通泰州期末 13）在平面直角坐标系xOy中，已知点( 4,0)A，(0,4)B，从直线AB上一点P向圆224xy引两条切线PC，PD，切点分别为C，D. 设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为 .【答案】3 22.（无锡期末 10）过圆2216xy内一点( 2,3)P作两条相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，则四边形ACBD的面积为【答案】 193.（镇江期末 11）已知圆C 与圆2y210 10y 0相切于原点，且过点A(0, 6)，则圆C 的标准方程为【答案】(+3)2(y+3)24.（南京盐城期末12） .在平面直角坐标系xOy中，若直线(3 3)yk x上存在一点P，圆22(1)1xy上存在一点Q，满足3OPOQ，则实数k的最小值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 【答案】37.（苏州期末 11）在平面直角坐标系Oy中，已知过点(2, 1)A的圆 C 和直线y 1 相切，且圆心在直线y2 上，则圆 C的标准方程为【答案】22(1)(2)2xy8.（苏北四市期末12）在平面直角坐标系xOy中，若圆1C ：222(1)(0)xyrr上存在点P，且点P关于直线0 xy的对称点Q在圆2C ：22(2)(1)1xy上，则的取值范围是【答案】21, 21十四、圆锥曲线（一）试题细目表地区 +题号类型考点思想方法南通泰州期末 1 填空集合的运算无锡期末 1 填空集合的运算镇江期末 1 填空集合的运算扬州期末 1 填空集合的运算常州期末 1 填空集合的运算南京盐城期末 1 填空集合的运算苏州期末 2 苏北四市期末 1 （二）试题解析1.（南通泰州期末 7）在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线28yx的焦点，则点F到双曲线221169xy的渐近线的距离为. 【答案】652.（无锡期末 11）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab与椭圆2211612xy的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则212PFPF的最小值为【答案】 83.（镇江期末 5）已知双曲线1222yax左焦点与抛物线xy122的焦点重合， 则双曲线的右准线方程为【答案】83x4.（扬州期末 10）在平面直角坐标系Oy 中，若双曲线22ax-22by=1（a0，b0）的渐近线与圆2+y2-6y+5= 0 没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是_.【答案】3(1,)25.（常州期末 9）在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10lxy与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线C 的离心率的取值范围是【答案】(1,2)6.（南京盐城期末6）.若抛物线22ypx的焦点与双曲线22145xy的右焦点重合，则实数p的值为【答案】 6 7.（苏州期末 3）在平面直角坐标系Oy中，抛物线28yx的焦点坐标为【答案】( 2,0)8.（苏北四市期末6）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为20 xy，则该双曲线的离心率为【答案】52名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 十五、解析几何综合题（一）试题细目表地区 +题号类型考点思想方法南通泰州期末 17 解答无锡期末 18 解答镇江期末 18 解答扬州期末 18解答常州期末 18解答南京盐城期末 18 解答苏州期末 18 解答苏北四市期末 18 解答（二）试题解析1.（南通泰州期末 17）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221xyab(0)ab的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆2289xy上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是AOM的面积的2倍，求直线AB的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，22ca，224 2ac解得2a，2c，所以2b. 所以椭圆的方程为22142xy. （2）方法一：因为2AOBAOMSS，所以2ABAM，所以点M为AB的中点 . 因为椭圆的方程为22142xy，所以( 2,0)A. 设00(,)M xy，则00(22,2)Bxy. 所以220089xy，2200(22)(2)142xy，由得200918160 xx，解得023x，083x（舍去） . 把023x代入，得023y，所以12ABk，因此，直线AB的方程为1(2)2yx即220 xy，220 xy. 方法二：因为2AOBAOMSS，所以2ABAM，所以点M为AB的中点 . 设直线AB的方程为(2)yk x. 由221,42(2),xyyk x得2222(1 2)8840kxk xk，所以22(2)(12)420 xkxk，解得222412Bkxk，所以22( 2)4212BMxkxk，22(2)12MMkyk xk，代入2289xy得22222428()()12129kkkk，化简得422820kk，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 即22(72)(41)0kk，解得12k，所以，直线AB的方程为1(2)2yx即220 xy，220 xy. 2.（无锡期末18）已知椭圆2222:1(0,0)xyEabab的离心率为22，12,F F分别为左，右焦点，,A B分别为左，右顶点，原点O到直线BD的距离为63. 设点P在第一象限，且PBx轴，连接PA交椭圆于点C.（1）求椭圆E的方程；（2）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；（3）求过点,B C P的圆方程（结果用t表示） . 【答案】解： （1）因为椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为22，所以222ac，bc，所以直线DB的方程为22yxb，又O到直线BD的距离为63，所以63112b，所以1b，2a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 所以椭圆E的方程为2212xy.（2）设(2, )Pt，0t，直线PA的方程为(2)22tyx，由2212(2)2 2xytyx，整理得2222(4)2 2280txt xt，解得：224 224Ctxt，则点C的坐标是2224 224(,)44tttt，因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，22142 22244AOCttStt，232214 222( 2)244PBCttSttt，则32222 244tttt，解得2t.所以直线PA的方程为220 xy.（3）因为(2,0)B，(2, )Pt，2224224(,)44ttCtt，所以BP的垂直平分线2ty，BC的垂直平分线为22224ttyxt，所以过,B C P三点的圆的圆心为228(, )22(4)ttt，则过,B C P三点的圆方程为22228()()22(4)ttxyt42222(4)4ttt，即所求圆方程为222228 24txxyt2804tyt. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3.（镇江期末 18）如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知椭圆)0(1:2222babyaxE的离心率为22，左焦点 F ( 2,0) ，直线 ly t 与椭圆交于A, B 两点， M 为椭圆上异于A, B 的点. （1）求椭圆 E 的方程；（2）若1,6M，以 AB 为直径的圆P 过 M 点，求圆 P的标准方程；（3）设直线 MA,MB 与 y 轴分别交于C,D，证明： OC OD 为定值 . 【答案】（1）因为22cea，且2c，所以2 2,2ab，所以 椭圆 E 的方程为22184xy. (2)设( , )A s t，则(, )Bs t，且2228st因为 以 AB为直径的圆P 过 M 点，所以MAMB，所以0MA MB又(6,1),(6,1)MAstMBst，所以226(1)0st由解得：13t，或1t（舍） ，所以2709s. 又圆 P 的圆心为 AB的中点(0, ) t，半径为2ABs，所以 圆 P 的标准方程为22170()39xy. (3)设 M00(,)xy，则MAl的方程为0000()tyyyxxsx，若不存在，显然不符合条件.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 令0 x得000ctxsyysx；同理000Dtxsyysx所以222200000022000cDtxsytxsyt xs yOC ODyysxsxsx222222000222200(82)(82)884(82)(82)22tytytyytty为定值 . 4.（扬州期末 18）已知椭圆 E1：22ax+22by=1（ab0） ，若椭圆E2：22max+22mby=1（ab0，m1） ，则称椭圆E2与椭圆E1“ 相似 ” . (1) 求经过点 (2 ,1)，且与椭圆E1：22x+y2=1“ 相似 ” 的椭圆 E2的方程；(2) 若 m=4，椭圆 E1的离心率为22， P 在椭圆 E2上，过 P 的直线 l交椭圆 E1于 A,B 两点，且 AP? ? ? ? ? = AB? ? ? ? ? ，若 B 的坐标为 (0,2)，且 = 2，求直线 l 的方程；若直线 OP,OA 的斜率之积为21，求实数 的值. 【答案】解：设椭圆2E的方程为2212xymm，代入点( 2,1)得2m，所以椭圆2E的方程为22142xy 3 分因为椭圆1E的离心率为22，故222ab，所以椭圆2221:22Exyb又椭圆2E与椭圆1E“相似”，且4m，所以椭圆2221:28Exyb，设112200(,),(,),(,)A x yB xyP xy，方法一：由题意得2b，所以椭圆221:28Exy，将直线:2lykx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 代入椭圆221:28Exy得22(1 2)80kxkx，解得1228,012kxxk，故212224,212kyyk，所以222824(,)1 212kkAkk 5 分又2APAB，即B为AP中点，所以2228212(,)1212kkPkk， 6 分代入椭圆222:232Exy得222228212()2()32121 2kkkk，即4220430kk，即22(103)(21)0kk，所以3010k所以直线l的方程为30210yx 8 分方法二：由题意得2b，所以椭圆221:28Exy，222:232Exy设( , ), (0,2)A x yB，则(,4)Pxy，代入椭圆得2222282(4)32xyxy，解得12y，故302x 6 分所以3010k，所以直线l的方程为30210yx 8 分方法一：由题意得22222222200112228,22,22xybxybxyb，010112yyxx，即010120 x xy y，APAB，则01012121(,)(,)xxyyxxyy，解得012012(1)(1)xxxyyy 12 分所以2220101(1)(1)()2()2xxyyb则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2xx xxyy yyb222222200010111(2)2(1)(2)(1) (2)2xyx xy yxyb所以222228(1)22bbb，即224(1)，所以52. 16 分方法二：不妨设点P在第一象限，设直线:(0)OP ykx k，代入椭圆2222:28Exyb，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解得022 212bxk，则022 212bkyk，直线,OP OA的斜率之积为12，则直线1:2OA yxk，代入椭圆2221:22Exyb，解得12212bkxk，则1212bykAPAB，则01012121(,)(,)xxyyxxyy，解得012012(1)(1)xxxyyy，所以2220101(1)(1)()2()2xxyyb则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2xx xxyy yyb222222200010111(2)2(1)(2)(1) (2)2xyx xy yxyb所以2222222222 222 282(1)()2)(1)2212121212bbkbkbbbbkkkk，即222228(1)22bbb，即224(1)，所以525.（常州期末 18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0( 1:2222babyaxC的右焦点为F，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于NM ,两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于P点已知MNAM，且243OA OMb（1）求椭圆C的离心率e；（2）若103AMNPOFSSa，求椭圆C的标准方程【答案】解： （1）由题意22222221()( )22xyabaaxy，消去 y 得22220cxaxba，解得2122abxa xc，所以22(,0)Mabxac，22243MAabOA OMx xabc，2234ca，所以32e；（2）由（ 1）22 2(,)33Mbb，右准线方程为4 33xb，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 直线MN的方程为2yx，所以4 34 6(,)33Pbb，2134 6=2 2223POFPSOF ybbb，22 24 22233AMNAOMMSSOAybbb，所以224 2102 2+33bba，210 22033bb，所以2,2 2ba，椭圆C的标准方程为12822yx6.（南京盐城期末18） .如图， 在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的下顶点为B，点,M N是椭圆上异于点B的动点，直线,BM BN分别与x轴交于点,P Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点3(3,)2处时，点Q的坐标为2 3(,0)3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点,M N均在y轴右侧，且2DNNM时，求直线BM的方程【答案】 解： （1）由32( 3,),(3,0)23NQ，得直线NQ的方程为332yx2 分令0 x，得点B的坐标为(0,3)所以椭圆的方程为22213xya4 分将点N的坐标3( 3,)2代入，得2223()( 3)213a，解得24a所以椭圆C的标准方程为22143xy8 分x y O B N M P Q D 第 18 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - （2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k，则直线BM的方程为3ykx在3ykx中，令0y，得3Pxk，而点Q是线段OP的中点，所以32Qxk所以直线BN的斜率0(3)2302BNBQkkkk10 分联立223143ykxxy，消去y，得22(34)8 30kxkx，解得28 334Mkxk用2k代k，得216 33 16Nkxk12 分又2DNNM，所以2()NMNxxx，得23MNxx14 分故228 316 32334316kkkk，又0k，解得62k所以直线BM的方程为632yx16 分方法二：设点,M N的坐标分别为1122(,),(,)x yxy由(0,3)B，得直线BN的方程为1133yyxx，令0y，得1133Pxxy同理，得2233Qxxy而点Q是线段OP的中点，所以2PQxx，故121232 333xxyy10 分又2DNNM，所以2122()xxx，得21203xx，从而1241333yy，解得214333yy12 分将2121234333xxyy代入到椭圆C的方程中，得2211(43)1927xy又22114(1)3yx，所以21214(1)(43)31927yy，即2113230yy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解得13y（舍）或133y又10 x，所以点M的坐标为4 23(,)33M 14 分故直线BM的方程为632yx16 分7.（苏州期末 18）在平面直角坐标系Oy 中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3( 21)（1）求椭圆 C的标准方程；（2）已知过点(0, 1)M的动直线l 与椭圆 C交于A，B 两点，试判断以 AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由【答案】解（ 1）由题意22ca，故2ac， 1 分又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3( 21)，所以3 23ac， 2 分解得3c，3 2a，所以2229bac， 4 分所以椭圆 C的标准方程为221189xy. 6 分（2）当直线 l 的斜率为 0 时，令1y，则4x，此时以 AB为直径的圆的方程为2(1)16xy 7 分当直线 l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229xy， 8 分联立222(1)16,9,xyxy解得0,3xy，即两圆过点(0,3)T猜想以 AB为直径的圆恒过定点(0,3)T 9 分对一般情况证明如下：设过点(0, 1)M的直线 l 的方程为1ykx与椭圆 C交于1122(,),(,)A x yB xy, 则221,218,ykxxy整理得22(12)4160kxkx，所以121222416,1212kxxx xkk 12 分（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3 分）OyxBAM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 因为1122121212(,3) (,3)3()9TA TBx yxyx xy yyy121212(1)(1)3(11)9x xkxkxkxkx21212(1)4 ()16kx xk xx22222216(1)1616(12)16160121212kkkkkk，所以TATB所以存在 以 AB为直径的圆恒过定点T，且定点 T的坐标为(0,3) 16 分8.（苏北四市期末18）如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，且过点312( ， ).F为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点 . 求椭圆的标准方程；若AFFC，求BFFD的值；设直线AB，CD的斜率分别为1k，2k，是否存在实数， 使得21kmk，若存在， 求出的值； 若不存在，请说明理由 .【答案】（1）设椭圆方程为22221(0)xyabab，由题意知：22121914caab 2 分解之得：23ab，所以椭圆方程为：22143xy4 分（2）若 AFFC ，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3( 1,)2B，此时直线BF方程为3430 xy，6 分由223430,1,43xyxy，得276130 xx，解得137x（1x舍去）， 8 分ACyDBOxF（第 18 题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 故1( 1)713317BFFD10 分（3）设00,)A xy（，则00(,)Bxy，直线AF的方程为00(1)1yyxx，代入椭圆方程22143xy，得2220000(156)815240 xxyxx，因为0 xx是该方程的一个解，所以C 点的横坐标008552Cxxx，12 分又(,)cCC xy在直线00(1)1yyxx上，所以00003(1)152Ccyyyxxx，同理，D点坐标为0085(52xx，003)52yx，14 分所以000002100000335552528585335252yyyxxkkxxxxx，即存在53m，使得2153kk16 分名师资料总结 - 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