2022年2022年空间向量的数量积运算 .pdf

金太阳新课标资源网 第 1 页 共 6 页金太阳新课标资源网空间向量的数量积运算知识点一求两向量的数量积如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为a，ABOC. 解 由题意知|AB| = |AC| = |AO| = a， 且 ABAO= 120AB，CA = 120ABOC=AB （OACA= ABOAABCA ,= a2cos120a2cos120 0 【反思感悟】在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如AB，AC 60 时， AB，CA 120 . 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD 4，E 为 AB1的中点，F 为 A1D1的中点，试计算：（1BC1ED；（2BF1AB；（3）EF1FC.解如图所示，设ABa，ADb，AA1c，则 |a|c|2，|b|4，a bb cc a0. （1）BC1ED= b 12（c a ）+b= | b |2 = 42 = 16 .(2)BF1AB= （c a +12b ） （ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.（3）EF1FC = 12(ca)12b (12ba)12(abc) (12ba)12|a|214|b|22. 知识点二利用数量积求角如图，在空间四边形OABC 中， OA8，AB6，AC4，BC5， OAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 金太阳新课标资源网 第 2 页 共 6 页金太阳新课标资源网45 ， OAB 60 ，求 OA 与 BC 所成角的余弦值解 . BCACAB,所以OABC=OAACOAAB=|OA|AC|cosOA，AC| OA| |AB| cosOA,AB=84cos13586cos12016 224,cosOA,BC=OA BC|OA|BC|.2416 2853225. 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为32 25. 【反思感悟】在异面直线上取两个向量， 则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题 需注意的是： 转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补在二面角 l中， A，B ， C， D l，ABCD 为矩形， P ， PA ，且 PAAD，M、N 依次是 AB、PC 的中点(1)求二面角 l 的大小；(2)求证： MNAB；(3)求异面直线PA与 MN 所成角的大小(1)解 PA，l? PAl，又 AD l，PAAD=A ，l平面 PAD， lPD，故 ADP 为二面角 -l-的平面角，由 PA=AD 得 ADP=45 . 二面角 -l- 的大小为 45. （2）证明PCPDDC，PN12PC12PD12DC12(ADAP)12DC，ANPNPA PNAP，AN12AD12AP12DC，MNANAM= 12AD12AP12DC12DC= 12AD12AP，ADAB，APAB ADAB 0，APAB0， MNAB. (3)解 设 AP a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 金太阳新课标资源网 第 3 页 共 6 页金太阳新课标资源网由(2)得MN12AD12APAPAN12AD AP12AP AP12a2，|AP|AD| a，| MN|(12AD12AP)214AD214AP222a， cos | APANAPAN22，即异面直线P A 与 MN 所成角为 45 . 知识点三利用数量积证明垂直关系如图所示， m，n 是平面 内的两条相交直线如果lm，ln，求证： l . 证明 在 内作任一直线g，分别在 l，m，n， g 上取非零向量l，m，n，g. 因为 m 与 n 相交，所以向量m，n 不平行由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x，y)，使 gxm yn. 将上式两边与向量l 作数量积，得 l gxl m yl n. 因为 l m0， l n0，所以 l g0, 所以 lg.即 lg. 这就证明了直线l 垂直于平面内的任意一条直线，所以 l . 【反思感悟】证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零已知：在空间四边形OABC 中， OA BC，OBAC，求证： OC AB. 证明OA BC，OBACOABC= 0，OBAC= 0.OCAB(OB+BC) ( AC+ CB) = OB ACOB CBBC AC BC CB=OBCBBC (AC CB) = OB CBBCABBC (ABBO)BC AO0，OCAB， OCAB. 课堂小结 ：空间两个向量a，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a b|a|b|cosa，b ，这里 a，b表示空间两向量所成的角(0 a，b )空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题即(1)利用 ab? a b0 证线线垂直 (a，b 为非零向量 )(2)利用ab|a| |b|cosa，b ，cos ab|a| |b|，求两直线的夹角(3)利用 |a|2a a，求解有关线段的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 金太阳新课标资源网 第 4 页 共 6 页金太阳新课标资源网度问题一、选择题1若 a，b 均为非零向量，则a b|a|b|是 a 与 b 共线的 ( ) A充分不必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件答案 A 解析 a b|a|b|cosa，b |a|b| ? cosa，b 1? a， b 0，当 a 与 b 反向时，不能成立2已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 |a3b|等于 ( ) A.7 B.10 C.13 D4 答案C 解析|a3b|2(a3b)2a26a b9b216 cos60 913. 3对于向量a、b、 c和实数 ，下列命题中真命题是( ) A若 a b 0，则 a0 或 b 0 B若 a0，则 0 或 a0 C若 a2b2，则 ab 或 a bD若 a b a c，则 bc答案B 解析A 中若 ab，则有 a b0，不一定有a0，b0. C 中当|a|b|时， a2 b2，此时不一定有a b或 a b. D 中当 a0 时， a ba c，不一定有bc. 4已知四边形ABCD 满足： *6 OC BC0，BC CD0，CDDA0，DA *6 OC0，则该四边形为 ( ) A平行四边形B梯形C平面四边形D空间四边形答案D 5已知 a、 b是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线 l 上，则 c a0且 c b0 是 l的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B 二、填空题6已知向量a、b满足条件： |a|2，|b|2，且 a 与 2ba 互相垂直，则a 与 b 的夹角为 _答案45解析因为 a 与 2ba 垂直，所以a (2b a)0. 即 2a b|a|20，所以 2|a|b| cosa，b |a|20，所以 42cosa， b 40? cos a，b22，所以 a 与 b 的夹角为 45 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 金太阳新课标资源网 第 5 页 共 6 页金太阳新课标资源网7. 已知线段AB,BD 在平面 内,ABD=120 ,线段 AC ,如果 AB=a,BD=b,AC=c, 则|CD|为_答案a2b2c2ab解析 |CD|2 |ABBDAC|2AB2 BD2 AC2 2AB BD2AB AC2BD ACa2b2 c2 2abcos60 a2b2c2ab. |CD|a2b2 c2 ab.a2b2c2ab. 8已知 |a| 3 2，|b|4，mab，na b， a，b135 ，mn，则 _. 答案32解析由 m n0，得 (ab) (a b)0，列方程解得 32. 三、解答题9. 如图，已知 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 C1D1的中点， 试求向量11A C与DE所成角的余弦值.解设正方体的棱长为m，ABa，ADb，AA1c，则|a|b|c|m. a bb cc a0. 又11A CA1B1B1C1ABAD ab，DEDD1D1EDD112D1C1 c12a. 11A C DE(ab) (c12a) a cb c12a212a b12a212m2. 又 | 11A C|2m，|DE|2m，cos11A C，DE= 1111| |A CDEA CDE12m22m52m1010. 10已知在平行六面体ABCDABCD中， AB4，AD3，AA 5， BAD90 ， BAA DAA 60 . (1)求 AC 的长 (如图所示 )；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 金太阳新课标资源网 第 6 页 共 6 页金太阳新课标资源网(2) 求AC与AC的夹角的余弦值解 (1)AC= AB+ AD+ AA,|AC|2 = (AB+AD+ AA)2=|AB|2 + | AD|2+ | AA|2 + 2 (ABAD+ABAA+ ADAA) = 42 + 32 + 52 +2（0+10+7. 5）= 85.|AC| 85. (2) 方法一AC与AC的夹角为 ,四边形 ABCD 是矩形 ,|AC| = 22345。cos AC2AC2CC22AC AC85252528558510. 方法二设ABa，ADb，AAc，依题意ACAC (abc) (a b) a22a bb2a c bc1609 45 cos60 3 5 cos6016910152852. cos | ACACACAC= 85285 58510.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -