2022年大学高等数学下考试题库 .pdf

高等数学试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点1M1 ,3 ,2到点4,7,22M的距离21MM（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量jibkjia2,2，则有（）. A.abB.abC.3,baD.4,ba3.函数1122222yxyxy的定义域是（）. A.21,22yxyxB.21,22yxyxC.21,22yxyxD21,22yxyx4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）. A.0baB.0baC.0baD.0ba5.函数xyyxz333的极小值是（）. A.2 B.2C.1 D.16.设yxzsin，则4, 1yz（）. A.22B.22C.2D.27.若p级数11npn收敛，则（）. A.p1B.1pC.1pD.1p8.幂级数1nnnx的收敛域为（）. A.1 , 1B1 , 1C.1 ,1D.1 , 19.幂级数nnx02在收敛域内的和函数是（）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - A.x11B.x22C.x12D.x2110.微分方程0ln yyyx的通解为（）. A.xceyB.xeyC.xcxeyD.cxey二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点3,0,0A且垂直于直线AB， 其中点1 ,1,2B， 则此平面方程为_. 2.函数xyzsin的全微分是 _. 3.设13323xyxyyxz，则yxz2_. 4.x21的麦克劳林级数是_. 5.微分方程044yyy的通解为 _. 三 .计算题（ 5 分6）1.设vezusin，而yxvxyu,，求.,yzxz2.已知隐函数yxzz,由方程05242222zxzyx确定，求.,yzxz3.计算dyxD22sin，其中22224:yxD. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径） . 5.求微分方程xeyy23在00 xy条件下的特解 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 四 .应用题（ 10 分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、 宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2.曲线xfy上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点31, 1，求此曲线方程. 试卷 1 参考答案一.选择题CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622zyx. 2.xdyydxxycos. 3.19622yyx. 4. nnnnx0121. 5.xexCCy221. 三 .计算题1.yxyxyexzxycossin，yxyxxeyzxycossin. 2.12,12zyyzzxxz. 3.202sindd26. 4.3316R. 5.xxeey23. 四 .应用题1.长、宽、高均为m32时，用料最省 . 2.312xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 高数试卷2（下）一.选择题（ 3 分10）1.点1 , 3, 41M，2, 1 ,72M的距离21MM（） . A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122zyx和05yx，则两平面的夹角为（）. A.6B.4C.3D.23.函数22arcsinyxz的定义域为（）. A.10,22yxyxB.10,22yxyxC.20,22yxyxD.20,22yxyx4.点1 ,2, 1P到平面0522zyx的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232yxxyz的极大值为（）. A.0 B.1 C.1D.216.设223yxyxz，则2,1xz（） . A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数0nnar是收敛的，则（）. A.1rB. 1rC.1rD.1r8.幂级数nnxn01的收敛域为（）. A.1 , 1B.1 , 1C.1 ,1D. 1 , 19.级数14sinnnna是（）. A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln yyyx的通解为（）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - A.cxeyB.xceyC.xeyD.xcxey二.填空题（ 4 分5）1.直线l过点1,2,2A且与直线tztytx213平行，则直线l的方程为 _. 2.函数xyez的全微分为 _. 3.曲面2242yxz在点4, 1 ,2处的切平面方程为_. 4.211x的麦克劳林级数是_. 5.微分方程03ydxxdy在11xy条件下的特解为_. 三 .计算题（ 5 分6）1.设kjbkjia32,2，求.ba2.设22uvvuz，而yxvyxusin,cos，求.,yzxz3.已知隐函数yxzz,由233xyzx确定，求.,yzxz4.如图，求球面22224azyx与圆柱面axyx222（0a）所围的几何体的体积. 5.求微分方程023yyy的通解 . 四.应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由xyxy2,和4x所围图形的面积. 2.如图，以初速度0v将质点铅直上抛， 不计阻力，求质点的运动规律.txx（提示：gdtxd22.当0t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 时，有0 xx，0vdtdx）试卷 2 参考答案一.选择题CBABA CCDBA. 二.填空题1.211212zyx. 2.xdyydxexy. 3.488zyx. 4.021nnnx. 5.3xy. 三 .计算题1.kji238. 2.yyxyyyyxyzyyyyxxz3333223cossincossincossin,sincoscossin. 3.22,zxyxzyzzxyyzxz. 4. 3223323a. 5.xxeCeCy221. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 四 .应用题1.316. 2. 00221xtvgtx. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共 30 分）1、二阶行列式2 -3 的值为（）4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）A、i-j+2kB、8i-j+2k C、8i-3j+2kD、 8i-3i+k3、点 P（-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为（）A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数 z=xsiny 在点（ 1，4）处的两个偏导数分别为（）A、,22,22B、,2222C、2222D、22,225、设 x2+y2+z2=2Rx，则yzxz,分别为（）A、zyzRx,B、zyzRx,C、zyzRx,D、zyzRx,6、设圆心在原点，半径为R，面密度为22yx的薄板的质量为（） （面积 A=2R）A、R2A B、2R2A C、3R2A D、AR2217、级数1)1(nnnnx的收敛半径为（）A、2 B、21C、 1 D、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - A、0)1(nn)!2(2nxnB、1)1(nn)!2(2nxnC、0)1(nn)!2(2nxnD、0) 1(nn)!12(12nxn9、微分方程 (y)4+(y)5+y+2=0 的阶数是（）A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y+3y+2y=0 的特征根为（）A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5 小题，每题4 分，共 20 分）1、直线 L1：x=y=z 与直线 L2：的夹角为zyx1321_。直线 L3：之间的夹角为与平面062321221zyxzyx_。2、 （0.98）2.03的近似值为 _,sin100的近似值为 _。3、二重积分DyxDd的值为1:,22_。4、幂级数的收敛半径为0!nnxn_，0!nnnx的收敛半径为_。5、微分方程y=xy 的一般解为 _，微分方程xy+y=y2的解为 _。三、计算题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=17 2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2 2、求曲线 x=t,y=t2,z=t3在点（ 1，1，1）处的切线及法平面方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3、计算DxyxyD，xyd围成及由直线其中2, 1. 4、问级数11sin)1(nn？，？n收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗5、将函数 f(x)=e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求y+3y+2y=0的一般解四、应用题（本题共2 小题，每题10 分，共 20 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。 由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为k）已知 t=0 时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间 t 变化的规律。参考答案一、选择题1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10,A 二、填空题1、218arcsin,182cosar2、0.96，0.17365 3、 4、0，+5、ycxceyx11,22三、计算题1、 -3 2 -8 解：= 2 -5 3 = （-3） -5 3 -2 2 3 +（-8 ）2 -5 =-138 1 7 -5 7 -5 1 -5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 17 2 -8 x= 3 -5 3 =17 -5 3 -2 3 3 +（-8 ） 3 -5 =-1382 7 -5 7 -5 2 -5 2 7 同理：-3 17 -8 y= 2 3 3 =276 , z= 414 12 -5 所以，方程组的解为3, 2, 1zzyyxx2、解：因为x=t,y=t2,z=t3, 所以 xt=1,yt=2t,zt=3t2，所以 xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3 故切线方程为：312111zyx法平面方程为： （x-1 ）+2(y-1)+3(z-1)=0 即 x+2y+3z=6 3、解：因为D由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：1y 2 yx2 故：212132811)22(dyyydyxydxxydyD4、解：这是交错级数，因为。，。n，n，nn，x，x，xn。，nVn，Vn，nVnnnnn原级数条件收敛所以发散从而发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以1111sin1111sinlimsin01sin01sinlim,101sin5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 、解：因为),(!1! 31! 21132xxnxxxenw用 2x 代 x，得：),(!2! 32! 2221)2(!1)2(! 31)2(! 21)2(13322322xxnxxxxnxxxennnx6、解：特征方程为r2+4r+4=0 所以， （r+2）2=0 得重根 r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e-2x四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z 则 2（xy+yz+zx ）=a2构造辅助函数F（x,y,z）=xyz+)222(2azxyzxy求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：yz+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 xy+2(x+y)=0 与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于x,y,z 均不等于零可得 x=y=z 代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=66a所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为3663axyzV名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2、解：据题意。：，eM，MC，MMMce，MCtMdtMdMMdtdMMMMdtdMtttt而按指数规律衰减铀的含量随时间的增加铀的衰变规律为由此可知所以所以又因为所以两端积分得式对于初始条件为常数其中000000lnln0高数试卷4（下）一选择题：03103下列平面中过点（,1）的平面是（）（）（）（）在空间直角坐标系中，方程222yx表示（）圆（）圆域（）球面（）圆柱面二元函数22)1()1(yxz的驻点是（） （ ,） （）（,）（） （ ,）（）（ ,）二重积分的积分区域是4122yx，则Ddxdy（）（）4（）3（）15交换积分次序后xdyyxfdx010),(（）xdyxfdyy110),(（）1010),(dxyxfdy（）ydxyxfdy010),(（）100),(dxyxfdyx阶行列式中所有元素都是，其值是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - （）（）（）！（）对于元线性方程组，当rArAr)()(时,它有无穷多组解,则（）（）（）（）无法确定下列级数收敛的是（）111)1(nnnn（）123nnn（）11)1(nnn（）11nn正项级数1nnu 和1nnv 满足关系式nnvu，则（）若1nnu 收敛，则1nnv 收敛（）若1nnv 收敛，则1nnu 收敛（）若1nnv 发散，则1nnu 发散（）若1nnu 收敛，则1nnv 发散已知：2111xxx，则211x的幂级数展开式为（）421xx（）421xx（）421xx（）421xx二填空题：0254数)2ln(12222yxyxz的定义域为若xyyxf),(，则) 1 ,(xyf已知),(00yx是),(yxf的驻点，若ayxfyxfyxfxyyyxx),(,12),(,3),(00000,0则当时，),(00yx一定是极小点矩阵为三阶方阵，则行列式A3A级数1nnu 收敛的必要条件是三计算题 ( 一)：0356已知：yxz，求：xz，yz计算二重积分dxD24，其中 20,40|),(2xxyyxD已知：，其中102121，100210321，求未知矩阵求幂级数11) 1(nnnnx的收敛区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 求xexf)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）四计算题 ( 二)：02201求平面和的交线的标准方程设方程组111zyxzyxzyx，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解参考答案一；二21|),(22yxyxxy66a0limnnu四1解：yxyzyxxzyyln12解：31634)4(442032022040222xxdxxdyxdxdxxD3解：1542201,10021072111ABB. 解：, 1R当|x|1 时，级数收敛，当x=1 时，得11) 1(nnn收敛，当1x时，得11121) 1(nnnnn发散，所以收敛区间为 1 , 1(. 解： .因为0!nnxnxe),(x,所以nnnnnxxnnxe00!) 1(!)(),(x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 四 1解： .求直线的方向向量:kjikjis53112121,求点 :令 z=0,得 y=0,x=2, 即交点为 (2,0.0),所以交线的标准方程为:.5312zyx2解：1)2)(1(000110111111001101111111111111111111112A(1) 当2 时,3)( ,2)(AAr,无解 ; (2) 当2, 1时, 3)()(AAr,有唯一解 :21zyx; (3) 当1时, 1)()(AAr,有无穷多组解 : 21211czcyccx(21,cc为任意常数 ) 高数试卷5（下）一、选择题（ 3 分/题）1、已知jia，kb，则ba（）A 0 B jiC jiD ji2、空间直角坐标系中122yx表示（）A 圆B 圆面C 圆柱面D 球面3、二元函数xxysinz在（ 0，0）点处的极限是（）A 1 B 0 C D 不存在4、交换积分次序后dy)y,x( fdxx110=（）A dx)y,x(fdy1010B dx)y, x(fdyx101C dx)y,x(fdyy110D dx)y, x(fdyy010名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 5、二重积分的积分区域D 是1yx，则Ddxdy（）A 2 B 1 C 0 D 4 6、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）A 0 B 1 C n D n! 7、若有矩阵23A，32B，33C，下列可运算的式子是（）A ACB CBC ABCD ACAB8、n 元线性方程组，当r)A(r)A(r时有无穷多组解，则（）A r=n B rn D 无法确定9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（）A 必等于零B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零D 不会都不等于零10、正项级数1nnu和1nnv满足关系式nnvu，则（）A 若1nnu收敛，则1nnv收敛B 若1nnv收敛，则1nnu收敛C 若1nnv发散，则1nnu发散D 若1nnu收敛，则1nnv发散二、填空题（ 4 分/题）1、 空间点 p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为2、 函数286422yxyx)y,x(f在点处取得极小值，极小值为3、A为三阶方阵，3A，则A4、 三阶行列式000zyzxyx= 5、 级数1nnu收敛的必要条件是三、计算题（ 6 分/题）1、 已知二元函数xyz2，求偏导数xz，yz2、 求两平面：22zyx与42zyx交线的标准式方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3、 计算二重积分dxdyyxD22，其中D由直线2x，xy和双曲线1xy所围成的区域。4、 求方阵121011322A的逆矩阵。5、 求幂级数151nnn)x(的收敛半径和收敛区间。四、应用题（ 10 分/题）1、 判断级数pnnn)(1111的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。2、 试根据的取值，讨论方程组111321321321xxxxxxxxx是否有解，指出解的情况。参考答案一、选择题（ 3 分/题）DCBDA ACBCB 二、填空题（ 4 分/题）1、3 2、 （3，-1） -11 3、-3 4、0 5、0nnulim三、计算题（ 6 分/题）1、ylnyxzx22，122xyxyz2、503012zyx3、49名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 4、4613513411A5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（ 10 分/题）1、 当0p时，发散；10p时条件收敛；1p时绝对收敛2、 当1且2时，3)()(ArAr，0A，方程组有唯一解；当2时，2)(3)(ArAr，方程组无解；当1时，31)()(ArAr，方程组有无穷多组解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -