2022年2022年空间向量与立体几何知识点与例题 .pdf

1 空间向量与立体几何知方法总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABabuuu ruuu ruuu rvr;BAOAOBabuu u ruuu ruuu rrr;()OPaRuuu rr运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于b，记作ba /。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0） ， a /b存在实数 ，使 ab。（3）三点共线： A、B、C 三点共线 ACAB) 1(yxOByOAxOC其中（4）与a共线的单位向量为aa4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a brr不共线，pr与向量,a brr共面的条件是存在实数, x y使pxaybrrr。（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面 ACyABxAP) 1(zyxOCzOByOAxOP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b crrr不共面，那么对空间任一向量pr，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzcrrrr。若三向量, ,ab crrr不共面，我们把 , a b crrr叫做空间的一个基底，, ,a b crrr叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOCuuu ruuu ruuu ruuu r。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在 空 间直 角坐 标系Oxyz中， 对空 间任 一 点 A ， 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组( , , )x y z，使zkyixiOA，有 序实 数组( , , )x y z叫作向量A 在 空间直角 坐标系Oxyz中的坐标，记作( , , )A x y z，x叫横坐标， y 叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直， 且长为 1，这个基底叫单位正交基底， 用 , , i j kr r r表示。空间中任一向量kzjyi xa=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：若123(,)aa a ar，123( ,)bb b br，则112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr，123(,)()aaaaRr，1 12233a baba ba br r，112233/,()abab ab abRrr，1 12 23 30ababa ba brr。若111(,)A xy z，222(,)B xyz，则212121(,)ABxxyyzzuuu r。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 定 比 分 点 公 式 ： 若111(,)A x y z，222(,)B xyz，PBAP， 则 点P坐 标 为)1,1,1(212121zzyyxx。推导：设P（x,y,z）则),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然，当 P 为 AB 中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中， 三 角 形 重 心P坐 标 为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC的五心：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP（单位向量）外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为 0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若123(,)aa a ar，123(,)bb b br，则222123|aa aaaarr r，222123|bb bbbbrr r（5）夹角公式：1 12233222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrr。ABC中0? ACABA为锐角0? ACABA为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若111(,)A xy z，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzzuu u ruuu r，或222,212121()()()A Bdxxyyzz7. 空间向量的数量积。（1） 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a brr， 在空间任取一点 O， 作,OAa OBbuuu ruuu rrr，则AOB 叫 做 向 量 ar与br的 夹 角 ， 记 作,a brr； 且 规 定0,a brr， 显 然 有,a bb arrrr；若,2a brr，则称 ar与br互相垂直，记作：abrr。（2）向量的模：设OAau uu rr，则有向线段OAuuu r的长度叫做向量 ar的长度或模，记作：|ar。（3）向量的数量积：已知向量,a brr，则| | cos,aba brrrr叫做,a brr的数量积，记作a brr，即a brr| | | cos,aba brrrr。（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa er rrr r。0aba brrrr。2|aa arrr。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba babrrrrrr。a bb arrrr（交换律）。()abca ba crrrrrrr（分配律）。不满足乘法结合率：)()(cbacba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 二空间向量与立体几何(高考答题必考 ) 1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角两条异面直线所成的角：1、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线/,/aa bb，则/a与/b所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角2、范围：两异面直线所成角的取值范围是023、向量求法：设直线a、b 的方向向量为ar、br，其夹角为，则有cos|cos|a babr rrr4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角3-2 线面夹角90,0OO： 求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求 其 余 角 ， 即 是 线 面 的 夹角.nAP,cossin, 3-3 面面夹角（二面角）180,0OO:（1）若 AB、CD 分别是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量ABuu u r与CDuuu r的夹角（如图（ a）所示）（2）设1nu r、2nu u r是二面角l的两个角、的法向量，则向量1nur与2nu u r的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 . 21,coscosnnnP AA 02名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 4 点面距离 h ：如图（ a）所示， BO平面，垂足为O，则点 B 到平面的距离就是线段BO 的长度若 AB 是平面的任一条斜线段，则在 RtBOA 中，cosABO= 如果令平面的法向量为nr，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面的距离为h= 4-1 线面距离（线面平行） ： 转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离应用举例：例 1：如右下图 , 在长方体 ABCD A1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段 AB 、BC上的点，且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C DE C1的正切值 ; (2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值 . 解： （I ）以 A为原点，1,AB AD AAu ur uu u r uu u r分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0) 、D1(0,3,2)、E(3,0,0) 、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是，11(3, 3,0),(1,3,2),( 4,2,2)DEECFDuu u ruu u ru uu r设法向量( , ,2)nx yr与平面 C1DE垂直，则有13301320nDExyxyxyznECru u u rru uu r11111( 1,1,2),(0, 0, 2),1010226cos3|1140042tan2nAACDEnAACDECnAAnAA?QQruuu rruuu rruuu ru ruuu u r向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角（II ）设 EC1与 FD1所成角为，则11222222111( 4)322221cos14| |132( 4)22ECFDECFD?uu u ruuu ru uu u ruu u r例 2： 如图，已知四棱锥 P-ABCD ， 底面 ABCD 是菱形，DAB=600， PD 平面 ABCD ， PD=AD ，点 E为 AB中点，点 F为 PD中点。（1）证明平面 PED 平面 PAB ；coscosBABOABOABOBOuu u ru uu ruuu rBOBAu uu ruu u rAB nBOnuu u r ruuu rr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 （2）求二面角 P-AB-F的平面角的余弦值证明： （1）面 ABCD 是菱形， DAB=600，ABD是等边三角形，又E是 AB中点，连结 BD EDB=300，BDC=600， EDC=900，如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1 ，则 PF=FD=12，ED=32， P（0，0，1） ，E（32，0，0） ，B（32，12，0）PBuu u r=（32，12，-1） ，PEuu u r= （32，0，-1） ，平面 PED的一个法向量为DCuuu r=（0，1，0） ，设平面 PAB的法向量为nr=（x, y, 1) 由3 1312( , ,1) (, 1)01022223330( , ,1) (,0,1)01022x yxyxnPBnPEyx yx?ruu u rruuu rnr=（23, 0, 1) DCu uu rnr=0 即DCu uu rnr平面 PED 平面 PAB (2) 解: 由(1) 知平面 PAB 的法向量为nr= （23, 0, 1), 设平面 FAB的法向量为nr1= （x, y, -1) ，由（1）知： F（0，0，12） ，FBu u u r=（32，12，-12） ，FEu ur = （32，0，-12） ，由113 113111( , , 1)(,)00222222331310( , , 1)(,0,)002222x yxyxnFBnFEyx yx?ru uu rru uu rnr1=（-13, 0, -1) 二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值cos= |cos| =11n5 714nnn?rrrr例3：在棱长为 4的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，点 P在棱CC1上，且CC1=4CP. ()求直线 AP 与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 ()设O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证： D1H AP ；()求点P到平面 ABD1的距离 . 解: ( ) 如图建立坐标系 D-ACD1, 棱长为 4 A（4，0，0） ，B（4，4，0） ，P（0，4，1）APuuu r = (-4, 4, 1) , 显然DCuuu r=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量直线 AP与平面 BCC1B1所成的角的正弦值sin = |cos|=222164 33334414?为锐角，直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角为 arcsin4 3333 ( ) 设平面 ABD1的法向量为nr=（x, y, 1)，ABuuu r=（0，4，0） ，1ADuuuu r=（-4 ，0，4）由nrABuuu r，nr1ADu uu u r得0440yxnr=（1, 0, 1)，点P到平面 ABD1的距离 d = 3 22APnn?uuu rrr例 4：在长、宽、高分别为2，2，3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与 B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则 O （1，1，0） ，A1（2，2，3） ，C（0，2，0）1( 1,1, 3)AOuuur1( 2,0, 3)BCu uu r11(0,2,0)ABuuuu r设 A1O与 B1C的公共法向量为( , ,1)nx yr，则113( , ,1)( 1,1, 3)0302( , ,1)( 2,0,3)023032xnAOx yxyx yxnB Cy?ru uu rru uu r3 3(,1)2 2nr A1O与 B1C的距离为d =11223 30,2,0,12 2|33 2211|11331222A Bnn?uuuu rrr例 5： 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、 F分别是 B1C1、 C1D1的中点，求 A1到面 BDFE的距离。ABCDA1 B1 D1 C1 O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 解：如图，建立坐标系D-ACD1，则 B（1，1，0） ，A1（1，0，1） ，E（12，1，1）( 1, 1,0)BDuuu r1(,0,1)2BEuuu r1(0,1, 1)A Buuur设面 BDFE 的法向量为( , ,1)nx yr，则( , ,1) ( 1, 1,0)002112( , ,1) (,0,1)01022x yxynBDxyx yxnBE?ruu u rruu u r(2, 2,1)nr A1到面 BDFE 的距离为 d =1220,1, 12, 2,1| 3|13|221A B nn?uu urrr附：FEABCDA1 B1 D1 C1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -