2022年如何快速解答抽象函数对称性与周期性问题 .pdf

如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题？高考对抽象函数的考察中经常结合对称性与周期性一同考察，下面我们看看函数的对称性与周期性究竟有什么样的关系？若 函 数)(xf的 图 象 关 于 直 线ax对 称 ， 也 关 于 直 线bx对 称 ， 则)(xf是 以|2baT为周期的周期函数证明：因为)(xf的图象关于直线ax对称，所以有)()(xafxaf即)()2(xfxaf，同理)()2(xfxbf。所以有)2()2(xafxbf，即有)22()(baxfxf所以函数)(xf是以|2baT为周期的周期函数. 定理1：一般地我们有，若函数)(xf满足对于任意的实数x都有)()(xafxaf和)()(xbfxbf都成立（其中ba） ， 即函数)(xf的图象关于两条直线ax和bx都对称，则)(xf是周期函数，且周期是|2abT.。同样的思路我们也可以得出：定理 2： 若函数)(xf的图象关于直线ax对称，关于点)0 ,(m（其中ma）中心对称，那么函数)(xf是周期函数，且周期是|4maT证明因为)(xf关于直线ax对称所以有)()(xafxaf，即有：)2()(xafxf又)(xf关于点)0,(m对称所以有式子)()(xmfxmf成立，即有：)2()(xmfxf由上述两个式子得到：)2()2(xmfxaf，即有：)22()(maxfxf令x为max22所以又得到)44()22(maxfmaxf所以有：)44()(maxfxf所以)(xf是周期函数，且周期是|4maT。推论若函数)(xf的图象关于直线ax)0(a和原点O对称，则函数)(xf是周期函数，且周期为|4 aT. 定理 3：若函数)(xf的图象关于点)0,(n，关于点)0 ,(m（其中mn）中心对称，那么函数)(xf是周期函数，且周期是|2mnT证明：由)(xf的图象关于点)0 ,(n对称，得到)()(xnfxnf，即：)2()(xnfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 同理可得：)2()(xmfxf所以有)2()2(xmfxnf，即：)22()(mnxfxf所以)(xf是周期函数，且周期是|2mnT经过上面的分析我们知道，一个函数只要关于两条直线，或者两个点，或者一条直线一个点对称，那么这个函数一定是周期函数。熟悉的理解上述3 个定理有助于我们快速解答高考题。下面举两道高考题来看看上述定理的应用。例题 1.（2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，则( )(A) ( )f x是偶函数(B) ( )f x是奇函数(C) ( )(2)f xfx(D) (3)f x是奇函数解: (1)f x与(1)f x都是奇函数，函数( )fx关于点(1,0)，及点( 1,0)对称， 根据定理3，函数( )f x是周期21( 1)4T的周期函数 .，所以有)3()1(xfxf即(3)f x是奇函数。故选D 例题 2.(2009 山东卷理 ) 已知定义在R 上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xfx,且在区间0,2 上 是 增 函 数 ,若 方程f(x)=m(m0) 在 区 间8 , 8上 有 四 个 不 同 的 根1234,xxxx,则1234_.xxxx解:因为( )fx是定义在 R上的奇函数， 满足(4)( )f xf x,所以(4)()f xfx,所以 ,函数图象关于直线2x对称， 根据定理 2 函数( )f x是以 8为周期的周期函数， 且(0)0f, ,又因为)(xf在区间 0,2上是增函数 ,所以)(xf在区间 -2,0 上也是增函数.如图所示 ,那么方程 f(x)=m(m0) 在区间8 ,8上有四个不同的根1234,x xx x,不妨设1234xxxx由对称性知1212xx344xx所以12341248xxxx答案 :-8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -