2022年2022年绝对值不等式 .pdf

绝对值不等式一、基础知识1绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则 |ab| |a|b|，当且仅当ab0 时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数， 那么 |ac|ab|bc|，当且仅当 (ab)(b c)0 时，等号成立|a|b| |a b| |a|b|，当且仅当 |a|b|且 ab0 时，左边等号成立，当且仅当ab0 时，右边等号成立 . 2绝对值不等式的解法(1)|x|a 型不等式的解法不等式a0a0a0 |x|a x| axa x|xa 或 x0)型不等式的解法：|axb|c? c axb c；|axb|c? axbc 或 axb c. |xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法及体现数学思想利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 “零点分段法 ”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 考点一绝对值不等式的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 典例 (2016 全国卷 )已知函数 f(x)|x1|2x3|. (1)画出 yf(x)的图象；(2)求不等式 |f(x)|1 的解集解(1)由题意得f(x)x4，x1，3x2， 132，故 yf(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x) 1 时，可得 x13或 x5. 故 f(x)1 的解集为 x|1x3，f(x)1 的解集为x x5. 所以 |f(x)|1 的解集为xx13或1x5. 题组训练 1解不等式 |x1|x 1| 2. 解： 当 x 1 时，原不等式可化为x11x 2，解得 x1，又因为 x1 时，原不等式可化为x 1x1 2，解得 x1，又因为 x1，故无解；综上，不等式 |x1|x1|2 的解集为 1,12(2019 沈阳质检 )已知函数f(x)|xa|3x，其中 aR. (1)当 a1 时，求不等式f(x)3x|2x 1|的解集；(2)若不等式f(x)0 的解集为 x|x 1 ，求 a 的值解： (1)当 a1 时， f(x)|x1|3x. 法一： 由 f(x)3x|2x1|，得 |x1|2x1|0，当 x1 时， x1(2x1)0，得 x2，无解；当12 x1 时， 1x(2x1) 0，得12x0；当 x12时， 1x(2x1)0，得 2x12. 不等式的解集为x|2x 0法二： 由 f(x)3x|2x1|，得 |x1|2x1|，两边平方，化简整理得x22x0，解得 2x0，不等式的解集为x|2x 0(2)由|xa|3x0，可得xa，4xa 0或xa，2xa 0，即xa，xa4或x0 时，不等式的解集为x xa2. 由a2 1，得 a 2. 当 a0 时，不等式的解集为 x|x0 ，不合题意当 a0 时，不等式的解集为x xa4. 由a4 1，得 a 4. 综上， a2 或 a 4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 考点二绝对值不等式性质的应用典例 (2019 湖北五校联考 )已知函数 f(x)|2x1|，xR. (1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对 x，yR，有 |xy1|13，|2y 1|16，求证： f(x)1. 解(1)f(x)|x|1， |2x1|x|1，即x12，2x1x 1或0 x12，12xx1或x0，12xx1，得12x2 或 0 x12或无解故不等式 f(x)|x|1 的解集为 x|0 x2 (2)证明： f(x)|2x1|2(xy1)(2y 1)|2(xy1)|2y1|2|x y1|2y1|21316561. 故不等式 f(x)1 得证 解题技法 绝对值不等式性质的应用利用不等式 |ab| |a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式 题组训练 1求函数f(x)|x2 019| |x 2 018|的最大值解： 因为 f(x)|x2 019|x2 018|x2 019x2 018|4 037，所以函数 f(x)|x2 019|x2 018|的最大值为4 037. 2若 x1,1，|y|16，|z|19，求证： |x2y3z|53. 证明： 因为 x1,1，|y|16， |z|19，所以 |x2y3z|x| 2|y|3|z|1 21631953，所以 |x2y3z|53成立考点三绝对值不等式的综合应用典例 (2018 合肥质检 )已知函数f(x)|2x1|. (1)解关于 x 的不等式 f(x)f(x1)1；(2)若关于 x 的不等式 f(x)m f(x1)的解集不是空集，求m 的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解(1)f(x)f(x1)1? |2x1|2x1|1，则x12，2x12x 11或12x12，12x2x11或x12，12x2x11，解得 x12或14x12，即 x14，所以原不等式的解集为14， . (2)由条件知，不等式|2x 1| |2x1|(|2x1|2x1|)min即可由于 |2x 1| |2x1|12x|2x1|12x (2x1)|2，当且仅当(1 2x)(2x1)0，即 x12，12时等号成立，故m2.所以 m 的取值范围是 (2， ) 解题技法 两招解不等式问题中的含参问题(1)转化把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；不等式的解集为?的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即 f(x)a 恒成立 ? af(x)max，f(x)a 恒成立 ? a f(x)min. (2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式，即|a|b|a b|a| |b|；利用零点分区间法 题组训练 1(2018 全国卷 )设函数 f(x)5 |xa|x2|. (1)当 a1 时，求不等式f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解： (1)当 a1 时， f(x)2x4，x2.当 x1 时，由 2x40，解得 2x2 时，由 2x6 0，解得 2x3，故 f(x)0 的解集为 x|2x3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - (2)f(x) 1 等价于 |xa|x2|4. 而|x a| |x2|a2|，且当 x 2 时等号成立故 f(x)1 等价于 |a2|4. 由|a2| 4 可得 a6 或 a2. 所以 a 的取值范围是 ( ， 62， )2(2018 广东珠海二中期中)已知函数f(x)|xm| |2x1|(mR)，若关于x 的不等式f(x)|2x1|的解集为A，且34，2 ? A，求实数 m 的取值范围解： 34，2 ? A，当 x34，2 时，不等式f(x)|2x1|恒成立，即|x m|2x1| |2x1|在 x34，2 上恒成立，|x m|2x12x1，即|x m|2 在 x34，2 上恒成立， 2 xm2， x2mx2 在 x34，2 上恒成立，(x2)maxm(x2)min，114m0，故实数 m 的取值范围是114，0 . 课时跟踪检测 1求不等式 |2x1|2x1|6 的解集解： 原不等式可化为x12，2x 12x 16.解得32x32，即原不等式的解集为x32x32. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2已知函数f(x)|x4|x a|(a R)的最小值为a. (1)求实数 a 的值；(2)解不等式f(x)5. 解： (1)f(x)|x4|xa| |a 4|a，从而解得 a2. (2)由(1)知， f(x)|x4|x2|2x6，x 2，2， 2x4，2x6，x4.故当 x2 时，由 2x 65，得12x2；当 24 时，由 2x65，得 41 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解： (1)当 a1 时， f(x)|x1|x1|，即 f(x) 2，x1，2x， 1x1 的解集为x x12. (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当x(0,1)时|ax 1|0，则 |ax 1|1 的解集为x 0 x2a，所以2a 1，故 0a2. 综上， a 的取值范围为 (0,24设函数 f(x)|3x1|ax3. (1)若 a1，解不等式f(x)4；(2)若 f(x)有最小值，求实数a 的取值范围解： (1)当 a1 时， f(x)|3x1|x34，即|3x1|1x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - x13x11x，解得 0 x12，所以 f(x)4 的解集为0，12. (2)因为 f(x)3a x2，x13，a3 x4，xx；(2)若关于 x 的不等式 f(x)a22a 的解集为 R，求实数a 的取值范围解： (1)原不等式等价于f(x)x0，不等式f(x)x0 可化为 |x2|x|x1|，当 x(x1)，解得 x3，即 3xx 1，解得 x1，即 1x2 时， x2xx 1，解得 x3，即 x3，综上所述，不等式f(x)x0 的解集为 x|3x3 (2)由不等式f(x)a2 2a 可得 |x2|x1|a22a，|x 2| |x1|x2x1| 3，当且仅当x(， 1时等号成立，a22a3，即 a22a30，解得 a1 或 a 3. 实数 a 的取值范围为 ( ， 13， )6已知函数f(x)|xa|x 1|. (1)若 a2，求不等式f(x)x2 的解集；(2)如果关于x 的不等式f(x)2 的解集不是空集，求实数a 的取值范围解： (1)当 a2 时， f(x)2x1，x 1，3， 1x2，2x1，x 2，不等式 f(x)x2 等价于x 1， 2x1 x2或1x2，3x2或x2，2x1x 2，解得 x1 或 x3，故原不等式的解集为x|x1 或 x3(2)f(x)|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，当 (xa)(x1)0 时取等号若关于 x 的不等式 f(x)2 的解集不是空集，只需|a1|2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解得 3a 1，即实数 a 的取值范围是 (3,1)7已知函数f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时， f(x)g(x)3，求 a 的取值范围解： (1)当 a2 时， f(x)|2x2|2. 解不等式 |2x 2| 26，得 1x3. 因此 f(x)6 的解集为 x|1 x3(2)当 xR 时， f(x)g(x)|2x a|a|12x| 3，即 xa212x 3a2. 又xa212xmin12a2，所以12a23a2，解得 a2. 所以 a 的取值范围是 2， )8(2018 福州质检 )设函数 f(x)|x1|， xR. (1)求不等式f(x)3f(x 1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)f(x1) |x a|的解集为M，若 1，32? M，求实数 a的取值范围解： (1)因为 f(x)3f(x 1)，所以 |x1|3|x2|? |x1|x2|3?x2，2x33，解得 0 x1 或 1x2 或 2x3，所以 0 x 3，故不等式 f(x)3f(x1)的解集为 0,3(2)因为 1，32? M，所以当 x 1，32时， f(x)f(x1)|xa|恒成立，而 f(x)f(x1)|xa|? |x1|x|xa|0? |xa|x| |x1|，因为 x1，32，所以 |xa|1，即 x1a x1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 由题意，知x1ax1 对于任意的x 1，32恒成立，所以12 a2，故实数 a 的取值范围为12，2 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -