2022年2022年量子力学基础考试习题思考题 .pdf

1 / 6 习题 22 22-1计算下列物体具有MeV10动能时的物质波波长， （1）电子；（2）质子。解： （1）具有MeV10动能的电子，可以试算一下它的速度：212kmvE7193122 101.6 109.11 10kEvcm光速，所以要考虑相对论效应。设电子的静能量为20m c，总能量可写为：20kEEm c，用相对论公式：222240Ec pm c，可得：22401pEm cc22012kkEm c Ec2202kkhchpEm c E348719231827196.63 103 10(101.6 10)29.11 10(3 10 )101.6 10131.2 10m；（2）对于具有MeV10动能的质子，可以试算一下它的速度：71972722 101.6 104.4 10/1.67 10kEvm sm，所以不需要考虑相对论效应。利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415277196.63 109.1 1022 1.6710101.6 10hhmpmE。22-2计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV0.25， （1）用非相对论公式； （2）用相对论公式。解： （1）用非相对论公式：3412311936.63 107.76 1022 9.11 101.6 1025 10hhmpmeU；（2）用相对论公式：设电子的静能为20m c，动能为：kEeU，由20222240EeUm cEc pm c，有：122207.67 102()hcmm c eUeU。22-3求出实物粒子德布罗意波长与粒子动能EK和静止质量m0的关系，并得出：EK m0c2时，KEhc/解：由202cmmcEK20220)/(1/cmccmv解出：220/ )(ccmEmK)/(220202cmEcmEEcKKKv, 根据德布罗意波：)/(/vmhph把上面 m，v 代入得：2022cmEEhcKK, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 / 6 当20cmEK时，上式分母中，2022cmEEKK，2KE可略去得202/cmEhcK02/mEhK当20cmEK时，上式分母中，2022cmEEKK，202cmEK可略去得KEhc/22-4一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距27.32 10dnm，中子的动能4.20kEeV，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式2sindk，一级极大时取1k，有：sin2d，波长可利用德布罗意波的计算公式得出：341127196.63 101.401022 1.67104.2 1.6 10hhmpmE，11111.4 10sin0.095622 7.32 10d，arcsin0.09565.495 29。22-5以速度36 10/vm s运动的电子射入场强为5/EVcm的匀强电场中加速，为使电子波长A1，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：利用能量守恒，有：212EmveU，考虑到2hhpmE，有：222211111()()222hhUmvmveme m3423132193110116.63 10()9.11 10(610 ) 2 1.6 109.11 101019172310(4.82 103.28 10)150.63.2V太小，舍去，利用匀强电场公式UEd有：150.60.301500UdmE。22-6用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以eV为单位）解：由于需要分辨大小为1nm的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm，由hp，有电子的动量为：342596.63 106.63 10/10pkgm s；试算一下它的速度：2553106.63 107.28 10/9.11 10pvm scm光速，所以不考虑相对论效应，则利用202kpEm，有电子动能的最小值：2521931(6.6310)2.4 1029.11 10kEJ1.5 eV。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 / 6 22-7 设电子的位置不确定度为A1.0， 计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV1，计算电子能量的不确定度。解：由不确定关系：2xp，有3424101.055105.310/220.110pkgmsx，由hcEhp c，可推出：151.60 10EcpJ。22-8氢原子的吸收谱线A5.4340的谱线宽度为A102，计算原子处在被激发态上的平均寿命。解：能量hcEh，由于激发能级有一定的宽度E，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：2h cE，由不确定关系，/ 2Et，平均寿命t，则：22224tEhcc10211812(4340.5 10)5 1043.14 3 1010s。22-9若红宝石发出中心波长m103 .67的短脉冲信号，时距为91(10 s)ns，计算该信号的波长宽度。解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：xc t，由不确定关系：2xpx，有：2224xxp722389(6.3 10 )1.323 103 1010nmc t。22-10设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为hL，式中L为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r，角动量为：Lrmvr p，则其不确定度PrL，而做圆周运动时：rx，利用：Pxh代入，可得到：hL。22-11计算一维无限深势阱中基态粒子处在0 x到3/Lx区间的几率。 设粒子的势能分布函数为：( )00( )0U xxLU xxxL，和解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0 xL之间运动时，其定态归一化的波函数为：2( )sin0( )00nnnxxxLllxxxL，和，概率密度为：22( )sin0nnPxxxLll，粒子处在0 x到3/Lx区间的几率：2302112( )sinsin323lnnnP xxlln，如果是基态，1n，则3202112( )sinsin0.19519.5%323lnP xxll。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 / 6 22-12一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m1014L。（1）质子的零点能量有多大？（2）由2n态跃迁到1n态时，质子放出多大能量的光子？解： （1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：2228nhEnmL1n时为零点能量：2342131227142(6.63 10)3.29 1088 1.67 10(10)hEJmL。（2）由2n态跃迁到1n态时，质子放出光子的能量为：21321121)9.87 10EEEEJ(。22-13对应于氢原子中电子轨道运动，试计算3n时氢原子可能具有的轨道角动量。解：当3n，l的可能取值为：0，1，2。而轨道角动量(1)Ll l，所以L的取值为： 0，2，6。22-14氢原子处于21nl，的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与z轴的夹角？解： （1）1l，所以轨道角动量：(1)Ll l2，（2）zL的本征值可取：zLm， 由磁量子数取值范围：1mlll， ，知01m，zL有三个取向。夹角分别为：20，zL；4zL，；34zL，。22-15氢原子处于2p 态，当它在外磁场B中，考虑到轨道磁矩与外磁场的相互作用，讨论该状态的能级分裂情况，并计算跃迁发出光子的频率。答案： 2p 能级分裂为三个能级；hE2meBhW4meBhW4解：氢原子处在外磁场中，由于空间量子化，电子轨道角动量相对外磁场方向有各种可能的取向，电子轨道磁矩也有相应的不同取向，导致氢原子与外磁场之间不同的相互作用势能，使氢原子电子轨道磁矩02LmeM电子磁矩与外磁场相互作用能BmmeBLmeBLmeBMWlz222lm的可能取值有12l个，磁矩与外磁场相互作用能也出现12l个可能值。对应于氢原子2p 态与外磁场的相互作用能有三个不同值，分别为1l；0lm，0W，1lm，BmeW2。1s 能级不变化， 2p 能级分裂为三个能级，相邻之间能名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 / 6 级的能量差为BmeWE2。原先由 2p 跃迁至 1s 的一条谱线分裂成为三条谱线，如图所示。其频率分别为：原频率hE2meBhW4meBhW4思考题 22 22-1证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明：设电子轨道的半径为nr，则电子轨道的周长为2nr，需要证明2nrn。玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：222002nhrn rnme而电子的德布罗意波长：20222hhnmemE（2204281hmenEn）可见电子轨道：2220022222nhhrnn nnmeme，是德布罗意波长的整数倍。22-2为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？答：因为假如电子是经典意义的波的话，那么波包随着时间在空间的扩展，电子就会“发胖”，但现实并非如此， 所以它不是经典意义的波；而电子的波动性也并非是电子间相互作用的结果，而是单个电子的行为，所以电子也不是经典意义的粒子。22-3图中所示为电子波干涉实验示意图，S为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板A，1S、2S分别为上、下方电子束的虚电子源，21SSSS，底板A离源 S的距离为D，设aD，电子的动量为p，试求：（1）电子几率密度最大的位置；（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。答： （1）电子的德布罗意波长：ph，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 / 6 分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在2DDhdap之间；（2）相邻暗条纹的距离：2DD hxda p。22-4在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a所示，对应的总能量为eV4，若它处于另一个波函数 （如图b所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：20nEEn。在 a 图中，2n，知22024EEeV，所以粒子的零点能01EeV；若它处于另一个波函数（图b所示，3n）的态上时，它的总能量是：2230039EE nEeV。22-5图中所示为一有限深势阱，宽为a，高为U。（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。答： （1）第 I 区域定态薛定谔方程：21122( )2( )0dxmExd x， （22aax） ，第 II 区域定态薛定谔方程：22222( )2()( )0dxm EUxd x， （2ax和2ax） ；边界条件：1222aa()()，1222aa()()。（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为22222nEnma，最低能量值22122Ema，显然与a的平方成反比， 粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。22-6在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由3s3p之间的电子跃迁产生的，它由两条谱线组成，波长分别为15889.963A和25895.930A。试用电子自旋来解释产生双线的原因。答： Na 光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋轨道相互作用能， 是一个小量。 即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生改变，其中电子自旋磁矩Smes，在 Z 方向投影有两条，所以Na 光谱产生了双线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - 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