2022年2022年集体备课稿三角恒等变换 .pdf

1 三角恒等变换【1】 （A，新课标 I，理 2）sin 20 cos10cos160 sin10A.32B.32C.12D.12【2】 （A，重庆，文 6）若11tan,tan()32aab=+=,则tan=bA.17B.16C.57D.56【3】 （C，重庆，理 9）若5tan2tan则)5sin()103cos(A.1 B.2 C.3 D.4 【4】 （A，四川，理 12）75sin15sin的值是_. 【5】 （B，四川，文 13）已知0cos2sin，则2coscossin2的值是. 【6】 （B，江苏，文理 8）已知2tan，71tan）（，则tan的值为. 【7】 （A，广东，文 16）已知tan2(1)求tan()4的值；(2)求2sin 2sinsincoscos21的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2 解三角形【1】 （A，广东，文 5）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若2a，2 3c，3cos2A，且bc，则bA.3B.2 2C.2D.3【2】（A， 湖北，文 15 理 13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm. 【3】（A， 广东，理 11） 设ABC的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c，若3a，1sin2B，6C，则 b= . 【4】 （A，福建，理 12）若锐角ABC的面积为10 3，且5 ,8A BA C，则BC等于. 【5】（B， 北京，文 11） 在ABC中，3a，6b，32A， 则B. 【6】 （B，北京，理 12）在ABC中，6,5,4cba则CAsin2sin. 【7】 （B，天津，理 13） 在ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,.已知ABC的面积为153,2cb,41cosA,则a的值为. 【8】 （B，重庆，文 13）设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c,且2a,1cos4C，3sin A2sin B，则c. 【9】 （B，重庆，理 13）在ABC中，120B2ABA的角平分线, 3AD则._AC【10】 （B，安徽，文 12）在ABC中，6AB，A75，B45，则AC.ABCD第 2 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 【11】 （B，福建，文 14）若ABC中，3AC，45A，75C，则BC. 【12】（C， 新课标 I， 理 16） 在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是. 【13】 （A，新课标 I，文 17）已知, ,a b c分别是ABC内角,A B C的对边，2sin2sinsinBAC. (I)若ab，求cosB；(II) 若90B，且2,a求ABC的面积 . 【14】 （A，新课标，文 17）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC, DCBD2(I)求CBsinsin；(II) 若60BAC，求B【15】（A， 新课标， 理 17） ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍. (I)求sinsinBC；(II) 若21,2ADDC求BD和AC的长. 【16】 （A，天津，文 16）ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为,c,b,a已知 ABC 的面积为3 15，.cos41-，2Acb(I)求a和Csin的值；(II) 求)cos(62A的值. DCAB第 14、15 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4 【17】 （A，山东，文 17）ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，且已知,33cosB32,96)sin(acBA,求Asin和c的值. 【18】 （A，江苏，文理 15）在ABC中，已知2AB，3AC，60A. (1)求BC的长；(2)求C2sin的值. 【19】 （A，安徽，理 16）在ABC中，A34，6AB，3 2AC，D在BC边上，BDAD，求AD的长. 【20】 （A，湖南，理 17）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，Abatan，且 B 为钝角 . (I)证明：2AB；(II) 求CAsinsin的取值范围 . 【21】 （A，陕西，文 17 理 17）ABC的内角CBA,所对的边分别为cba,向量)3,(bam与)sin,(cosBAn平行(I)求A；(II) 若2,7 ba，求ABC的面积【22】 （B，上海，文 21）如图，,O P Q三地有直道相通，3OP千米，4PQ千米，5OQ千米.现甲、乙两警员同时从O出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为( )f t（单位：千米） .甲的路线是OQ，速度 5 千米/小时，乙的路线是OPQ，速度是 8 千米/小时.乙到达Q地后在原地等待 .设1tt时，乙到达P地；2tt时，乙到达Q地. （1）求1t与1( )f t的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12ttt时，求( )f t的表达式，并判断( )f t在12 , t t上的最大值是否超过3？说明理由 . PQO第 22 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5 【23】 （B，上海，理 20）如图，,A B C三地有直道相通，5AB千米，3AC千米，4BC千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地， 经过t小时，他们之间的距离为( )f t（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为 5 千米/小时，乙的路线是ACB，速度为 8 千米/小时.乙到达B地后在原地等待 .达C地. 设1tt时，乙到(1)求1t与1( )f t的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米.当11tt时，求( )f t的表达式，并判断( )f t在1 ,1t上的最大值是否超过3？说明理由 . 【24】 （B，四川，文 19）已知CBA,为ABC的内角，BA tan,tan是关于x的方程pxx32)(01Rpp的两个实根 . （1）求C的大小；（2）若6,3 ACAB，求p的值. 【25】 （B，四川，理19）如图，DCBA,为平面四边形ABCD的四个内角. （1）证明：AAAsincos12tan；（2）若, 3,6,180BCABCA,4CD5AD，求2tan2tan2tan2tanDCBA的值. BCA第 23 题图BCDA第 25 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6 【26】 （B，浙江，文 16）在A B C中，内角CBA,所对的边分别为cba,.已知2)4tan(A. (I)求AAA2cos2sin2sin的值；(II) 若3,4aB，求ABC的面积. 【27】 （B，浙江，理 16）在ABC中,内角CBA,所对的边分别为cba,.已知4A，22212bac. (I)求Ctan的值；(II) 若ABC的面积为3，求b的值【28】 （B，湖南，文 17）设ABC的内角,A B C的对边分别为, , ,tana b c abA. (I)证明：sincosBA；(II) 若3sinsincos4CAB，且B为锐角，求,A B C. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 7 三角恒等变换【1】 （A，新课标I，理 2） 、D 解析：原式sin20 cos10cos 0 sin1021sin302.【2】 （A，重庆，文6） 、A 解析：)tan(tanabab= 71tan)tan(1tan)tan(abaaba1tan7b.【3】 （C，重庆，理9） 、C 解析：)5sin()103cos(5sincos5cossin103sinsin103coscos5sin5costan103sintan103cos5sin5cos5tan2103sin5tan2103cos.35sin5sin3【4】 （A，四川，理12） 、26解析：sin15sin75sin15cos152660sin2.【5】 （B，四川，文13） 、1解析：由0cos2sin知2tan，所以22sincoscos2222sincoscossincos.11tan1tan22【6】 （B，江苏，文理8） 、3 解析：法 1 因为tan()tantan1tantan17，又2tan，所以3tan.法 2 )tan(tantan)tan(1tan)tan(3)2(711)2(71. 【7】 （A，广东，文16）解析 ： （1）因为tan2，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8 321124tantan14tantan)4tan(. 2sin22sinsincoscos21（ ）1)1cos2(cossinsincossin222222sincossinsincos2cos22 tantantan241422. 解三角形【1】 （A，广东，文5） 、C 解析 ：由余弦定理得：Abccbacos2222，所以233221242bb，即0862bb，解得2b或4b.因为cb，所以2b. 【2】 （A，湖北，文15 理 13） 、6100解析： 由题意知图中DC面ABC，DBC30，CAB30，ABC105，因而ACB45, 在ABC中由正弦定理得sin45sin 30ABBC,其中600ABm, 故2300BCm，610033BCCDm. 【3】 （A，广东，理11） 、1解析： 因为1sin2B且(0,)B, 所以6B或23ABC，又3a，由正弦定理sinsinabAB，可得1b.【4】 （A，福建，理12） 、7【解析 】 ：由已知得ABC的面积为1sin20sin2AB ACAA10 3，所以3sin2A，(0,)2A，所以3A由余弦定理得2222cosBCABACAB ACA49，7BC【5】 （B，北京，文11） 、4解析： 由正弦定理，得sinsinabAB，即36sin32B，所以2sin2B，所以4B【6】 （B，北京，理12） 、1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 9 解析：436521636252cos222bcacbA. 132432cos2sincossin2sin2sinAcaCAACA. 【7】 （B，天津，理13） 、8 解析：415sin,153sin21AAbcSABC,24bc222()252bcbcbc22212cos5248644abcbcA.8a【8】 （B，重庆，文13） 、4 解析： 由3sin2sinAB=可得32ab且2a所以3b，又因12,cos,4aC= -代入余弦公式可解4c. 【9】 （B，重庆，理13） 、6解析：在ABD中，由正弦定理得120sin3sin2ADB，所以,4ADB故15BAD,又AD平分角A，则,30BAC由此可得ABC是底角为30等腰三角形，所以在ABC中易得.6AC【10】 （B，安徽，文 12） 、2 ABC中，由正弦定理可知：解析 :如图所示，在sin(1807545 )ABsin45AC，所以2AC. 【11】 （B，福建，文14） 、2解析： 由题意得18060BAC，由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB，所以232232BC【12】 （C，新课标I，理 16） 、(62,6+2)解析：若D与C重合，此时AB最小：2cos75ABBC62. 与E重合，AB最大：若D与E重合，此时，ACDEAB第 12 题图ABC第 10 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10 1cos75AB162446262. 故AB的取值范围为( 62,62). 【13】 （A，新课标I，文 17）解析： (I)由题设及正弦定理可得22bac. 又ab，可得2abc由余弦定理，得2221cos24acbBac(II) 由(I)知22bac. 因为Bo90，由勾股定理得222acb. 故222acac，得ac2. 所以ABC的面积为1. 【14】 （A，新课标，文17）解析 ：(I)由正弦定理得sinsinADBDBBAD，sinsinADDCCCAD, 因为 AD 平分BAC, BD=2DC，所以sinsinBCDCBD12. (II) 法 1：因为180()CBACB60 ,BAC所以sinCsin()BACB31cossin22BB, 由(I)知2sinBsinC,所以3tan3B，30B. 法 2：由 (I)可知ACAB2, 在ABC中，由余弦定理可得222BCABAC2cos60AB AC22242ACACAC23AC,所以ACBC3，由余弦定理得cosB2222ABBCACAB BC2222434 3ACACACAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 11 32,因为0180B，所以30B. 【15】 （A，新课标 ，理 17）解析： (I)法 1：依题意2ABDADCSS,BADCAD. 因为1sin2ABDSAB ADBAD, ADCS1sin2AD ACCAD,所以2ABAC.由正弦定理得sin1sin2BABCAC. 法 2：设ABC的BC边上的高为h， 由题设可得22121DCBDDChBDhSSADCABD, 由角平分线定理得DCBDACAB,由正弦定理得ACABsinsinBC，所以21sinsinCB(II) 因为ABDS：ADCS=BD： DC，所以2BD. 在ABD和ADC中，由余弦定理知2222cosABADBDAD BDADB,2AC222cosADDCAD DCADC. 故2AB22222326ACADBDDC.由(I)知AB2AC，所以1AC.【16】 （A，天津，文16）解析：(I)在 ABC 中， 由，41-Acos可得15sin4A由15321AsinbcSABC. 得,bc24又由,cb2解得.c ,b46由,Acosbccba2222可得.a8由，CsincAsina得.sin815C(II)626262AAAsinsincoscos)cos(AAAcossin)cos(22112232.163715【17】 （A，山东，文17）解析： 在ABC中，由33cosB，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12 36sin B因为CBA, 所以96)sin(sinCBA. 因为BCsinsin，所以BC，可知C为锐角，所以935cosC. 322sincoscossin)sin(sinCBCBCBA由CcAasinsin可得，cCAca32sinsin又32ac，所以1c. 【18】 （A，江苏，文理15）解析： (1)由余弦定理知，222BCABAC2cosAB ACA72132294，所以7BC；(2)由正弦定理知，ABCCABsinsin，所以721760sin2sinsinABCABC. 因为BCAB，所以C为锐角，则772731sin1cos2CC. 因此734cossin22sinCCC. 【19】 （A，安徽，理16）解析 ：设ABC的内角CBA,所对的边分别为cba,，由余弦定理得：90cos2222Abccba，所以103a又由正弦定理得1010sinsinaAbB，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 13 由题设知40B，所以10103cosB，在ABD中，由正弦定理得)2sin(sinBBABADBBBcossin2sin610cos3B【20】 （A，湖南，理17）解析： (I)由Abatan及正弦定理，得BAbaAAsinsincossin，所以ABcossin，即)2sin(sinAB. 又 B 为钝角，),2(2A，故AB2，即2AB. (II) 由(I)知022)(ABAC, 所以)4, 0(A. 于是)22sin(sinsinsinAACAAA2cossin2sin12sinAA=+-2192(sin)48A= -+. 因为40A，所以22sin0A，因此8989)41(sin2222A. 由此可得CAsinsin的取值范围是89,22(. 【21】 （A，陕西，文17 理 17）解析： (I)因为nm/，所以Ba sinAbcos30，由正弦定理得0cossin3sinsinABBA，又0sin B，从而3tanA，由于A0，所以3A.(II) 法 1 由余弦定理得Abccbacos2222，而2,7 ba，3A，得cc2472，即0322cc，因为0c，所以3c. 故ABC的面积为233sin21Abc. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 14 法 2 由正弦定理得Bsin23sin7，从而Bsin721，又由ba，知BA，所以772cosB，)3sin()sin(sinBBAC3cossin B142133sincosB.所以ABC的面积为233sin21Cab. 【22】 （B，上海，文21）解析： （1）有已知138t，设此时甲到A地，则315588OA. 在POA!中，222APOPOA2cosOP OAPOQ22151533693()2388564. 所以13 41( )8f t. （2）由已知278t，当12 ,tt t，即3 7,8 8t时，甲位于A地，乙位于B地，则55 ,78QAt QBt，22( )2cosf tABQAQBQA QBPQO224(55 )(78 )2(55 ) (78 )5tttt2221925421825()2525ttt，max33 41( )( )3.88f tf所以( )f t在12 , t t上的最大值不超过3. 【23】 （B，上海，理20）解析： (1)138t，此时甲位于AB之间与A距离158千米处，又3cos5A，故13( )( )8f tf221515 33()2 38853 418. (2)当78t时，乙到达B处，故当718t时，( )5(1)f tt；当3788t时，设甲位于P处，乙位于Q处，则55 ,78BPt BQt，4cos5B，此时224( )(55 )782 (55 ) (78 )5f ttttt22 54 218tt；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 15 故23 7254218,8 8( )755 ,(,1.8tttf ttt因2225421825(0.84)0.36ttt，故当3 7,8 8t时，33 41( )( )388f tf；而7,18t时，( )f t单调递减，从而75( )()3.88f tf综上，( )f t在1 ,1t上的最大值不超过3. 【24】 （B，四川，文19）解析： （1）由已知，方程0132ppxx的判别式)1(4)3(2pp04432pp，所以2p或32p. 由韦达定理，有,3tantanpBApBA1tantan. 于是33tantan1tantan)tan(ppBABABA所以3)tan(tanBAC，所以60C. （2）由正弦定理，sinsinACCBAB6sin 60322，解得45B或135B（舍去） . 于是75180CBA. 则32)3045tan(75tantanA所以)tan(tan31BAp31)132(31【25】 （B，四川，理19）解析： （1）2cos2sin22sin22cos2sin2tan2AAAAAAAAsincos1；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 16 （2）由题意 ,BDAC180,180,由（ 1）得2tan2tan2tan2tanDCBA1cos1cos1cos(180)sinsinsin(180)ABAABA1cos(180)sin(180)BBBAsin2sin2连接BD，在ABD中，有222BDABADAADABcos2，在BCD中，有22BDBC2CD2cosBC CDC. 则)(2cos2222CDBCADABCDBCADABA73)4356(245362222. 于是7102cos1sin2AA. 连接AC，同理可得)(2cos2222CDADBCABCDADBCABB191)4536(245362222. 于是19106cos1sin2BB. 所以2tan2tan2tan2tanDCBA310410619210272sin2sin2BA. 【26】 （B，浙江，文16）解析： (I)由2)2(tAan，得31tanA所以2sin22tan2sin2cos2tan15AAAAA. BCDA第 25 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17 (II) 由，031tAanA，得1010sin A, 10103cosA. 又由3,4aB及正弦定理BbAasinsin，得53b,由)sin(sinBAC)4sin( A得552sin C. 设ABC的面积为S，则9sin21CabS. 【27】 （B，浙江，理16）解析： (I)由22221cab及正弦定理得：B2sinC2sin2121，所以CB2sin2cos又由4A，即43CB，得CB2sin2cosCC cossin2，解得2tanC.(II) 由tan2C，0,C得：552sinC，55cosC.又因为)4sin()sin(sinCCAB，故有10103sin B由正弦定理得bc322，又因为4A，3sin21Abc，所以26bc，故3b【28】 （B，湖南，文17）解析： (I)由tanabA及正弦定理，得sinsincossinAaAAbB，所以sincosBA. (II)sinsincosCABsin(180()ABsincosABsin()sincosABABsincoscossinABABsincosABcossinAB，3cossin4AB. 由 （ I） 知s i nc o sBA， 因此23sin4B， 又为钝角，所以3sin2B，故120B，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 18 由3cossin2AB知30A，从而180()30CAB. 综上所述，30A，120B，30C.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -