2022年导数与单调性极值最基础值习题 .pdf

第1页（共 27页）导数与单调性极值最基础值习题评卷人得分一选择题（共14小题）1可导函数 y=f（x）在某一点的导数值为0 是该函数在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件2函数 y=1+3xx3有（）A极小值 1，极大值 3 B极小值 2，极大值 3C极小值 1，极大值 1 D极小值 2，极大值 23 函数 f （x） =x3+ax23x9， 已知 f （x）的两个极值点为 x1， x2， 则 x1?x2= （）A9 B9 C 1 D14函数的最大值为（）ABe2C e De15已知 a 为函数 f（x）=x312x的极小值点，则a=（）A4 B2 C 4 D26已知函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c=（）A2 或 2 B9或 3 C 1 或 1 D3 或 17设函数 f（x）=xex，则（）Ax=1为 f（x）的极大值点Bx=1为 f（x）的极小值点Cx=1 为 f（x）的极大值点Dx=1 为 f（x）的极小值点8函数 y=x32ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（）A （0，3） B （0，）C （0，+）D （， 3）9已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值 10，则 f（2）等于（）A11 或 18 B 11 C18 D17 或 1810设三次函数 f（x）的导函数为 f （x） ，函数 y=x?f （x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第2页（共 27页）Af（x）的极大值为，极小值为Bf（x）的极大值为，极小值为Cf（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（3）Df（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（3）11若 f（x）=x3+2ax2+3 （a+2）x+1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围是（）Aaa2 Ba2 或 a1 Ca2 或 a1 Da1 或 a212函数 y=xex，x 0，4 的最小值为（）A0 BC D13函数 y=2x33x212x+5 在区间 0，3 上最大值与最小值分别是（）A5，15 B 5，4 C4，15 D5，1614已知 f（x）=2x36x2+m（m 为常数）在 2，2 上有最大值 3，那么此函数在 2，2 上的最小值是（）A37 B29 C5 D以上都不对评卷人得分二填空题（共10小题）15函数 f（x）=x33x2+1 的极小值点为16已知 f（x）=x3ax2bx+a2，当 x=1时，有极值 10，则 a+b=17已知函数 f（x）=x（xc）2在 x=2处有极大值，则 c=18已知函数 f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是19已知函数 f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第3页（共 27页）20已知函数 f（x）=4x+（x0，a0）在 x=3时取得最小值，则a=21f（x）=x33x2+2 在区间 1，1 上的最大值是22已知函数 f（x）=x312x+8 在区间 3，3 上的最大值与最小值分别为M，m，则 Mm=23设 f（x）=x32x+5，当 x 1，2 时，f（x）m 恒成立，则实数m 的取值范围为24f（x）=ax33x+1 对于 x 1，1 总有 f（x）0 成立，则 a=评卷人得分三解答题（共10小题）25已知函数 f（x）=ax3+x2+bx（其中常数 a，bR） ，g（x）=f（x）+f （x）是奇函数（1）求 f（x）的表达式；（2）讨论 g（x）的单调性，并求g（x）在区间 1，2 上的最大值和最小值26已知函数 f（x）=ln（1+x）x，g（x）=xlnx（）求函数 f（x）的最大值；（）设 0ab，证明 0g（a）+g（b）2g（）（ ba）ln227已知函数 f（x）=x1lnx（）求曲线 y=f（x）在点（ 2，f（2） ）处的切线方程；（）求函数 f（x）的极值；（）对? x（0，+） ，f（x）bx2 恒成立，求实数b 的取值范围28已知函数 f（x）=xlnx（）求 f（x）的最小值；（）若对所有 x1 都有 f（x）ax1，求实数 a 的取值范围29已知函数 f（x）=（x2）ex（1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在区间 0，2 上的最小值和最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第4页（共 27页）30已知函数 f（x）=ax36ax2+b（x 1，2 ）的最大值为 3，最小值为 29，求 a、b 的值31求函数 f（x）=x32x2+5 在区间 2，2 的最大值和最小值32已知函数 f（x）=lnx（）求函数 f（x）的单调增区间；（）证明；当 x1 时，f（x）x1；（）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在x01，当 x（1，x0）时，恒有f（x）k（x1） 33设函数 f（x）=1+（1+a）xx2x3，其中 a0（）讨论 f（x）在其定义域上的单调性；（）当 x 0，1 时，求 f（x）取得最大值和最小值时的x 的值34已知函数 f（x）满足 f（x）=f （1）ex1f（0）x+x2；（1）求 f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（ a+1）b 的最大值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第5页（共 27页）导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1可导函数 y=f（x）在某一点的导数值为0 是该函数在这点取极值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件【分析】 结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f （x0）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立【解答】 解：如 y=x3，y=3x2，y |x=0=0，但 x=0不是函数的极值点若函数在 x0取得极值，由定义可知f （x0）=0，所以 f （x0）=0 是 x0为函数 y=f（x）的极值点的必要不充分条件故选： D【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值 ? f （x0）=0，且 f （xx0）?f （xx0）02函数 y=1+3xx3有（）A极小值 1，极大值 3 B极小值 2，极大值 3C极小值 1，极大值 1 D极小值 2，极大值 2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】 解： y=1+3xx3，y=33x2，由 y=33x20，得 1x1，由 y=33x20，得 x1，或 x1，函数 y=1+3xx3的增区间是（ 1，1） ，减区间是（， 1） ， （1，+） 函数 y=1+3xx3在 x=1 处有极小值 f（1）=13（ 1）3=1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第6页（共 27页）函数 y=1+3xx3在 x=1处有极大值 f（1）=1+313=3故选： A【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于 0 时的实数 x 的范围，再讨论出函数的单调区间， 根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用3 函数 f （x） =x3+ax23x9， 已知 f （x）的两个极值点为 x1， x2， 则 x1?x2= （）A9 B9 C 1 D1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1?x2=1【解答】 解：由 f（x）=x3+ax23x9 得，f （x）=3x2+2ax3f （x）=0的两根为 x1，x2就是函数的两个极值点根据韦达定理，得故选： D【点评】 本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点4函数的最大值为（）ABe2C e De1【分析】 利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；【解答】 解：函数， （x0）y=，令 y=0，得 x=e，当 xe 时，y 0，f（x）为减函数，当 0 xe 时，y 0，f（x）为增函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第7页（共 27页）f（x）在 x=e处取极大值，也是最大值，y 最大值为 f（e）=e1，故选： D【点评】 此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；5已知 a 为函数 f（x）=x312x的极小值点，则a=（）A4 B2 C 4 D2【分析】可求导数得到 f （x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a 的值【解答】 解：f （x）=3x212；x2 时，f （x）0，2x2 时，f （x）0，x2 时，f （x）0；x=2是 f（x）的极小值点；又 a 为 f（x）的极小值点；a=2故选： D【点评】考查函数极小值点的定义， 以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象6已知函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c=（）A2 或 2 B9或 3 C 1 或 1 D3 或 1【分析】求导函数，确定函数的单调性， 确定函数的极值点， 利用函数 y=x33x+c的图象与 x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0 或极小值等于0，由此可求 c的值【解答】 解：求导函数可得 y=3（x+1） （x1） ，令 y 0，可得 x1 或 x1；令 y 0，可得 1x1；函数在（， 1） ， （1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在 x=1 处取得极大值，在x=1处取得极小值函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第8页（共 27页）极大值等于 0 或极小值等于 013+c=0或1+3+c=0，c=2 或 2故选： A【点评】本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与极值， 解题的关键是利用极大值等于 0 或极小值等于 07设函数 f（x）=xex，则（）Ax=1为 f（x）的极大值点Bx=1为 f（x）的极小值点Cx=1 为 f（x）的极大值点Dx=1 为 f（x）的极小值点【分析】 由题意，可先求出 f （x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出 x=1 为 f（x）的极小值点【解答】 解：由于 f（x）=xex，可得 f （x）=（x+1）ex，令 f （x）=（x+1）ex=0 可得 x=1令 f （x）=（x+1）ex0 可得 x1，即函数在（ 1，+）上是增函数令 f （x）=（x+1）ex0 可得 x1，即函数在（， 1）上是减函数所以 x=1 为 f（x）的极小值点故选： D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8函数 y=x32ax+a 在（0，1）内有极小值，则实数a 的取值范围是（）A （0，3） B （0，）C （0，+）D （， 3）【分析】先对函数求导，函数在（ 0，1）内有极小值，得到导函数等于0 时，求出 x 的值，这个值就是函数的极小值点， 使得这个点在 （0，1）上，求出 a 的值【解答】 解：根据题意， y=3x22a=0有极小值则方程有解a0 x=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第9页（共 27页）所以 x=是极小值点所以 01010a故选： B【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件，本题解题的关键是在一个区间上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解9已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值 10，则 f（2）等于（）A11 或 18 B 11 C18 D17 或 18【分析】根据函数在 x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为 0， 又因为 f （x）=3x2+2ax+b，所以得到： f （1）=3+2a+b=0，又因为 f（1）=10，所以可求出 a 与b 的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案【解答】 解：f （x）=3x2+2ax+b，或当时，f （x）=3（x1）20，在 x=1处不存在极值；当时，f （x）=3x2+8x11=（3x+11） （x1）x（，1） ，f （x）0，x（1，+） ，f （x）0，符合题意，f（2）=8+1622+16=18故选： C【点评】本题主要考查导数为0 时取到函数的极值的问题， 这里多注意联立方程组求未知数的思想，本题要注意f （x0）=0 是 x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验10设三次函数 f（x）的导函数为 f （x） ，函数 y=x?f （x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第10页（共 27页）Af（x）的极大值为，极小值为Bf（x）的极大值为，极小值为Cf（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（3）Df（x）的极大值为 f（3） ，极小值为 f（3）【分析】 观察图象知， x3 时，f （x）03x0 时，f （x）0由此知极小值为 f（3） 0 x3 时，yf （x）0 x3 时，f （x）0由此知极大值为 f（3） 【解答】 解：观察图象知， x3 时，y=x?f （x）0，f （x）03x0 时，y=x?f （x）0，f （x）0由此知极小值为 f（3） 0 x3 时，y=x?f （x）0，f （x）0 x3 时，y=x?f （x）0，f （x）0由此知极大值为 f（3） 故选： D【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象， 注意数形结合思想的合理运用11若 f（x）=x3+2ax2+3 （a+2）x+1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围是（）Aaa2 Ba2 或 a1 Ca2 或 a1 Da1 或 a2【分析】求出函数的导函数， 根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到 0；解出 a 的范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第11页（共 27页）【解答】 解：f （x）=3x2+4ax+3（a+2）f（x）有极大值和极小值=16a236（a+2）0解得 a2 或 a1故选： B【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同12函数 y=xex，x 0，4 的最小值为（）A0 BC D【分析】 先求出导函数 f （x） ，由 f （x）0 和 f （x）0，求出 x 的取值范围，得出函数 f（x）的单调区间，从而求出函数的最值【解答】 解：，当 x 0，1）时， f （x）0，f（x）单调递增，当 x（1，4 时，f （x）0，f（x）单调递减，f（0）=0，当 x=0时，f（x）有最小值，且 f（0）=0故选： A【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性，从而求出最值，属于基础题13函数 y=2x33x212x+5 在区间 0，3 上最大值与最小值分别是（）A5，15 B 5，4 C4，15 D5，16【分析】 对函数 y=2x33x212x+5 求导，利用导数研究函数在区间 0，3 上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间 0，3 上最大值与最小值位置， 求值即可【解答】 解：由题意 y=6x26x12令 y0，解得 x2 或 x1故函数 y=2x33x212x+5 在（0，2）减，在（ 2，3）上增名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第12页（共 27页）又 y（0）=5，y（2）=15，y（3）=4故函数 y=2x33x212x+5 在区间 0，3 上最大值与最小值分别是5，15故选： A【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值， 利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤14已知 f（x）=2x36x2+m（m 为常数）在 2，2 上有最大值 3，那么此函数在 2，2 上的最小值是（）A37 B29 C5 D以上都不对【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点 2 和 2 的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论【解答】 解： f （x）=6x212x=6x（x2） ，f（x）在（ 2，0）上为增函数，在（ 0，2）上为减函数，当 x=0时，f（x）=m 最大，m=3，从而 f（2）=37，f（2）=5最小值为 37故选： A【点评】 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间 a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a） ，f（b） 比较而得到的，属于基础题二填空题（共10小题）15函数 f（x）=x33x2+1 的极小值点为2【分析】 首先求导可得 f （x）=3x26x，解 3x26x=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点【解答】 解：f （x）=3x26x令 f （x）=3x26x=0得 x1=0，x2=2且 x（， 0）时， f （x）0；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第13页（共 27页）x（0，2）时， f （x）0；x（2，+）时， f （x）0故 f（x）在 x=2出取得极小值故答案为 2【点评】本题考查函数的极值问题， 属基础知识的考查 熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键16已知 f（x）=x3ax2bx+a2，当 x=1时，有极值 10，则 a+b=7【分析】 求导函数，利用函数f（x）=x3ax2bx+a2，当 x=1时，有极值 10，建立方程组，求得 a，b 的值，再验证，即可得到结论【解答】 解：函数 f（x）=x3ax2bx+a2f（x）=3x22axb，又函数 f（x）=x3ax2bx+a2，当 x=1时，有极值 10，或时，f（x）=3x22axb=（x1） （3x+11）=0有不等的实根，满足题意；时，f（x）=3x22axb=3（x1）2=0有两个相等的实根，不满足题意；a+b=7故答案为： 7【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题17已知函数 f（x）=x（xc）2在 x=2处有极大值，则 c=6【分析】 由已知函数 f（x）=x（xc）2在 x=2 处有极大值，则必有f （2）=0，且在 x=2的两侧异号即可得出【解答】 解： f （x）=（xc）2+2x（xc）=3x24cx+c2，且函数 f（x）=x（xc）2在 x=2处有极大值，f （2）=0，即 c28c+12=0，解得 c=6或 2经检验 c=2时，函数 f（x）在 x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第14页（共 27页）故 c=6故答案为 6【点评】 熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键18已知函数 f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（， 1）（ 2，+）【分析】 先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值，可以得到0，进而可解出 a 的范围【解答】 解： f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1f（x）=3x2+6ax+3（a+2）函数 f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1 既有极大值又有极小值=（6a）2433（a+2）0a2 或 a1故答案为：（， 1）（ 2，+）【点评】 本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题19已知函数 f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是m3 或 m6【分析】求出函数 f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出 m 的范围即可【解答】 解：函数 f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值，又存在极小值f （x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，=4m212（m+6）0解得 m3 或 m6故答案为： m3 或 m6【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件导数的引入， 为研究高次函数的极值与最值带来了方便20已知函数 f（x）=4x+（x0，a0）在 x=3 时取得最小值，则 a=36【分析】由题设函数在 x=3时取得最小值， 可得 f （3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第15页（共 27页）=0，解此方程即可得出a 的值【解答】 解：由题设函数在 x=3时取得最小值，x（0，+） ，得 x=3必定是函数的极值点，f （3）=0，f （x）=4，即 4=0，解得 a=36故答案为： 36【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解 “ 函数在 x=3时取得最小值 ” ，将其转化为 x=3处的导数为 0 等量关系21f（x）=x33x2+2 在区间 1，1 上的最大值是2【分析】 求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值【解答】 解：f （x）=3x26x=3x（x2）令 f （x）=0得 x=0或 x=2（舍）当1x0 时，f （x）0；当 0 x1 时，f （x）0所以当 x=0时，函数取得极大值即最大值所以 f（x）的最大值为 2故答案为 2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值，再求出区间的端点值，选出最值22已知函数 f（x）=x312x+8 在区间 3，3 上的最大值与最小值分别为M，m，则 Mm=32【分析】 先对函数 f（x）进行求导，令导函数等于0 求出 x，然后根据导函数的正负判断函数 f（x）的单调性，列出在区间 3，3 上 f（x）的单调性、导函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第16页（共 27页）f（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案【解答】 解：令 f （x）=3x212=0，得 x=2 或 x=2，列表得：x3（3，2）2（2，2）2（2，3）3f （x）+00+f（x）17极值24极值81可知 M=24，m=8，Mm=32故答案为： 32【点评】本题主要考查函数的求导运算、 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值 导数是由高等数学下放到高中的内容， 每年必考，要引起重视23设 f（x）=x32x+5，当 x 1，2 时，f（x）m 恒成立，则实数m 的取值范围为（7，+）【分析】先求导数， 然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m 的范围【解答】 解：f （x）=3x2x2=0解得： x=1或当 x时，f（x）0，当 x时，f（x）0，当 x（1，2）时， f（x）0，f（x）max= f（） ，f（2）max=7由 f（x）m 恒成立，所以 mfmax（x）=7故答案为：（7，+）【点评】 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间 a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a） ，f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第17页（共 27页）（b） 比较而得到的，属于基础题24f（x）=ax33x+1 对于 x 1，1 总有 f（x）0 成立，则 a=4【分析】 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类： x=0，x0，x0 等三种情形当 x=0时，不论 a 取何值，f（x）0 都成立；当 x0 时有 a，可构造函数 g（x）=，然后利用导数求 g（x）的最大值，只需要使ag（x）max，同理可得 x0 时的 a 的范围，从而可得 a 的值【解答】 解：若 x=0，则不论 a 取何值， f（x）0 都成立；当 x0，即 x（0，1 时，f（x）=ax33x+10 可化为： a设 g（x）=，则 g （x）=，所以 g（x）在区间（ 0， 上单调递增，在区间 ，1 上单调递减，因此 g（x）max=g（）=4，从而 a4；当 x0，即 x 1，0）时， f（x）=ax33x+10 可化为： a，g（x）=在区间 1，0）上单调递增，因此 g（x）min=g（1）=4，从而 a4，综上 a=4答案为： 4【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论， 转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法 在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答三解答题（共10小题）25已知函数 f（x）=ax3+x2+bx（其中常数 a，bR） ，g（x）=f（x）+f （x）是奇函数（1）求 f（x）的表达式；（2）讨论 g（x）的单调性，并求g（x）在区间 1，2 上的最大值和最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第18页（共 27页）【分析】 （）由 f（x）=3ax2+2x+b 得 g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数 g（x）是奇函数，由g（x）=g（x） ，利用待系数法求解（2）由（ 1）知，再求导 g（x）=x2+2，由 g（x）0 求得增区间，由 g（x）0 求得减区间；求最值时从极值和端点值中取【解答】 解： （1）由题意得 f（x）=3ax2+2x+b因此 g（x）=f（x）+f（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因为函数 g（x）是奇函数，所以g（x）=g（x） ，即对任意实数 x，有 a （x）3+ （3a+1） （x）2+ （b+2） （x）+b= ax3+ （3a+1）x2+（b+2）x+b从而 3a+1=0，b=0，解得，因此 f（x）的解析表达式为（2）由（ ）知，所以 g（x）=x2+2，令 g（x）=0解得则当时，g（x）0从而 g（x）在区间，上是减函数，当，从而 g（x）在区间上是增函数，由前面讨论知， g（x）在区间 1，2 上的最大值与最小值只能在时取得，而，因此 g（x）在区间 1，2 上的最大值为，最小值为【点评】 本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值26已知函数 f（x）=ln（1+x）x，g（x）=xlnx（）求函数 f（x）的最大值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第19页（共 27页）（）设 0ab，证明 0g（a）+g（b）2g（）（ ba）ln2【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出 x 的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值（2）先将 a，b 代入函数 g（x）得到 g（a）+g（b）2g（）的表达式后进行整理，根据（ 1）可得到 lnxx，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据 y=lnx的单调性进行放缩然后整理即可证明不等式右边成立【解答】 （）解：函数 f（x）的定义域为（ 1，+） 令 f （x）=0，解得 x=0当1x0 时，f （x）0，当 x0 时，f （x）0又 f（0）=0，故当且仅当 x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0（）证明：=由（）结论知 ln（1+x）x0（x1，且 x0） ，由题设，因此 ln=ln（1+），所以又，=（ba）ln（ba）ln2综上【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第20页（共 27页）27已知函数 f（x）=x1lnx（）求曲线 y=f（x）在点（ 2，f（2） ）处的切线方程；（）求函数 f（x）的极值；（）对? x（0，+） ，f（x）bx2 恒成立，求实数b 的取值范围【分析】 （）求出 f（2） ，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（）令导数大于 0 解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可（）由于 f（x）bx2 恒成立，得到在（0，+）上恒成立，构造函数 g（x）=，bg（x）min即可【解答】 解： （）函数的定义域为（ 0，+） ，则，f（2）=1ln2，曲线 y=f（x）在点（ 2，f（2） ）处的切线方程为，即 x2y2ln2=0；（），令 f （x）0，得 x1，列表：x（0，1）1（1，+）f （x）0+f（x）0函数 y=f（x）的极小值为 f（1）=0；（）依题意对 ? x（0，+） ，f（x）bx2 恒成立等价于 x1lnxbx2 在（0，+）上恒成立可得在（0，+）上恒成立，令 g（x）=，令 g （x）=0，得 x=e2列表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第21页（共 27页）x（0，e2）e2（e2，+）g（x）0+g（x）函数 y=g（x）的最小值为，根据题意，【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题， 着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用， 体现综合分析问题与解决问题能力， 属于中档题28已知函数 f（x）=xlnx（）求 f（x）的最小值；（）若对所有 x1 都有 f（x）ax1，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值（2）将 f（x）ax1 在 1，+）上恒成立转化为不等式对于 x 1，+）恒成立，然后令，对函数 g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a 小于等于这个最小值即可【解答】 解： （）f（x）的定义域为（ 0，+） ，f（x）的导数 f（x）=1+lnx令 f（x）0，解得；令 f（x）0，解得从而 f（x）在单调递减，在单调递增所以，当时，f（x）取得最小值（）依题意，得 f（x）ax1在 1，+）上恒成立，即不等式对于 x 1，+）恒成立令，则当 x1 时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第22页（共 27页）因为，故 g（x）是 1，+）上的增函数，所以 g（x）的最小值是 g（1）=1，从而 a 的取值范围是（， 1 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值 导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题， 要给予重视29已知函数 f（x）=（x2）ex（1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在区间 0，2 上的最小值和最大值【分析】 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）由（ 1）可得 f（x）在 0，1 递减，在（ 1，2 递增，即有 f（x）在 x=1 处取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值【解答】 解： （1）函数 f（x）的导数为 f （x）=（x1）ex，由 f （x）0，可得 x1；由 f （x）0，可得 x1则 f（x）的增区间为（ 1，+） ，减区间为（， 1） ；（2）由（ 1）可得 f（x）在 0，1 递减，在（ 1，2 递增，即有 f（x）在 x=1处取得极小值，且为最小值，且为f（1）=e，由 f（0）=2，f（2）=0，可得 f（x）的最大值为 f（2）=0则 f（x）的最小值为 e，最大值为 0【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键30已知函数 f（x）=ax36ax2+b（x 1，2 ）的最大值为 3，最小值为 29，求 a、b 的值【分析】 求出 f （x）=0 在 1，2 上的