2022年Maple入门教程Part_微分代数方程DAE求解 .pdf

Part10 ：Maple中的微分代数方程求解 西希安工程模拟软件（上海）有限公司，200810.0 Maple 的微分方程求解器介绍Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题：常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP) ，可以通过参数项选择求符号解 ( 解析解 ) 或数值解。 ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve,dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。使用Maple的PDE 工具可以完成对 PDE 系统的结构分析和指数降阶处理。了解更多信息，参考帮助系统中的 pdsolve andpdsolve/numeric.微分- 代数方程 (DAEs): dsolve/numeric 命令是符号 - 数值混合求解器，使用符号预处理和降阶技术，让Maple能够求解高指数的 DAE 问题。 Maple内置三个求解器用于处理DAEs ：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法， 2）Rosenbrock 方法，以及 3 ）修正的拓展后向差分隐式方法。 10.1 Maple 中的微分代数方程（ DAEs ）更多亮点：大部分情况下，通过识别是否存在因变量的纯代数方程，dsolve 命令可以判断给定的问题是否是微分代数方程，而不是常微分方程。如果输入是一个不含有纯代数方程的微分代数方程，使用solve 求解时需要用method参数指定对象是一个微分代数方程。dsolve 有三种数值方法求解 DAEs 。默认的 DAE IVP 方法是 modified Runge-Kutta Fehlberg method (rkf45_dae) ，另两个方法是 rosenbrock_dae 和 Modified Extended Backward-Differentiation Implicit method (mebdfi) ，可以通过 method 参数项指定。Maple 的ODE 数值求解器和 DAE IVP （初值问题）求解器可以处理用户自定义事件。关于求解 DAEs 的更多信息，请参考帮助 dsolve/numeric 和 dsolve/numeric/DAE.在本文中，我们将求解两个DAE 问题，第一个问题仅调用 dsolve/numeric 命令，使用默认的 DAE 求解器；第二个问题指定 Mebdfi 方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - (4)(5)(7)(3)(2)(1)(6)高阶DAEs ：笛卡儿坐标下的单摆在这个例子中，我们对建立了笛卡尔坐标系下的单摆模型。这个问题表示为一个index-3 DAE ，我们在dsolve 命令指定 numeric 参数项。然后是用 plotsodeplot 绘制结果的图形。加载 plots 绘图功能包，运动方程： 和 是单摆的位置坐标， 是刚性连杆上的压缩力。DAE 系统的指数可以通过对约束方程 () 重复求导获得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - (8)(9)最后一个方程中的 的系数是（见 ），这个方程是是一个常微分方程，DAEs 方程组的指数为 3。（对约束方程求导三次后得到常微分方程。）现在，求解这个方程组，并画出结果的图形：t12x, y01名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - t12vx, vy01234t12z0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - (10)(12)(11)使用指定的方法求解 DAE ：物体相互作用的范例这是三个变量的问题，不能使用Maple默认的数值 ODE 求解器求解，但可以通过指定的DAE 求解器求解。首先我们使用 PDEtoolsdeclare 用撇号（ ）显示导数。这里，解是限制在平面 上的。默认的数值求解器在期望的范围内失败。Warning, cannot evaluate the solution further right of 6.4957591, maxfun limit exceeded (see ?dsolve,maxfun for details)现在，我们可以使用 Modified Extended Backward-Differentiation Implicit method (mebdfi) 的DAE 求解器。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - t010000200003000040000a其他帮助dsolve, dsolve/numeric , dsolve/numeric/DAE, pdsolve更多信息见：“微分方程”教程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -