2022年小学奥数教案——抽屉原理 2.pdf

教案抽屉原理一 本讲学习目标初步抽屉原理的方法和心得。二 概念解析把 3 个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3 个苹果放在某一个抽屉里. 尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果 .如果把 5 个苹果任意放到4 个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果. 由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果. 道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1 个） ，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了. 由此得到：抽屉原理：把多于n 个的苹果放进n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理. 不要小看这个 “原理 ” ，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来13 人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、等十二种生肖）相同 .怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚. 事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13 人看成 13 个“苹果 ” ，把 12 种属相看成12 个“抽屉” ） 。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果 ” ，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。三 例题讲解例 1 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子. 请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉 . 把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5 个苹果 . 把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉. 由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。例 2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4 种花色， 2 张牌的花色可以有： 2 张方块， 2 张梅花，2 张红桃， 2 张黑桃， 1 张方块 1 张梅花， 1张方块 1 张黑桃， 1 张方块 1 张红桃， 1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃， 1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况 . 把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1 个就可以有题目所要的结果. 所以至少有 11 个人。例 3 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是7 的倍数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差 a-b 是 m的倍数 . 根据这个性质，本题只需证明这8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以7 的余数相同 . 我们可以把所有自然数按被7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类 .也就是 7 个抽屉 . 任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7 的余数相同，因此这两个数的差一定是7 的倍数。把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为 m类，叫做 m的剩余类或同余类，用 0 ，1 ，2 ，m-1 表示. 每一个类含有无穷多个数，例如1 中含有 1，m+1 ，2m 1，3m 1，. 在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉. 根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍数。在有些问题中， “抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“苹果”. 如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。例 4 从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是34。分析与解答我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8 个），必有两个数在同一个抽屉中. 由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。例 5 从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12。分析与解答在这20 个自然数中，差是12 的有以下 8 对：20，8， 19，7， 18，6， 17，5， 16，4， 15，3， 14，2，13，1。另外还有 4 个不能配对的数 9， 10， 11， 12，共制成 12个抽屉（每个括号看成一个抽屉） . 只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13 个数，即可办到（取 12个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于12）。例 6 从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。分析与解答根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉. 把这 20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10 个抽屉（显然，它们具有上述性质）：1，2，4，8，16， 3，6，12， 5，10，20， 7，14， 9，18， 11， 13，15， 17， 19。从这 10 个数组的 20 个数中任取 11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉. 由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例 7 证明：在任取的 5 个自然数中，必有3 个数，它们的和是3 的倍数。分析与解答按照被 3 除所得的余数，把全体自然数分成3 个剩余类，即构成3 个抽屉 . 如果任选的 5个自然数中，至少有3 个数在同一个抽屉，那么这3 个数除以 3 得到相同的余数r，所以它们的和一定是 3 的倍数（ 3r 被 3 整除）。如果每个抽屉至多有2 个选定的数，那么5 个数在 3 个抽屉中的分配必为1 个，2 个，2 个，即 3个抽屉中都有选定的数 . 在每个抽屉中各取1 个数，那么这 3 个数除以 3 得到的余数分别为0、1、2. 因此，它们的和也一定能被3 整除（ 0+1+2被 3 整除）。例 8 某校校庆，来了 n 位校友，彼此认识的握手问候. 请你证明无论什么情况，在这n 个校友中至少有两人握手的次数一样多。分析与解答共有 n 位校友，每个人握手的次数最少是0 次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有 n-1 次，即这个人与每位到会校友都握了手. 校友人数与握手次数的不同情况（0，1，2，n-1）数都是 n，还无法用抽屉原理。然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2 次；如果有一个校友握手的次数是 n-1 次，那么握手次数最少的不能少于1 次. 不管是前一种状态0、1、2、n-2，还是后一种状态 1、2、3、n-1，握手次数都只有n-1 种情况 . 把这 n-1 种情况看成 n-1 个抽屉，到会的 n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。五 课堂练习1. 从 10至 20这 11 个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。2. 从 1、2、3、20 这 20 个数中，任选 12 个数，证明其中一定包括两个数，它们的差是11。3.20 名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人比赛一次），证明：在比赛中的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4. 从整数 1、2、3、199、200中任选 101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数 .5.将这 11 个自然数分成下列6 组：10，19， 11，18， 12，17， 13，16， 14，15， 20，从中任取 7 个数，根据抽屉原理，一定有两个数取自同一数组，则这两个数的和是29。6.把这 20 个数分成下列 11 个组。1，12， 2，13， 3，14，9，20， 10， 11.其中前 9 组中的两数差为 11.任取 12个数，其中必有两个数取自同一数组，则它们的差是11.7.如果有一个人赛过0 次（即他还未与任何人赛过），那么最多的只能赛过18 次；如果有人赛过19 次（即他已与每个人都赛过了），那么最少的只能赛过1 次.无论怎样，都只有19 种情况，根据抽屉原理， 20 名棋手一定有两人赛过的场次相同。8.把这 200 个数分类如下：1，12，122，123，127，3，32，322，323，326，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5，52，522，523，525，(50)99，992，(51)101，(52)103，(100)199，以上共分为 100类，即 100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系 .从中任取 101 个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.六 励志或学科小故事 居里夫人几十年前，波兰有个叫玛妮雅的小姑娘，学习非常专心。不管周围怎么吵闹，都分散不了她的注意力。一次，玛妮雅在做功课，她姐姐和同学在她面前唱歌、跳舞、做游戏。玛妮雅就像没看见一样，在一旁专心地看书。姐姐和同学想试探她一下。她们悄悄地在玛妮雅身后搭起几张凳子，只要玛妮雅一动，凳子就会倒下来。时间一分一秒地过去了，玛妮雅读完了一本书，凳子仍然竖在那儿。从此姐姐和同学再也不逗她了，而且像玛妮雅一样专心读书，认真学习。玛妮雅长大以后，成为一个伟大的的科学家。她就是居里夫人。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -