2022年中考专题复习之切线的判定与性质 .pdf

学习好资料欢迎下载中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：【例 1】如图， AC 为 O 的直径， B 是O 外一点， AB 交 O 于 E 点，过 E 点作 O 的切线，交BC 于 D 点，DEDC，作 EFAC 于 F 点，交 AD 于 M 点。（1）求证： BC 是 O 的切线；（2）EM FM。分析： （1）由于AC 为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC 是 O 的切线，证到1 3900即可；（ 2）可证到 EFBC，考虑用比例线段证线段相等。证明：（ 1）连结 EC， DECD， 12 DE 切 O 于 E， 2BAC AC 为直径，BAC 3900 1 3900，故 BC 是O 的切线。（2） 1 3900， BCAC 又 EFAC ， EFBC CDMFADAMBDEM BDCD， EMFM 【例 2】如图， ABC 中，ABAC ，O 是 BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点 D。求证： AC 是 O 的切线。分析：由于 O 与 AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O向 AC 作垂线段OE， 证 OE就是 O 的半径即可。证明：连结OD、OA ，作 OEAC 于 E AB AC ，OBOC，AO 是 BAC 的平分线AB 是 O 的切线， ODAB 又OEAC ， OEOD AC 是 O 的切线。【例 3】如图，已知AB 是 O 的直径， BC 为 O 的切线，切点为B，OC 平行于弦AD ，OA r。（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）求OCAD的值；（3）若 AD OCr29，求 CD 的长。分析： （1）要证 CD 是O 的切线，由于D 在 O 上，所以只须连结OD，证 ODDC 即可；（ 2）求OCAD的值，一般是利用相似把OCAD转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（ 3）由OCAD，AD OCr29可求出 AD 、OC，根据勾股定理即可求出CD。证明：（ 1）连结 OD，证 ODC900即可；（2）连结 BD AB 为 O 的直径， ADB 900 OBC900， ADB OBC 又 A 3， ADB OBC OCABOBAD22rABOBOCAD例 1 图321MFOEDCBA例 2 图EODCBA例 3 图321ODCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）由（ 2）知22rOCAD，又知 AD OCr29AD 、OC 是关于x的方程022922rrxx的两根解此方程得21rx，rx42OCr， OCr4CDrrrODOC15162222探索与创新：【问题一】如图，以正方形ABCD 的边 AB 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG 切半圆于E，交 AD 于F，交 BA 的延长线于G， GA8。（1）求 G 的余弦值；（2）求 AE 的长。略解：（ 1）设正方形ABCD 的边长为a，FAFE6，在RtFCD中，222CDFDFC，222)()(ababa，解得ba4。5454cosbbbaaFCCDFCDAB CD， G FCD，54cosG（2）连结 BE， CG 切半圆于 E， AEG GBE G 为公共角，AEG EBG 213216GBGEBEAE在 Rt AEB 中，可求得5524AE【问题二】如图，已知ABC 中， ACBC，CAB （定值）， O 的圆心 O 在 AB 上，并分别与AC 、BC相切于点 P、Q。（1）求 POQ；（2）设 D 是 CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点 M，点 E 在 CB 的延长线上，试判断DOE 的大小是否保持不变，并说明理由。分析： （ 1）连结 OC，利用直角三角形的性质易求POQ；（ 2）试将 DOE 用含的式子表示出来，由于为定值，则 DOE 为定值。解：（ 1）连结 OC BC 切 O 于 P、Q， 1 2，OPCA ，OQCB CA CB ， COAB COP CAB ， COQ CBA CAB ， POQ COP COQ2（2）由 CD、DE、CE 都与 O 相切得：ODE21CDE， OED21CED DOE1800（ ODE OED）180021（ CDECED ）180021（1800 ACB ）1800211800（18002） 问题一图GFEODCBA问题二图NQPEODCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载0180 DOE 为定值。跟踪训练：一、选择题：1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在 RtABC 中，A900，点 O 在 BC 上，以 O 为圆心的 O 分别与 AB 、AC 相切于 E、F，若 ABa，AC b，则O 的半径为（）A、abB、abbaC、baabD、2ba3、正方形ABCD 中， AE 切以 BC 为直径的半圆于E，交 CD 于 F，则 CFFD（）A、12 B、13 C、14 D、25 4、如图，过 O 外一点 P 作O 的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结 AB ，在 AB 、PB、PA 上分别取一点D、E、F，使 AD BE，BD AF，连结 DE、DF、EF，则 EDF（）A、900 P B、90021P C、1800 P D、45021P 第 3 题图OFEDCBA第 4 题图POFEDBA第 6 题图COEDBA二、填空题：5、 已知 PA、 PB 是 O 的切线，A、 B 是切点，APB780，点 C 是O 上异于 A、B 的任一点， 则 ACB 。6、如图， ABBC，DCBC，BC 与以 AD为直径的 O 相切于点E，AB 9，CD4，则四边形ABCD的面积为。7、如图， O 为 RtABC 的内切圆，点D、E、F 为切点，若AD 6，BD4，则 ABC 的面积为。8、如图，已知AB 是 O 的直径， BC 是和 O 相切于点 B 的切线，过 O 上 A 点的直线AD OC，若 OA2 且 ADOC6，则 CD。第 7 题图FCOEDBA第 8题图CODBA第 9 题图CODBA9、如图，已知O 的直径为AB，BD OB， CAB 300，请根据已知条件和所给图形写出4 个正确的结论（除OAOBBD 外）：；。10、若圆外切等腰梯形ABCD 的面积为 20，AD 与 BC 之和为 10，则圆的半径为。三、计算或证明题：11、如图， AB 是半 O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点P 在线段 AM 上运动（不与点M 重合），点 Q 在半名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载O 上运动，且总保持PQPO，过点 Q 作O 的切线交 BA 的延长线于点C。（1）当 QPA600时，请你对 QCP 的形状做出猜想，并给予证明；（2）当 QPAB 时， QCP 的形状是三角形；（3） 则 （1）（2） 得出的结论，请进一步猜想， 当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时， QCP 一定是三角形。12、如图，割线ABC 与O 相交于 B、C 两点， D 为 O 上一点， E 为BC的中点， OE 交 BC 于 F，DE 交 AC于 G， ADG AGD 。（1）求证： AD 是 O 的切线；（2）如果 AB 2，AD 4，EG2，求 O 的半径。第 11题图MQPCOBA第 12 题图DEFGCBA第 13 题图ODECBA13、如图，在ABC 中， ABC 900，O 是 AB 上一点，以O 为圆心， OB 为半径的圆与AB 交于点 E，与 AC切于点 D，AD 2，AE1，求BCDS。14、如图， AB 是半圆（圆心为O）的直径， OD 是半径， BM 切半圆于B，OC 与弦 AD 平行且交BM 于 C。（1）求证： CD 是半圆的切线；（2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设AD 长为x，点 A 到直线 CD 的距离为y，试求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。第 14 题图MODCBA第 15 题图TEPOCBA15、如图， AB 是 O 的直径，点C 在 O 的半径 AO 上运动， PCAB 交 O 于 E，PT 切 O 于 T，PC2.5。（1）当 CE 正好是 O 的半径时， PT2，求 O 的半径；（2）设yPT2，xAC，求出y与x之间的函数关系式；（3） PTC 能不能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出PTC 的面积；若不能，请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题： DCBB 二、填空题：5、51 或 129；6、78；7、24；8、32；9、 ACB 900，AB 2BC，DC 是 O 的切线， BDBC 等； 10、2 三、计算或证明题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载11、（ 1） QCP 是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形12、（ 1）证 ODAD ；（2）32；13、过 D 作 DFBC 于 F，518BCDS；14、 （1）证 ODC900； （2）连结 BD，过 A 作 AECD 于 E，证 ADB AED ，则有ADABAEAD，即4xxy，241xy)40(x15、 （1） O 的半径为1.5； （2） 连结 OP、 OT， 由勾股定理得2225.1)5.1 (5 .2xy化简得25.632xxy（0 x 1.5）；（ 3） PTC 不可能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形。理由如下：当 PTCT 时，由于 PT 切 O 于 T，所以 CT 过圆心，即CT 就是 O 的半径，由（ 1）知， CT1.5，PT2，即PTCT，故 PTC 不可能变为以PC 为斜边的等腰直角三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -