2022年中考复习三角形问题 .pdf

2015湖南中考数学综合复习三角形问题1如图，菱形ABCD 中， B60o ，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上(1)如图 1，若 E 是 BC 的中点， AEF60o ，求证： BEDF ；(2)如图 2，若 EAF60o ，求证： AEF 是等边三角形【考点 】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定【专题 】证明题【分析 】 （1）首先连接AC，由菱形ABCD 中， B=60 ，根据菱形的性质，易得ABC 是等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，继而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（ 2 ） 首 先 连 接AC ， 可 得 ABC是 等 边 三 角 形 ， 即 可 得AB=AC ， 以 求 得ACF=B=60 ，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEB AFC，即可得 AE=AF，证得： AEF 是等边三角形【解答 】证明：（1）连接 AC，菱形 ABCD 中， B=60 ，AB=BC=CD， C=180 - B=120 ， ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点，AEBC， AEF=60 ， FEC=90 -AEF=30 ， CFE=180 -FEC-C=180 -30 -120 =30 ， FEC=CFE ，EC=CF，BE=DF ；（2）连接 AC，四边形ABCD 是菱形， B=60AB=BC， D=B=60 ， ACB=ACF， ABC 是等边三角形，AB=AC， ACB=60 ， B=ACF=60 ，ADBC， AEB=EAD =EAF+FAD=60 +FAD，AFC=D+FAD=60 +FAD， AEB=AFC ，在 ABE 和AFC 中，B=ACF AEB=AFC AB=AC ABEACF（AAS） ，B E C F A D 图 1 B E C F A D 图 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - AE=AF， EAF=60 ， AEF 是等边三角形【点评 】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用2如图，在 ABC 中，ABAC10cm，BC12cm，点 D 是 BC 边的中点点P 从点 B 出发，以 acm/s(a0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1cm/s 的速度从点D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动， 其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若 a2，BPQBDA ，求 t 的值；(2)设点 M 在 AC 上，四边形PQCM 为平行四边形若 a52，求 PQ 的长；是否存在实数a， 使得点 P在 ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由【考点 】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题 】几何综合题【分析 】 （1）由ABC 中，AB=AC=10 厘米， BC=12 厘米， D 是 BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD 与 CD 的长，又由a=2，BPQ BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t 的值；（2） 首先过点P 作 PEBC 于 E， 由四边形PQCM 为平行四边形， 易证得 PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假设存在点P 在ACB 的平分线上， 由四边形PQCM 为平行四边形， 可得四边形 PQCM 是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得 t 值为负，故可得不存在【解答 】解：（1）ABC 中， AB=AC=10cm，BC=12cm，D 是 BC 的中点，BD=CD=1 2 BC=6cm，a=2，BP=2tcm，DQ=tcm，BQ=BD-QD=6-t（cm） ， BPQBDA，BP BD =BQ AB ，即 2t 6 =6-t 10 ，解得： t=18 13 ；（2）过点 P 作 PEBC 于 E，四边形PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - PB=CM，PB=PQ，BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，PB=5 2 tcm，ADBC，PEAD，PB：AB=BE：BD，即 5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得： t=3 2 ，PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm） ；不存在理由如下：四边形 PQCM 为平行四边形，PMCQ，PQCM，PQ=CM，PB：AB=CM：AC，AB=AC， PB=CM，PB=PQ若点 P 在 ACB 的平分线上，则PCQ=PCM，PMCQ， PCQ=CPM， CPM=PCM，PM=CM，四边形 PQCM 是菱形，PQ=CQ，PB=CQ，PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm） ，PM=CQ=6+t（cm） ，AP=AB-PB=10-at（cm） ，即 at=6+t，PMCQ，PM：BC=AP：AB，6+t 12 =10-at 10 ，化简得： 6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在实数a，使得点 P 在 ACB 的平分线上【点评 】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3.已知四边形ABCD 是正方形， O 为正方形对角线的交点，一动点P 从 B 开始，沿射线BC 运到，连结DP，作 CNDP 于点 M，且交直线AB 于点 N，连结 OP，ON。 （当 P 在线段 BC 上时，如图9：当 P 在 BC 的延长线上时，如图10）（1）请从图 9，图 10 中任选一图证明下面结论：BN=CP：OP=ON，且 OPON(2) 设 AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。知识 点考 察 ：正方形的性质，三角形外角和定理，全等三角形的判定，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。能力考察：观察能力，逻辑思维与推理能力，书写表达能力，综合运用知识的能力，分类讨论的能力。分析：对于图9，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN，CP 的分布情况，可以观察 CNB 和DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察 CAN和 DBP，证明 AN=BP，从而有 BN=CP。至于以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。对于图 10 来说图型要稍微复杂一点，先证PDB NCA，得 DP=CN再证 PDONCO，则有 OP=ON，证明：对于图9， （1） ABCD 为正方形， DCP=90o ，DCP 为 Rt，同理： CBN 为 Rt，而 CMDP PCM=CDP在 RtDCP 与 RtCBN 中：DCP=CBN=90oCDP=PCNCD=BCRtDCP RtCBNCP=BN而 OCP=OBN=45oOC=OBCOPBONON=OPCOP=BON又OCOBCOB=COP+POB=90o名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - =BON+POB=90oONOP（2）S四边形OPBN=SONB+SOPB=2212)-421xx（=4 (0 x4)对于图 10， （1） ABCD 为正方形， AC，BD 为对角线， DCP=90o ，而 CMDP， PCM=PDC PDB=ACN又 DPB=ANCBD=AC PDBNCAPB=ANDP=CNCP=BN 而 PDB=ACN且 OD=OCPDONCOOP=ON， DOP=CONDOC=90o， PON=NOC+POC=DOP+POC=DOC =90o， OPON。（2）S四边形OBNP=S OBP+SPBN=xxxxx-21)4-(212212(x4)点评：这是一个动态几何问题，综合性程度高，图形也比较复杂，但我们只要仔细观察、冷静思考、多读几遍题目就会找到解决问题的突破口，千万不能轻易放弃。4. 如图，把正方形ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转45 得到正方形A B CD （此时，点B落在对角线AC 上，点 A 落在 CD 的延长线上） ，A B 交 AD 于点 E，连接 AA 、CE求证：（1）ADA CDE；（2）直线 CE 是线段 AA的垂直平分线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解： 证明： （ 1）四边形ABCD 是正方形，AD=CD， ADC=90 ， A DE=90 ，根据旋转的方法可得：EA D=45 ， ， A ED=45 ，AD=DE，在AA D 和CED 中， AA D CED（SAS ） ；（2） AC=A C，点 C 在 AA 的垂直平分线上，AC 是正方形ABCD 的对角线， CAE=45 ，AC=AC，CD=CB，AB= A D，在AEB和AED 中， AEB AED，AE=AE，点 E 也在 AA 的垂直平分线上，直线 CE 是线段 AA 的垂直平分线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5如图，已知正方形ABCD 中， BE 平分 DBC 且交 CD 边于点 E，将BCE 绕点 C 顺时针旋转到 DCF 的位置，并延长BE 交 DF 于点 G（1）求证： BDG DEG；（2）若 EG?BG=4，求 BE 的长解答： （1）证明：将 BCE 绕点 C 顺时针旋转到 DCF 的位置， BCE DCF ， FDC =EBC，BE 平分 DBC ， DBE=EBC， FDC =EBE， DGE=DGE， BDG DEG（2）解： BCE DCF， F=BEC，EBC=FDC，四边形ABCD 是正方形， DCB=90 ， DBC=BDC=45 ，BE 平分 DBC ， DBE=EBC=22.5 =FDC ， BDF=45 +22.5 =67.5 ，F=90 22.5 =67.5 =BDF ，BD=BF， BCE DCF ， F=BEC=67.5 =DEG， DGB=180 22.567.5 =90 ，即 BGDF ，BD=BF，DF =2DG， BDG DEG，BG EG=4，=，BG EG=DG DG=4，DG=2，BE=DF=2DG=4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6如图，已知E 是? ABCD 中 BC 边的中点，连接AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点F（1）求证： ABEFCE（2）连接 ACBF，若 AEC=2ABC，求证：四边形ABFC 为矩形考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题： 证明题。分析： （1）由 ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB 与 DC 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由 E 为 BC 的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA 可得出三角形ABE 与三角形 FCE 全等；（2）由ABE 与FCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由 AB 与 CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC 为平行四边形， 根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由 AEC 为三角形ABE 的外角，利用外角的性质得到AEB 等于 ABE+EAB，再由 AEC=2ABC，得到 ABE=EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出 AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC 为矩形解答： 证明：（1）四边形ABCD 为平行四边形，ABDC， ABE= ECF，又 E 为 BC 的中点，BE=CE，在ABE 和FCE 中， ABE FCE（ASA） ；（2） ABE FCE，AB=CF ，又 ABCF，四边形 ABFC 为平行四边形，BE=EC，AE=EF，又 AEC=2ABC，且 AEC 为ABE 的外角， AEC= ABC+EAB， ABC= EAB，AE=BE，AE+EF=BE+EC，即 AF=BC，则四边形ABFC 为矩形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 点评： 此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键7如图所示，在形状和大小不确定的ABC 中， BC=6，E、F 分别是 ABAC 的中点， P在 EF 或 EF 的延长线上， BP 交 CE 于 D，Q 在 CE 上且 BQ 平分 CBP，设 BP=y，PE=x（1）当 x=EF 时，求 SDPE：SDBC的值；（2）当 CQ=CE 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 CQ=CE 时，求 y 与 x之间的函数关系式；当 CQ=CE（n 为不小于 2 的常数）时，直接写出y 与 x 之间的函数关系式考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形中位线定理。专题： 代数几何综合题；压轴题。分析：（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得SDPE：SDBC的值；（2） （3）问的解答，采用一般到特殊的方法解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k0）时， y 与 x 满足的函数关系式为：y=6kx；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（2）中式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用解答： 解： （ 1） E、F 分别是 ABAC 的中点， x=EF，EFBC，且 EF=BC， EDPCDB，=，SDPE：SDBC=1：36；（2）如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则 DP=yc；不妨设 EQ=kCQ=ka（k0） ，则 DQ=kab，CD=（k+1）ab过 Q 点作 QMBC 于点 M，作 QNBP 于点 N，BQ 平分 CBP， QM=QN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - ，又，即EPBC，即EPBC，即由式联立解得：y=6kx 当 CQ=CE 时， k=1，y 与 x 之间的函数关系式为：y=6x（3）当 CQ=CE 时， k=2，由（ 2）中式可知，y 与 x 之间的函数关系式为：y=12x；当 CQ=CE（n 为不小于 2 的常数）时， k=n1，由（ 2）中式可知，y 与 x 之间的函数关系式为： y=6（n1） x；点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错本题第（2） （3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=CE 时， CQ=CE 时分别探究y 与 x 的函数关系式，然后推广到当CQ=CE（n 为不小于 2 的常数）时的一般情况名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8问题情境：将一副直角三角板（RtABC 和 RtDEF）按图 1 所示的方式摆放，其中ACB=90 ，CA=CB， FDE=90 ，O 是 AB 的中点，点D 与点 O 重合， DF AC 于点 M，DEBC 于点 N，试判断线段OM 与 ON 的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解： OM=ON，证明如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线，CA=CB，CO 是ACB 的角平分线（依据 1）OMAC，ONBC， OM=ON （依据 2）反思交流：（1）上述证明过程中的“ 依据 1” 和“ 依据 2” 分别是指：依据 1：依据 2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图 1 中的 RtDEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图2 所示的位置，使点D 落在 BA的延长线上， FD 的延长线与CA 的延长线垂直相交于点M，BC 的延长线与DE 垂直相交于点 N，连接 OM、ON，试判断线段OM、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质。解答： （1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等（2）证明： CA=CB， A=B，O 是 AB 的中点，OA=OBDF AC，DEBC， AMO=BNO=90 ，在 OMA 和ONB 中， OMA ONB（AAS） ，OM=ON（3）解： OM=ON，OMON理由如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上的中线 ACB=90 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - OC=AB=OB，又 CA=CB， CAB= B=45，1=2=45 ，AOC=BOC=90 ， 2=B，BNDE， BND=90 ，又 B=45 ， 3=45 ， 3=B，DN=NB ACB=90 ， NCM=90 又 BNDE， DNC=90四边形 DMCN 是矩形，DN=MC，MC=NB， MOC NOB（SAS ） ，OM=ON， MOC=NOB， MOC CON=NOB CON，即 MON=BOC=90 ，OMON名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9. （本小题满分9 分）如图（10）所示：等边 ABC中，线段AD为其内角平分线，过D点的直线11B CAC于1C交AB的延长线于1B. （1）请你探究：ACCDABDB，1111ACC DABDB是否成立 ? （2）请你继续探究：若ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线， 请问ACCDABDB一定成立吗？并证明你的判断. （3）如图（11）所示RtABC中，090ACB，8AC,403AB,E为AB上一点且5AE，CE交其内角角平分线AD与F.试求DFFA的值 . 【考点 】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理【专题 】探究型【分析 】（1） 根据等边三角形的性质得到AD 垂直平分BC， CAD =BAD =30 ， AB=AC，则 DB=CD， 易得ACCDABDB； 由于 C1AB1=60 ， 得 B1=30 ， 则 AB1=2AC1，同理可得到DB1=2DC1，易得1111ACC DABDB；（2）过 B 点作 BEAC 交 AD 的延长线于E 点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到 E=CAD=BAD，则 BE=AB，并且根据相似三角形的判定得 EBD ACD ， 得 到AC/BE=CD/DB ， 而BE=AB ， 于 是 有AC/AB=CD/DB，这实际是三角形的角平分线定理；（3）AD 为ABC 的内角角平分线，由（2）的结论得到533408ABACDBCD，又5353405EBAE，则有EBAEDBCD，得到DEAC ， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 得 DEF ACF ， 即 有85ACAEFCEFFADF【解答 】解：（1）易验证DBCDABAC1,111121DBDCABAC这两个等式都成立；2分(2)可以判断结论仍然成立，证明如下：1分ABCC1B1D图（ 10）AEFBCD图（ 11）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 如右图所示ABC为任意三角形，过B 点作 BEAC 交AD 的延长线于E 点E=CAD=BADBE=AB又EBD ACD1分,DBCDBEAC又 BE=ABDBCDABAC即对任意三角形结论仍然成立. 1分3如图（ 11）所示，连结EDAD 为 ABC的内角角平分线533408ABACDBCD分而5353405EBAE分EBAEDBCD, DEAC DEFACF分85ACAEFCEFFADF分【点评 】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等也考查了等边三角形的性质、含30 的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质10现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开， 拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和考点 ： 图形的剪拼。分析： 根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和解答： 解：如图：ECDBA图（ 11）FAEDCB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，AB=AC=10，BD=CD=6，AD=8，拼成的各种四边形如下：BD=10，四边形的两条对角线长的和是10 2=20；AC=4，四边形的两条对角线长的和是AC+BD=4+8；BD=2；四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+2；BD=2BO=2 4.8=9.6，四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6点评： 此题考查了图形的剪拼，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -