2022年巧用比例性质,解证比例线段 .pdf

巧用比例性质，解证比例线段江苏省东台中学实验初中周礼寅比例的三条性质，是相似形中证明比例线段问题的基本依据，若能灵活加以应用，则可减少思维障碍，迅速打开解题突破口。1巧用基本性质“三点形法”是证明线段等积的最常用也是最有效的方法。它是根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式，找出其中包含的几个字母，是否存在可由“三点”定出的两个相似三角形。例 1、如图 1，在 Rt ABC中， BAC=，AB=AC ，D为 BC中点， E为 AC上一点，点G在 BE上，连结DG并延长交AE于 F，若 FGE=，（ 1）求证： BD BC=BG BE；（ 2）求证： AG BE ；（3）若 E为 AC的中点，求EFFD的值。分析：（） 将待证的等积式化为比例式：，横看：比例式的两个分子为B、D、E 三点，两个分母为B、G、C三点，均不能构成相似三角形；竖看：比例式左端BD 、 BG构成 BDG ，右端 BE 、 BC构成 BEC ，依“三点形法”只需证BDG BEC ；（ 2）、（ 3）分析略。在运用“三点形法”时，首先要化等积式为比例式，然后再横看看、竖看看，找到相似三角形进而证明。但有时将等积式化为比例式后无法再用“三点形法” ，此时还需运用以下三种常用的转化方法进行证明：11 等线段转化法例 2、如图 2， ABC中， AB=AC ，AD是中线， P为 AD上一点，过点C作 CFAB ，延长BP交 AC于 E，交 CF于 F，求证：=PE PF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析：线段BP 、PE、PF在同一条直线BE上，无法用相似三角形来证明。连结PC ，可得BP=PC ，故可用PC来替换 BP。证明：连结PC ， ABC中， AB=AC ，AD是中线AP平分 BAC ， BAP= CAP BAP CAP ，BP=CP ， ABP= ACP又 CFAB ABP= F ACP= F PCF PEC，=PE PF而 BP=CP=PEPF将某线段用与其相等的线段替换，以便能构成相似三角形，这是证明线段比例式和等积式的基本方法之一。12 等积转化法例 3、 如图 3， 在 ABC中， ADBC于 D ， DE AB于 E， DF AC于 F， 求证：AE AB=AF AC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析：待证结论中的线段虽然能构成ABC 与 AEF ，但不能找到相似条件。注意到题目中的垂直关系较多，联系课本中的 “母子相似形” 这一基本图形的有关结论，可将待证结论转化。证明：AD BC ， DEABRtADB RtAED，=AB AE同理，=AF ACAE AB=AF AC“母子相似形”这一基本图形是教材中的例题，它的基本结论有如下几个：如图，在Rt ABC中 CD AB于 D，则有ABC ACD CBD=BD AD，=AD AB，=BD AB CDAB= BCAC要特别注意这些结论的灵活运用。13 等比转化法例 4、已知如图4,CD 是 RtABC斜边 AB上的高， E 为 BC的中点， ED的延长线交CA于 F，求证： AC BC=DF CF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析：将结论改写为：，横看，分子不能构成两个三角形；竖看，虽依“三点形法”有 ABC 与 DCF ，但它们显然不相似，只能另寻突破口。注意到“母子相似形”这一重要的基本图形，有，故只需证，即证 FDC FAD 。证明：在RtABC中， CD AB B=ACD ， ACD CBD又 E为 Rt CDB中 BC的中点DE=BE=CE ， B=EDB= ADF FDC FAD即 AC BC=DF CF以上几种方法都是利用比例的基本性质对待证结论进行的等价转化,这种转化是相似形中最常用的一种变形。2巧用合比性质当待证结论经转化后，其形式与合比性质相似，这时应再次运用合比性质将结论进一步转化，直至找到相似三角形。例 5、已知如图5, 在 ABC中，AD为 BAC的角平分线， EF是 AD的垂直平分线且交AB于 E，交 BC的延长线于F，求证： DC DF=BD CF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析：欲证： DC DF=BD CF即证：即证：若连结 AF，则 AF=DF故即证：只需证 FAB FCA证明：连结 AF，则 AF=DF ， FAD= FDAAD平分 BAC BAD= CAD又 FAD= CAD+ CAF ， FDA= B+BAD B= CAF FAB FCA ，以下证明略。3巧用等比性质例 6、 如图 6， I 是 ABC三个内角平分线的交点，AI 交对边于 D， 求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析： 观察等式右边， 可用合比性质或等比性质转化。但若用合比性质进行转化，左边不易转化，故考虑用等比性质转化待证结论。欲证：即证：由于 BI、 CI 分别平分 ABC 、 ACB ，故有：由等比性质，得证。注：本题证明过程中应用了角平分线的性质，即如图 7， 若 AD平分 BAC ， 则(图 7) 相似三角形中比例线段的证明方法很多，也很灵活。 我们只有在平时学习中主动探究，合作交流，注重总结，举一反三，这样才能真正做数学学习的主人。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -