2022年《整式的运算》章末复习资料 .pdf

博士教育李老师QQ2213918490 1 七年级数学整式的运算复习考点 一. 整式1. 单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的符号, 如果一个单项式只是字母的积, 并非没有系数 . 一个单项式中, 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 例 1. 在下列代数式：xyxabcab3,0,32,4,3中，单项式有【】（A）3 个（B） 4 个（C）5 个（D）6 个例 2. 单项式7243xy的次数是【】（A）8 次（B）3 次（C）4 次（D ）5 次例 3. 下列说法中正确的是【】（A）代数式一定是单项式（B）单项式一定是代数式（C）单项式x 的次数是 0 （D）单项式 2x2y2的次数是 6。例 4. 单项式32ba的系数是，次数是。2. 多项式几个单项式的和叫做多项式. 在多项式中 , 每个单项式叫做多项式的项. 不含字母的项叫做常数项. 一个多项式中, 次数最高项的次数, 叫做这个多项式的次数. 例 5. 在下列代数式：1,212,3, 1,21,2122xxbabbaab中，多项式有【】（A）2 个（B） 3 个（C）4 个（D）5 个例 6. 下列多项式次数为3的是【】（A） 5x26x1 （B）x2x1 （C）a2babb2（D ） x2y22xy1 3. 整式单项式和多项式统称为整式. 其他代数式多项式单项式整式代数式考点 二. 整式的加减1. 整式的加减实质上就是去括号后, 合并同类项 , 运算结果是一个多项式或是单项式. 2. 括号前面是“”号,去括号时 ,括号内各项要变号, 一个数与多项式相乘时, 这个数与括号内各项都要相乘. 例 7. 化简：（1）2a23ab2b2（ 2a2ab 3b2）（2） 2x （ 5a 7x2a）例 8. 减去 2x 后，等于 4x23x5 的代数式是什么？例 9. 一个多项式加上3x2y3xy2得 x33x2y，这个多项式是多少？练习(1) 下列代数式中，单项式共有个，多项式共有个。231a, 52243ba, 2， ab ，)(1yxa, )(21ba, a ,712x, xy,（2）单项232zyx式的系数是，次数是；单项式32ab的次数是；系数是。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 2 （3）22322abbacab是单项式和，次数最高的项是，它是次项式，二次项是，常数项是(4)如果多项式3xm（ n1）x+1 是关于 x 的二次二项式， ，则 m=_,n=_ 。(5) 下列说法正确的是（）A. 3x5 的项是 3x 和 5 B. 21x和3xy都是单项式C. zyx和222yxyx都是多项式D. 212x和7ab都是整式(6)在多项式533axbxcx中,当 x=3 时,多项式的值为5,当 x=-3 时533axbxcx=_ *(7)有一串单项式：x，2x2， 3x3，4x4，, ，19x19，20 x20. 你能说出它们的规律是什么吗？ 写出第 2007 个单项式；写出第 n 个，第 (n1)个单项式。*(8)阅读下题的解法，完成填空：已知关于x 的多项式 P3x26x7，Qax2bx c，PQ 是二次三项式吗？请说明理由；若不是，请说明PQ 是一个怎样的代数式，并指出a、 b、c 应满足的条件。解： PQ(3x26x7)( ax2bxc) (3a) x2(b6)x (7c). (1) 当 a_，b_时， PQ 是一个二次式；(2) 当 a_，b_时， PQ 是一个一次式；(3) 当 a_，b_时， PQ 是常数；(4) 当 a_，b_，c_时， P Q 是一个二次三项式。考点 三. 同底数幂的乘法1. 同底数幂的乘法法则 :nmnmaaa(m,n都是正数 ) 2. 在应用法则运算时, 要注意以下几点: 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；指数是 1时，不要误以为没有指数；当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为pnmpnmaaaa（其中 m 、n、p均为正数）；公式还可以逆用：nmnmaaa（m 、 n均为正整数）例 10. 111010mn=_,456( 6)=_. 例 11.25() ()xyxy=_. 例 12.若34maa a, 则 m=_;若416ax xx, 则 a=_。例 13.若2,5mnaa, 则m na=_. 例 14.下面计算正确的是( ) A 326b bb； B 336xxx； C 426aaa； D 56mmm考点 四幂的乘方与积的乘方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 3 1. 幂的乘方法则：mnnmaa(m,n都是正数 ) 。2. 积的乘方法则：nnnbaab（n为正整数）。3幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。例 15.1001001( )( 3)3 =_ 。例 16.若2,3nnxy, 则()nxy=_。例 17.计算：（1）221()3ab c（2）23()naa（3）5237()()pqpq（4）23222(3)()aaa（5）221()()nnx yxy（6）82332()()() ppp考点 五. 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则 :nmnmaaa (a 0,m、n都是正数 , 且mn). 2. 在应用时需要注意以下几点: 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数 ,所以法则中 a0. 任何不等于 0的数的 0次幂等于 1, 即010aa, 如1100,(-2.50=1), 则00无意义 . 任何不等于0的数的 -p次幂 (p 是正整数 ), 等于这个数的p的次幂的倒数, 即ppaa1 ( a0,p 是正整数 ), 而0-1,0-3都是无意义的。例 18. 计算52()()xx=_, 10234xxxx =_. 例 19. 水的质量0.000204kg, 用科学记数法表示为_. 例 20. 若0(2)x有意义 , 则 x_. 例 21. 如果3,9mnaa, 则32mna=_. 例 22. 若 5x-3y-2=0,则531010 xy=_. 例 23. 计算： （1）02(3)( 0.2)（ 2）23 24()() ()mnmnmn练习（1）下列计算是否正确，如有错误请改正。a3a2=a6b4b4=2b4x5+x5=x10 y7y=y8 (x3) 3= x6a6a4= a24 (ab4) 4= ab8(-3pq)2=-6p2q2 a6 a=a5b6b3=b2a10a9=a (-bc)4(-bc)2=-b2c2 （2）23的值是（）A6B6C9D9(3)、比较大小1002753;41674(4).若159382babanmm成立，则m= ，n= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 4 (3)20052006315155321352125.0）（）（）（）（(4) 、52008 72009的个位数字是*(5) 若 x2n3， 则 x10n_； 若 10m=5， 10n=3,则 102m-3n-1的值是;若84, 32nm, 则1232nm= .*(6) 已知 39m 27m321，则 m_；若36428x，则 x_；*（7）已知 2a3，2b6，2c24，求 a、b、c 之间的关系。*(8)已知 39m27 m321，求 m 的值。*（9）若 xm3，xn2，求x2m3n的值；x3m2n的值。*(10) 若m4n50，求 2m16n的值。考点 六. 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘法则 :单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。2单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例 24计算：（1） a6b （ a6b）（2）x （ x y）（3） （a）（a21）考点 七平方差公式1平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即22bababa。2. 结构特征：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。例 25. 下列式中能用平方差公式计算的有( ) (x-12y)(x+12y), (3a-bc)(-bc-3a), (3-x+y)(3+x+y), (100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个例 26. 利用平方差公式计算：（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22xx（3）(a+b+c)(a-b-c) （4）18201999考点 八完全平方公式1完 全平方 公 式：两 数 和 （ 或 差 ） 的 平 方 ， 等 于 它 们 的 平 方 和 ， 加 上 （ 或 减 去 ） 它 们 的 积 的 2 倍 ， 即2222bababa；2结构特征：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 5 公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。例 27. 若 x2mx是一个完全平方式，则m 的值为。例 28. 计算：（1）21x（2）221ba（3）210151yx（4）)12)(12(yxyx（5）)2)(4)2(2yxyxyx（6） 9982 考点 九整式的除法1单项式除法单项式法则：单项式相除， 把系数、 同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。2多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。例 29. （1） 8a2b2c_=2a2bc. （2）_73(2 10 )5 10例 30计算：（1）223293mmmmaba b（2） (7x3-6x2+3x) 3x （3）232324(2)(0.5)( 25)() xyx y zxyxy练习1.梯形的上底长为(4n 3m)厘米，下底长为 (2m5n)厘米，它的高为 (m2n)厘米，则此梯形的面积等于_。2.(3a2b)( _ ) 4b29a2; (2x4y)(x2y)_。3.(2a3)(4a6)(4a29)_。4.用平方差公式计算：1002992982972962952, 2212_。5.( _ ) (4a2)16a512a45a2. 6.若 x2mx15(x3)(xn)，则 m_; n_。7.(2x 3y)2_； (_)2x24xy4y2；2221_1aaaa. 8.x24xk 是完全平方式，则k_；若 x2mx9 是完全平方式，则m_。9.bacba23423_; 3222324bacba_. 10.下列计算中，正确的是（）A. 3 x22x3 6x6B. 2x3x56x5C. 3a25a415a6D. 4x55x49x911.361222yxykxyxnm，则nmk等于（）A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 6 12.下列计算中 5a7(2a3)3a4； (2x2y4z)(4x2y2)zy221； (3xn1yn)(3xnyn1)xy2n1； 4xn2(2x) 2xn1，其中错误的有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个13.2000240001999 19992的计算结果是（）A. 1 B. 1 C. 20002D. 1999214.等式 (ab) 2(ba) 2； (a b) 2(a b) 2； (ab) 2(ab) 2； a2b2(ba)(ba)； (ab) 2a2b22ab；(ab) 2 a2b2 2ab；(a b) 2(ab) 24ab 中，无论 a、b 取何值总能成立的有（）A. 6个B. 5 个C. 4 个D. 3 个15.计算： (1) 223232mm；(2)99yxyx; (3)2444xxx; (4) 33344556531095643yxyxyxyx(5)12121212122842n；(6) 22222101191141131121116. 先化简，再求值：212152323xxxxx，其中31x考点十、因式分解1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解 . 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法：把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()abc是mambmc除以 m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法 . 用式子表求如下：()mambmcm abc注： i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii公因式的构成： 系数： 各项系数的最大公约数；字母： 各项都含有的相同字母指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法：把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法 .）平方差公式22()()abab ab注意： 条件：两个二次幂的差的形式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 7 平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么. ）完全平方公式2222222() ,2()aabbabaabbab注意： 是关于某个字母（或式子）的二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式；中间项恰是这两数乘积的2 倍（或乘积2 倍的相反数） ；使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量 . 补充： 常见的两个二项式幂的变号规律：22()()nnabba； 2121()()nnabba （n为正整数）4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次项系数为l的二次三项式,2qpxx寻找满足,abq abp的ab、，则有22()()();xpx qxa b x abx a x b5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22abab没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：22abab=22()()()()()()(1)ababab ababab ab，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法 . 原则： 用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式. 6. 在因式分解时一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法都不能分解，那么可以用十字相乘法，分组分解法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 例 31 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？?2(3)(3)9xxx；?2524(3)(8)xxxx；?223(2)3xxx x；?211()xx xx. 注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式. 例 32 ?yxyxyx3234268；?23()2()x xyyx注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正. 提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列. 补例练习 1 、?3222245954a b ca bca b c；?433()()()aba abb ba例 33 把下列式子分解因式：?22364ab；?22122xy. 注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式. 注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 8 有时还需提出一个数字系数. 例 34 把下列式子分解因式：?2244xyxy；?543351881a ba ba b. 注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式. 补例练习 2 、?6216aa；?22(2 )(2)abab；?421681xx；?2222(1)4 (1)4xx xx. 注：整体代换思想：ab、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母. 还要注意分解到不能分解为止 . 例 35 ?254aa；?422454xx yy. 补例练习 3 、?22616xxyy?2()2()80 xyyx例 36 分解因式：（1）22244zyxyx；（2）babaa2322（3）322222yxyxyx分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。例 37若25)4(22xax是完全平方式，求a的值 . 说明根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 9 例 38已知2ba，求222121baba的值 . 说明将所求的代数式变形，使之成为ba的表达式，然后整体代入求值. 例 39 已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值 . 说明这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与yx的式子，再整体代入求值. 练习1、填空题：（1）mnmymx= ； （2）422yx= ；（3）442aa= ； （4）64162mm= ；（5）22nm= ； （6）222baba= ；（7）babba10552= )2(2aa； （8）mmmaaa15（）（9）若22) 121(141xkxx，则 k= ；（10）2x10=)(5(x）2、选择题：（1）下列变形中，从左边到右边是因式分解的是（）Anxnmnnxmx)(B23237321yxyxC)32)(32(942xxxD23) 1)(23(2xxxx（2）下列各式中能用平方差公式分解因式的是（）A224yxB2225yxC9)2(2yxD36yx（3）在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（）A)2() 1(122222nmnmnmnmB)1()(1xyxyyxxyC)()(xyaybxabxyaybxabD)()(32233223yyxxyxyyxxyx（4）用提取公因式把mmxx392分解因式后，括号内的代数式是（）Amx3Bmx31 Cmx3 D1312mx3、将下列各式分解因式：（1）33233214427yxyxyx（2）)(3)(2xyxyyxx（3）42242bbaa（4）2491b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 博士教育李老师QQ2213918490 10 （5）22)(4)2(9nmnm（6）1baab（7）222221yxyx（ 8）32441yyx（9）mbamacmcb)()()(（10）)()(22pqqqpp（11）22414baab（12）84)2(2xx（13）1235xxx（14）)()()(23mnnmnm（15）) 12(2)1(bbaa（16）3)2(2)2(222aaaa（17）24)25)(5(22xxxx（18）8)43)(33(22xxxx4、 （1）已知2,2 xyyx，求xyyx622的值；（2）已知21, 122yxyx，求yx的值；（3）已知21ba，83ab，求（ 1）2)(ba； （2）32232abbaba；（4）已知2ba，求336baba的值；（6）已知0516416422yxyx，求 x+y 的值；5、已知 a、 b、c 分别为 ABC 的三边，求证：04)(222222bacba；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -