2022年平面向量的数量积的物理背景及其含义学案 .pdf

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3 “投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1eb=be = 2abab= 设a、b为两个非零向量，e是a与同向的单位向量. ea=ae = 3当a与b同向时，a b= 当a与b反向时，a b= 特别的a a= |a|2或aaa |4cos = 5|a b| |a|b| 三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1 说出平面向量的数量积及其几何意义；2. 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点： 。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所做的功： W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W （功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量abcos叫做a与b的数量积（或内积） ，记作：ab，即：ab= abcos（2）定义说明：记法“ab”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180ab的符号S F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 例 1 ：已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是 60时，分别求ab.解：变式：. 对于两个非零向量a、b，求使 |a+tb|最小时的t 值，并求此时b与a+tb的夹角 . 探究二：研究数量积的意义1. 给出向量投影的概念：如图，我们把bcos（acos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做： OB1=b cos2. 提出问题 5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较ab与ab的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质3. 数量积的运算律（1） 、 提出问题7： 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2） 、明晰：数量积的运算律：例2、 （师生共同完成）已知a =6，b =4, a与b的夹角为60，求（a+2b） （a-3b） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：设a和 b 都是非零向量，则1、abab=0 2、当a与b同向时， ab=ab；当a与b反向时，ab= -ab， 特别地，aa=a2或a=aa3、ab a b已知向量a、b、c和实数，则：（1）ab= ba（2） （a） b=（ab)=a（b）（3） （a+ b） c=ac+bc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 变式：（ 1）(a+b)2=a2+2ab+b2（2）(a+b ) (a-b)=a2b2（三）反思总结( 四 ) 当堂检测1 .已知 |a|=5， |b|=4，a与b的夹角 =120o，求ab. 2. 已知 |a|=6， |b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b) (a-3b) . 3 .已知 |a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k 为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直 . 4.已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是60 时，分别求ab. 5.已知 |a|=1，|b|=2， (1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为 ，求 |a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角 . 6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n 与b=2n-3m 的夹角 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 课后练习与提高1.已知 |a|=1，|b|=2，且 (a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60 B.30 C.135 D. 2.已知 |a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为（）A.2 B.23C.6 D.12 3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a、b的夹角为3，|a|=2，|b|=1，则 |a+b| |a-b|= . 5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中x 轴、 y轴正方向上的单位向量，那么ab= . 6.已知ab、 c 与a、b的夹角均为60 ， 且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_. 课后反思：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -