2022年《高数》期末考试卷解答 .pdf
第 1 页上海应用技术学院20142015 学年第一学期高等数学（工）1期（末）试卷（A）评分标准一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）1C；2C；3A；4B；5D；6A；7D；8B；9C；10D二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分）112e；12xy；1322sin21sin2)1ln(cos)1 (xxxxxxx；142；1541x；1621CxCy三计算题（本大题共8 小题，每小题6 分，共 48 分） 17求极限)1ln(121lim2xxx解：原式)1ln()2(2) 1ln(lim2xxxxx （1 分）2)1ln() 1(2lim12) 1ln(111lim22xxxxxxxxxx （3 分）211) 1ln(11lim2xx （2 分）18设函数)(xyy由方程0)sin(sinyxxy所确定，求y解：01)c o s(c o ssi nyyxxyxy （2+2 分）)cos(sincos)cos(yxxxyyxy （2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 2 页19设函数)(xyy由参数方程ttetyetx2所确定，求022tdxyd解：tteedxdy1212 (2 分) 222224(1)(1 2)1(1)1ttttttd yeeeedxee (3 分) 45022tdxyd (1 分) 20求函数3224xxy在2, 1上的最大值与最小值解：0)1(44423xxxxy （2 分）令0y，得到01x, 12x, 13x （ 1 分）2) 1(y，3)0(y，11)2(y （2 分）故最小值2)1(y， 最大值11)2(y （ 1 分）21计算不定积分dxeexx12解：原式1)(2xxeed （2 分）)(111121xxxedee （2 分）Ceexx11ln21 （ 2 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 3 页22计算定积分1332211dxxx解：tanxt令，2secdxtdt，14xt，163xt （1 分）1332211dxxx4622sectansectttdt （ 2分）462sincosdttt （1 分）46sin1t （ 1 分）22 （ 1 分）23计算定积分102cosxdxex解：102cosxdxex102)(sinxdex （ 1 分）102102)(sinsinxxexdxe （ 2分）102102)(cos2sinxdexexx （1 分）102102102cos4cos2sinxdxexexexxx （1 分）21cos21sin5cos2102exdxex （1 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 4 页24 求微分方程yxyydydx1ln1满足ey ) 1(的特解解：由于yxyydydx1ln1， 令yyyPln1)(，yyQ1)( （1 分）通解CdyeyQexdyyPdyyP)()()( （2 分）Cdyeyedyydydyyy1ln11 （1 分）yCylnln21 （1 分）由ey)1 (21Cyyxln1ln21 （ 1 分）四应用与证明题（本大题共2 小题，每小题7 分，共 14 分） 25过坐标原点作曲线lnyx的切线 , 该切线与曲线lnyx及x轴围成平面图形为D(1) 求D的面积。(2) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解： （1）设切点为00(,)xy，则01dykdxx,由题意可得000001lnyxxyx解得00(,)( ,1)xye，切线方程eyx （ 2 分）10()yDeey dy12e （2 分）（2）设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则exdxxV122)(ln131 （ 2 分）eexdxxxe112ln2)(ln323ee322e （1分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 5 页26设函数)(xf在1 ,0上连续，在)1 ,0(内可导，且0)1()0(ff，121f，证明：（1）存在1 ,21使得)(f（2）对任意实数，必存在),0(使得1)()(ff证明： （1）令xxfxF)()(在1 ,21上连续， （1 分）011)1() 1(fF，0211212121fF （1 分）根据零点定理存在1 ,21使得0)(F，即)(f （1 分）（2）构造辅助函数)()(xxfexGx， （1 分）)(xG在, 0上连续，在),0(上可导，且00)0()0(fG （1 分）0)()(feG，故)(xG在, 0上满足罗尔定理条件，故存在),0(使得0)(G而 （1 分）01)()()(ffeG即1)()(ff （1 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
