2022年常用逻辑用语 .pdf

2-1 常用逻辑用语1 常用逻辑用语【高考导航】【考纲纵览】【热点追踪】常用逻辑用语作为学习数学知识的工具，在历年高考中多以选择题、填空题的形式出现，有时也隐含于解答题中，主要考查命题真假的判断、四种命题间的相互关系、充分条件与必要条件的判断、逻辑联结词的使用、对含一个量词的命题进行否定等 . 教材中的新增内容全称量词与存在量词应重点掌握. 【高考印证】例 1 （2009 重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”考题分析：本题是一个“若p , 则 q”形式的命题，考查四种命题的改写，属于基础题. 解析：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”. 答案： B 例 2 （2009 天津）设Rx， “1x”是“xx3”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件考题分析：本题考查充分条件的判定，以一元高次方程的求解问题为载体，考查逻辑推理能力. 解析：因为,3xx得1, 0 x，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论. 答案： A 例 3. (2008 天津理 )设ab，是两条直线，是两个平面，则ab的一个充分条件是（）Aab，Bab，Cab，Dab， ，考题分析： 本题以空间的线线、线面关系为载体， 考查充分条件的判定解析：由，b，则b又有a，所以，ba故选 C答案 C 例4.（2007宁夏）已知命题:pxR，1sin x, 则 （）（A）:pxR, 1sin x（B）:pxR, 1sin x（C）:pxR, sin1x（D）:pxR, sin1x考题分析：本题考查数学符号的正确使用及含有量词的命题的否定 . 解析：:pxR , sin1x答案： C 考点摘要考点要求考纲解读（1）命题了解“若p , 则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题. 会分析四种命题的关系. 高考中对常用逻辑用语的考查主要有：1、命题真假的判断，四种命题的关系；2、充分条件、必要条件和充要条件的判断；3、全称量词和存在量词的应用. 其中命题真假的判断与充分条件、必要条件的判断是考试的热点. 因为这类问题都要以其他章节的知识为载体， 主要以选择题、 填空题出现 . （2）充分条件与必要条件理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. （3）全称量词与存在量词理解全称量词和存在量词的意义. 能正确地对含一个量词的命题进行否定. （4）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语2 互否互为逆否互为逆否（1）（3）（2）原命题互否互逆互逆【本章复习建议】涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了。 定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择,抽象到直观的转化. 1、 搞清命题的四种形式及其互相关系；正确理解充分必要条件的概念，对于给定的p、q，能判断和证明p 和 q的关系，能利用集合观点和等价命题关系来判断充要条件。2、 正确领会逻辑联结词“或” “且” “非”的含义， 能对“p或 q” “p 且 q” “非 p”形式的命题的真假作出判断。3、 了解全称量词与存在量词，掌握对含有全称命题与存在性命题的判断真假的方法；能写出全称命题与存在性命题的否定。第一课时命题及其关系、充要条件多维详解一、知识梳理1. 四种命题原命题：若p则q，逆命题： _，即交换原命题的条件和结论，即得其逆命题.否命题：，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题. 逆否命题： _，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否命题. 2. 四种命题之间的关系：（1）_ （2）_ （3）_3. 四种命题的真假关系：原命题为真，逆命题 _，否命题 _，逆否命题 _.4. “若p，则q”为真命题，即pq，那么p是q的，q是p的 .5. 若有“qp” ，同时，又有pq，即qp，则p是q的，q也 是p的 .通常称命题p和命题q是两个的命题 . 二、重难突破考点一：四种命题考点突破已知原命题， 写出它的其他三种命题时，首先把原命题改写成“若p则q， ” 的形式，然后分清其条件和结论，根据定义写出逆命题、否命题、逆否命题 .案例探究 1：设原命题为：“全等三角形的面积相等. ”把原命题改写成 “若 p 则 q， ” 的形式， 并写出它的逆命题、否命题、逆否命题 . 解：原命题：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 逆命题： 若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等. 否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等. 逆否命题： 若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等 . 变式活用设命题为：“若 x = y 则 x2 = y2”. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题. 解：逆命题：若 x2 = y2则 x = y 否命题：若 x y 则 x2 y2逆否命题：若 x2 y2则 x y 考点二：四种命题的关系考点突破案例探究 2. 已知原命题为“若1q, 则方程220 xxq有实根” .写出它的逆命题、否命题、逆否命题 , 并判断它们的真假 .解：逆命题 : 若方程220 xxq有实根 ,则1q, 为假命题 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语3 否命题 : 若1q, 则方程220 xxq无实根 ,假命题 .: 若方程220 xxq无实根, 则1q, 真命题 .点评：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题 . 若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假. 变式活用判断命题“若BAsinsin，则 A B ”的真假 . 解：命题：若BAsinsin，则 A B 的逆否命题为“若 A=B，则BAsinsin”是真命题，所以“若BAsinsin，则 A B ”也是真命题考点三：充分条件、必要条件、充要条件的判断案例探究 3. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件（1） : 32 5 , :0pxq x；（2） :2 ,2 ; :p abq a b；（3） p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形；（4） :0p a，q：关于x的方程1ax有唯一一解 . 解： （1） :1 , :0p xq x，则pq, 所以，但，p是q的充分非必要条件；（2） pq但qp，p是q的充分非必要条件；（3） pq但qp，p是q的必要非充分条件；（4） qp，p是q的充要条件；点评：从推到关系看，若pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件，qp，则p是q的充要条件 . 从集合关系看， 若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件 . 变式活用指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1) 22:0,:0p abq ab；(2) : 2,:, ,pbac q a b c成等差数列；(3):0,p mq：方程20 xxm有实根；(4):12, :1pxq x. 解： (1) p是q的必要条件(2) p是q充要条件(3) p是q的充分条件(4) p是q的必要条件考点四：充要条件的证明考点突破证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性 ) ， 又要证明它的逆命题成立( 即条件的必要性 ). 案例探究 4. 已知关于x的实系数二次方程20 xaxb有两个实数根,证明：2且2是24ab且4b的充要条件 . 证明： (1）充分性：由韦达定理，得224b设2( )f xxaxb, 则f(x)的图象是开口向上的抛物线. 又2且2,( 2)0f即有024024baba42( 4bab，又44024bbab (2) 必要性：由24ab即：42(4)bab可知，(2)420,fab( 2)420fab又知( )f x的图象是开口向上的抛物线. 方程( )0f x的两根,同在 ( 2，2）内或同在( 2，2）外 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语4 由4b|. 同在 ( 2，2）内，即2且2. 综上所述，2且2是24ab且4b的充要条件 . 点评：有关充要条件的证明问题，要分清条件和结论，由条件结论是证明命题的充分性，由结论条件是证明命题的必要性 . 变式活用已知数列na的前n项(0,1)nnSpq pp,求证：数列na为等比数列的充要条件是1q.证明： （1）必要性11aSpq当2n时，11(1)nnnnaSSpp由na为等比数列，则paaaann 112pqppp)1(，01,1pppqq（2）充分性当1q时，111(0,1),1nnSpppaSp当2n时，111(1)nnnnnnaSSpppp1(1)(0,1)nnapppp211)1()1(nnnnppppaa=p 为常数1q时，数列为等比数列. 综 上 所 述 ， 数 列na为 等 比 数 列 的 充 要 条 件 是1q三、创新探究已知p：2131x，q：01222mxx，)0(m若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解： （解法一）由2131x，得：102x则p：102xxxP或由01222mxx，)0(m得：mxm11则q：mxmxxQ11或因为p是q的必要不充分条件所以PQ010121mmm解得：9m（解法二）由2131x，得：102x01222mxx，)0(m得：mxm11因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，102xxmxmx11010121mmm解得：9m反思总结：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语5 用集合的观点解决充分、必要条件的问题，小范围可以推出大范围， 大范围不能推出小范围，因此， 首先求出不等式的范围解法二运用了等价转化更易理解千锤百炼考点落实1已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是（）A逆命题、否命题、逆否命题都为真B逆命题为真，否命题、逆否命题为假C逆命题为假，否命题、逆否命题为真D逆命题、否命题为假，逆否命题为真2. 命题“若,aA则,bB”的否定形式是( ) A. 若,aA则,bBB. 若,aA则,bBC. 若,bA则,aBD. 若,bA则,aB3. “能被 6 整除的整数， 一定能被 3 整除”等价的命题是 ( ) A. 能被 3 整除的整数，一定能被6 整除B. 不能被 3 整除的整数，一定不能被6 整除C.不能被 6 整除的整数，一定不能被3 整除D.不能被 6 整除的整数，不一定能被3 整除4. 若ba,为实数，则220baba是的（） A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件 C 、充要条件D、既不充分也不必要条件5. “Ax且Bx”是“BAx”的（） A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件 C 、充要条件D、既不充分也不必要条件6. 一个三角形为直角三角形的必要但不充分条件是（） A、有两个内角相等B、有两个内角分别等于30o和 60o C、一条边上的中线长等于该边长的一半D、三个内角的和等于180o能力提高7. 下列命题：“若1xy，则x，y互为倒数”的逆命题；四边相等的四边形是正方形的否命题；“梯形不是平行四边形” 的逆否命题； “22acbc则ab”的逆命题，其中真命题是8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是 . 9. 已知; 1|32:|xp061:2xxq，则p是q的_条件 . 10 xy，0 xy是11xy的_条件 . 11. 设 命 题 为 “ 若0m， 则 关 于x的 方 程20 xxm有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假12.求证实系数一元二次方程20 xpxq有两个异号根的充要条件是0.q1344是22的什么条件 ?并说明理由 . 14. 设命题1|34:|xp; 命题0) 1() 12(:2aaxaxq, 若p是q的必要不充分条件, 求实数a的取值范围 . 高考实战1.（2008 山东文）给出命题：若函数)(xfy是幂函数，则函数)(xfy的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 答案： C 解析： 已知原命题是真命题，则逆否命题也是真命题，逆命题是假命题，则否命题也是假命题2（2009 安徽文） “dbca是ba且dc”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析：由不等式的性质知，abcd且acbd. 若acbd时，利用特例可判定abcd且不一定成立答案： A 参考答案知识梳理：1. 若q则p,若p则q, 若q则p2. 逆命题，否命题，逆否命题3. 不一定为真，不一定为真，一定为真. 4. 充分条件，必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语6 5. 充要条件，充要条件，相互等价千锤百炼：1.D 因为原命题为真，所以逆否命题为真又逆命题为假，所以否命题也为假故选D 2.B 命题的否定是对命题的结论否定故选B 3.B 因为原命题与逆否命题等价，故选B 4.A220baba， 而22ba时 ， 可 能0ba，故选 A 5.A 等价命题“BAx”是“BAx”的充分条件故选A 6.D A 既不是充分条件也不是必要条件，B 是充分条件， C是充要条件，故选D 7. ，8. 假设三角形的内角中没有钝角9. 充分不必要 . 21:xxAp，23:xxBq则BA，所以p是q的充分不必要条件. 10. 充分不必要 .xyxyyxyxxyyx110而yx11时，可能有0,0 yx11.否 命 题 为 “ 若0m， 则 关 于x的 方 程20 xxm没有实数根”；逆命题为“若关于x的方程20 xxm有实数根，则0m” ；逆否命题 “若关于x的方程20 xxm没有实数根，则0m” 由方程的判别式14m得0，即14m，方程有实根0m使140m，方程20 xxm有实数根，原命题为真，从而逆否命题为真但方程20 xxm有实根，必须14m，不能推出0m，故逆命题为假12. 证明： （1）先证充分性0.q方程20 xpxq的240pq方程20 xpxq有两个不相等的实根，设其为12xx，. 120 xxq方程20 xpxq有两个异号实根（2）再证必要性 方 程20 xpxq有 两 个 异 号 实 根 ， 设 其 为12xx，120 xx12xxq0q由（ 1） （2）原命题得证 . 13解：2244但反之却不一定成立.例如取1,5, 显然满足44但不满足22所以44是22的必要但不充分条件 . 14. 设 1|34|xxA， 0) 1() 12(|2aaxaxxB，易知 121|xxA， 1|axaxB. 由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件， 即AB，1121aa，故所求实数a的取值范围是21,0第二课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语7 多维详解一、知识梳理1. 判断含逻辑联结词的命题的真假：pqpqpqp真真真假假真假假2. 全称量词与存在量词短语“对所有的” “对任意一个”在逻辑中通常叫做. 符号：；短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做. 符号：3. 全称命题和特称命题：全称命题是含有全称量词的命题. 符号：特称命题是含有存在量词的命题. 符号：4. 含有一个量词的命题的否定：全称命题P：,xM p x，它的否定.特称命题00:,PxM P x，它的否定. 二、重难突破考点一：全称命题与特称命题的否定案例探究 1. 写出下列命题的否定：（1）存在实数x是方程5120 x的根；（2）对于任意实数x，存在实数y，使0 xy；（3）可以被 5 整除的整数，末位是0. （4）有些质数是奇数. 解： （1） 对于任意实数x都是方程5120 x的根；（ 2）至少存在一个实数x，对于任意实数y，使0 xy；（3）存在一个可以被5 整除的整数，其末位不是0. （4）所有的质数都不是奇数. 点评：对含有量词的命题进行否定时，全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，并把量词作用范围进行否定 . 有些命题省略了“所有，任何，任意”等量词，如（ 3）这种情形应先理解题意，写成完整形式，再写出其否定形式. 变式活用写出命题的否定（1）2,10 xR xx；（2）有的三角形是等边三角形；（3）存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；（4）平行四边形的对边相等；解： （1）2,10 xR xx；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；（4）存在平行四边形，它的的对边不相等；考点二：逻辑连结词“且”、 “或”、 “非”考点突破“或”具有“选择性”、 “且”具有“兼有性”、 “非”具有 “否定性”，它们与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；案例探究 2. 指出下列命题的构成形式并判断其真假. （1）96 是 48 与 16 的倍数；（2）方程0232xx的根是1x；(3) 方程012xx没有实根 . 解： （1）这个命题是p且q的形式，其中p：96 是 48 的倍数，真命题；q：96 是 16 的倍数，真命题 . 所以， 96 是 48 与 16 的倍数是真命题 . （2）这个命题是p或q的形式，其中p：方程0232xx的根是1x，假命题；p：方程0232xx的根是1x，真命题 . 所以，方程0232xx的根是1x是真命题. （ 3 ） 这 个 命 题 是p的 形 式 ， 其 中p： 方 程012xx有实根，假命题；所以，方程012xx没有实根是真命题. 点评：判断含有逻辑连结词“且”、 “或” 、 “非”的命题的真假，首先确定命题的构成形式，然后根据p、q的真假，判断构成新命题的真假. 变式活用设命题p：若ba，则ba11命题q：若01ab，则0ab下列三个命题qp，qp，qp其中真命题序号是_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语8 解：p为假命题，q为真命题，所以正确的是三、创新探究已知命题p：2cc，命题q：2410 xcx对任意实数恒成立，若p或q为真，p且q为假，求实数 c 的取值范围 .解：由不等式2c3b0”的逆否命题（4） “若1m，则22(1)30mxmxm的解集为 R”的逆命题，其中真命题的序号为_15 给出以下命题： Rx， 有24xx； R，使得sin33sin；Ra，对Rx，使022axx. 其中的假命题是_16命题“2,30 xR xx”的否定是三、解答题 ( 共 6 小题，满分 74 分) 17. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假 . （1）若 q1，则方程220 xxq有实根；（2）末位数字是零的自然数能被5 整除 . 18. 指出下列复合命题的形式及构成该复合命题的简单命题. （1）若是一个三角形的最小内角，则不大于 60；（2） 一个内角为90，另一个内角为45的三角形是等腰直角三角形；（3）有一个内角为60的三角形是正三角形或直角三角形. 19. 已知222:8200,:210p xxq xxa若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围. 20. 求关于x的方程2210axx至少有一个负根的充要条件 . 21. 已知, ,(0,1)a b c，求证：(1)a b，(1)b c，(1)c a三式中至少有一个不大于41. 22.已知,aR命题:,pxR不等式220 xaxa恒成立； 命题:,qxR使不等式2240 xax成 立 . 且pq为 假 命 题 , pq为真命题 , 求a的取值范围 . 参考答案1.B因为两个命题互为逆否命题，有相同的真假性所以四种命题中真命题的个数一定为偶数故选B 2.C 因为原命题为假， 逆命题为真， 由四种命题的关系知，否命题为真故选C 3.A由5150 xxxx，故选 A4.C 正确的是故选C 5. C （排除法）当0a时，21x，所以A，D 不对当1a时，1x所以 B 不对，故选C 6.BABC中，1503021sinAA当160A时，21sin A，故选 B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语12 7.D 设),2,(aaP)21 ,1(aaPA，)23,3(aaPB由01052aaPBPA，解得：20a，而)2,0()1 , 0(，所以选 D 8.A 特例法9.D 10.D 特例法11.C 命题p：0m命题q：2m若p真q假，则m不存在若q真p假，则20m故选 C 12.A 因为)(xf在),(上是增函数，且ba，所以)()(bfaf,)()(afbf, )()()()(bfafbfaf是 真 命 题 故 正确，选 A 13.2 14. 15. 162,30 xR xx. 17 （1）逆命题：若方程220 xxq有实根，则 q1，逆命题为假 . 否命题：若 q1，则方程220 xxq无实根，否命题为假 . 逆否命题：若方程220 xxq无实根，则q1，逆否命题为真 . （2）逆命题：若一个自然数能被5 整除，则它的末位数字是零，逆命题为假. 否命题： 若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5 整除，否命题为假. 逆否命题： 若一个自然数不能被5 整除，则它的末位数字不是零，逆否命题为真18. 解： （1）是非p形式的复合命题，其中p: 若是一个三角形的最小内角，则60. （2）是p且q形式的复合命题，其中p: 一个内角为90，另一个内角为45的三角形是等腰三角形，q: 一个内角为90，另一个内角为45的三角形是直角三角形.（3） 是p或q形式的复合命题，其中p: 有一个内角为60的三角形是正三角形，q：有一个内角为60的三角形是直角三角形 . 19. :210p Ax xx或，:11q Bx xaxa或依题意，pq，但q不能推出p，说AB，则有明.101,21,0aaa解得03a. 实数a的取值范围是03a. 20. 解： （1）0a适合；（2）0a时，显然方程没有零根. 若方程有两异号实根，则0a；若方程有两个负的实根，则必须有1020440aaa解得：01a，综上知：若方程至少有一个负根则1a，反之，若1a则方程至少有一个负实根.因此，方程2210axx至少有一个负根的充要条件是1a. 21. （用反证法）若ba)1 (，cb)1(，ac)1 (三式中都大于41. 则有23)1()1()1(accbba（）而2)1()1(baba，2)1()1(cbcb，2)1()1(acac，三式相加得23)1 ()1 ()1 (accbba， 此与 （）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立. 22.解 : 由p:280aa得80a； 由q:24160a得2a或2a由pq为假命题 , pq为真命题，知：p，q一真一假（ 1 ） 当p真q假 ， 则8022aa， 得20a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2-1 常用逻辑用语13 （2）当p假q真，则，8,02,2aaaa8,a或2a综上得8a或20a或2a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -