2022年师大附中高一自主招生考试数学测试题及参考答案 .pdf
师大附中 2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150 分考试时间 120 分钟题号一二三总 分复 核1 2 3 4 5 得分阅卷教师一、选择题（每小题6 分，共 30 分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0 分）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242的结果相同的是【】2、下列命题中正确的个数有【】 实数不是有理数就是无理数；a aa； 121 的平方根是11；在实数范围内，非负数一定是正数；两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么【】A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关4、如图， ACB60，半径为 2 的 O 切 BC 于点 C，若将 O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到O 与 CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【】A、2 B、 C、32D、 4 5、平面内的9 条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则mn等于【】A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题（每小题6 分，共 48 分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65 千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5 千米 /时，则经过小时，两人相遇。2、若化简16812xxx的结果为52x，则x的取值范围是。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50、 20和 30的比例计入学期总评成绩， 90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 笔试实践能力成长记录甲90 83 95 乙88 90 95 丙90 88 90 4、已知点A是一次函数xy的图像与反比例函数xy2的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OBOA（O为坐标原点） ，则AOB的面积为。5、如果多项式212xpx可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是。6、如右图所示，P 是边长为 1 的正三角形ABC 的 BC 边上一点，从P 向 AB 作垂线 PQ，Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于R，设 BP=x（01x） ，BPQ 与 CPR 的面积之和为y，把y表示为x的函数是。7、已知12xx，为方程2420 xx的两实根，则3121455xx。8、小明、 小林和小颖共解出100 道数学题， 每人都解出了其中的60 道，如 果将其中只有1 人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解 出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题6 小题，共 72 分）1、 （10 分）在ABC中，ACAB，45A。 AC 的垂直平分线分别交AB、 AC 于D、E两点，连结CD ，如果1AD，求：BCDtan的值。2、 （12 分）某公司为了扩大经营，决定购买6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过 34 万元。甲乙价格（万元台）7 5 每台日产量（个）100 60 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ 若该公司购进的6 台机器的日生产能力不能低于380 个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、 （12 分）如图所示，已知边长为4 的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2AF，1BF。为了合理利用这块钢板将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点 P 在 AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 、 （ 12 分 ） 如 图 所 示 等 腰 梯 形ABCD中 ，ABCD，ADCB, 对 角 线AC与BD交 于O,60ACD, 点SPQ、 、分别是ODOABC、的中点。求证：PQS是等边三角形。5、 （12 分）如右图，直线OB 是一次函数2yx的图像，点A 的坐标是（ 0，2） ，点 C 在直线 OB上且 ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。6、 （14 分）已知关于x 的方程018)13(3)1(22xmxm有两个正整数根（m 是整数）。ABC 的三边 a、b、c 满足32c，0822amam，0822bmbm。求：m 的值；ABC 的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 师大附中 2011 年高一自主招生考试数学试题参考答案一、 1、B，2、B，3、B，4、 C， 5、B二、 1、2 2、41x3、甲、乙4、25、7, 8, 136、23(342)8xx7、 7 8、20 三 1、有已知可得CDEADE和均为等腰直角三角形，计算得12BD，在直角三角形BCD中，12tanCDBDBCD。2、 （1）设购买x台甲机器，则34)6(57xx，所以2x。即x取 0、1、2 三个值，有三种购买方案：不购买甲机器，购6 台乙机器；购买1 台甲机器， 5 台乙机器；购买2 台甲机器，购4 台乙机器。（ 2）按方案，所需资金3056（万元） ，日产量为360606（个）；按方案，所需资金325571（万元）， 日产量为4006051001（个） ；按方案， 所需资金为344572（万元），日产量为4406041002（个） 。所以，选择方案。3、如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设DNx， PNy，则面积Sxy，因为点 P 在 AB 上，由 APQ ABF 得21)4(24xy，即yx210代入，得yyyyS102)210(2，即225)25(22yS因为 3 y4 ，而 y25不在自变量的取值范围内，所以y25不是最值点，当 y3 时， S12；当y4 时， S8故面积的最大值是S12此时，钢板的最大利用率是80。4、连 CS。ABCD 是等腰梯形，且AC 与 BD 相交于 O，AO=BO,CO=DO. ACD=60 ， OCD 与 OAB 均为等边三角形. S 是 OD 的中点， CSDO. 在 RtBSC 中， Q 为 BC 中点， SQ 是斜边 BC 的中线， SQ=12BC. 同理 BPAC. 在 RtBPC 中， PQ=12BC. 又 SP 是 OAD 的中位线， SP=12AD=12BC. SP=PQ=SQ. QNMPAFBCDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 故 SPQ为等边三角形 . 5、若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC1=2. 设 C1（,2xx ） ，则得222(22)2xx，解得85x，得 C1（8 16,55）若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC2=OC3=OA=2. 设 C2（,2xx ） ，则得222(2)2xx，解得45x.得 C2（245,555）又由点 C3与点 C2关于原点对称，得C3（245,555）若此等腰三角形以OA 为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为12，得 C4（1,12）. 所以，满足题意的点C 有 4 个，坐标分别为：（8 16,5 5） ， （245,555） ， （245,555） ，C4（1,12）6、 （1）方程有两个实数根，则012m，解方程得161mx，132mx由题意，得1 1,2,3,6,11,3,mm即.4,2, 5, 2, 1 ,0mm故2m（2）把2m代入两等式，化简得0242aa，0242bb，当ba时，22ba当ba时，a、b是方程0242xx的两根，而0，由韦达定理得，4ba0，2ab0，则a0、b0ba，32c时，由于2222124162)(cabbaba故ABC 为直角三角形，且C90 ，SABC121ab22ba，32c时，因)22(232，故不能构成三角形，不合题意，舍去22ba，32c时，因)22(232，故能构成三角形SABC22123(22)(3)91222综上， ABC 的面积为 1 或2129名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
