2022年年新课标全国卷高考理科数学试题及答案,推荐文档 2.pdf

* - 绝密 启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A= 2 2 (x, y) x y 1 ，B= (x, y) y x ，则A B 中元素的个数为A 3 B 2 C 1 D 0 2设复数z 满足 (1+i) z=2i ，则 z = A 12 B2 2 C2 D 2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A 月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D各年1 月至 6 月的月接待游客量相对7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 5 的展开式中x 3 y 3 的系数为4 ( x+ y )(2 x - y ) A -80 B-40 C 40 D 80 5已知双曲线C：2 2 x y 2 2 1 a b (a 0,b 0) 的一条渐近线方程为5 y x ,且与椭圆2 2 2 x y 12 3 1 有公共焦点，则C 的方程为A 2 2 x y 8 10 1 B2 2 x y 4 5 1 C2 2 x y 5 4 1 D2 2 x y 4 3 1 6设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是3 A f(x) 的一个周期为-2 B y=f(x) 的图像关于直线x= 83 对称C f( x+的 ) 一个零点为x= D f( x)在 ( , 单 )调递减6 2 7执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A 5 B 4 C 3 D 2 8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B34 C2 D4 9等差数列an 的首项为1，公差不为0若a2， a3， a6 成等比数列，则an 前 6 项的和为A -24 B -3 C 3 D 8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 10已知椭圆C：2 2 x y 2 2 1，（ab0 ）的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段A1A2 为a b 直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切，则C 的离心率为A6 3 B3 3 C2 3 D13 11已知函数2 x 1 x 1 f ( x) x 2x a(e e ) 有唯一零点，则a= A12 B13 C12 D 1 12在矩形ABCD 中，AB=1 ， AD=2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上若AP = AB + AD ，则+ 的最大值为A 3 B2 2 C5 D 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。x y 0 ，则z 3x 4y 的最小值为_13若x ，y 满足约束条件x y 2 0 y 0 14设等比数列an 满足 a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，则a4 = _15设函数f ( x) x 1 x 0 ，则满足x 2 ，x 0，1 f ( x) f ( x) 1 的 x 的取值范围是_。2 16 a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 30 角；当直线AB 与 a 成 60 角时， AB 与 b 成 60 角；直线AB 与 a 所成角的最小值为45 ；直线AB 与 a 所成角的最小值为60 ；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - ABC 的内角A， B，C 的对边分别为a， b， c，已知sinA+ 3 cosA =0， a=2 7 ,b=2 （ 1）求c；（ 2）设 D 为 BC 边上一点，且AD AC, 求ABD 的面积18（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20， 25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10， 15）15， 20）20， 25）25， 30）30， 35）35， 40）天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19（12 分）如图，四面体ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形， ABD = CBD ，AB=BD （ 1）证明：平面ACD 平面ABC；（2）过 AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C 的余弦值20（12 分）2=2 x，过点（2,0）的直线l 交 C 与 A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直已知抛物线C： y 径的圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - （ 1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆 M 过点 P（4， -2），求直线 l 与圆M 的方程21（ 12 分）已知函数f (x) =x1aln x（ 1）若f (x) 0 ，求 a 的值；1 1 1 （ 2）设m 为整数，且对于任意正整数n，1+ + 1+ ) ( )(1 ) (m，求 m 的最小2 n 2 2 2 值（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题计分。22 选修4- 4：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2+t , ykt, （t 为参数），直线 l2 的参数方程x 2 m, 为y mk , （为参数）设 l1 与 l2 的交点为P，当k 变化时， P 的轨迹为曲 线Cm （ 1）写出C 的普通方程；（ 2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos +sin )- 2 =0 ，M 为 l3 与 C 的交点，求M 的极径23 选修4- 5：不等式选讲 （ 10 分）已知函数f（ x）= x +1 x2（ 1）求不等式f（ x） 1 的解集；2 （ 2）若不等式f（ x） x x +m 的解集非空，求m 的取值范围 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题13. -1 14. -8 15. 1 （- ， + ）4 16. 三、解答题17. 解：2 （1）由已知得tanA= 3，所以A= 3 在 ABC 中，由余弦定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 2 2 2 28 4 c 4c cos ，即 c +2 c-24=0 3 解得（舍去），=4 c 6 c （2）有题设可得= ，所以CAD BAD BAC CAD 2 6 1 AB ADsin 2 6 1 故ABD 面积与 ACD 面积的比 值为1 AC AD 2 1 又ABC 的面积为2 4 2 sin BAC 2 3，所以ABD的面积为 3. 2. 解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为 200,300,500 ，由表格数据知P X 2 16 200 0.2 90 P X 36 300 0.4 90 25 7 4 P X 500 0.4 . 90 因此X 的分布列为X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多 为500 ，至少为 200，因此只需考虑 200 n 500 当 300 n 500 时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间 20， ,25 ，则Y=6300+2 （ n-300 ） -4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6 200+2 （ n-200 ） -4n=800-2n; 因此 EY=2n 0.4+ （ 1200-2n ）0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n 当 200 n 300 时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6 200+2 （ n-200 ） -4n=800-2n; 因此 EY=2n (0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 所以 n=300 时， Y的数学期望达到最大值，最大值为 520 元。3. 解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - （1）由题设可得，ABD CBD ,从而 AD DC 又ACD 是直角三角形，所以ACD 0 =90 取 AC 的中点 O，连接 DO,BO, 则 DO AC,DO=AO 又由于ABC 是正三角形，故BO AC 所以DOB 为二面角D AC B 的平面角2 2 2 在中，Rt AOB BO AO AB 又 AB BD 所以, 2 2 2 2 2 2 0 BO DO BO AO AB BD ，故DOB=90 所以平面平面ACD ABC （2）由题设及 （1）知，OA, OB, OD 两两垂直， 以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz，则A(1， 0， 0), B(0，3， 0), C( 1， 0， 0), D(0， 0， 1) 由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12 ，从而E 到平面ABC 的距离为 D 到平面ABC 的距离的12 ，即E 为 DB 的中点，得E 3 1 0，2 2 .故3 1 1， 0， 1 ，2， 0， 0 ，1， AD AC AE 2 2 设n = x, y,z 是平面DAE 的法向量，则nnAD AE x z 0 0，即3 1 0，x y z 2 2 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 可取n3 1 1 = , , 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 设m是平面AEC 的法向量，则mmAC AE 0，同理可得m0, 1, 3 0，则cos n,mn mn m7 7 所以二面角D-AE-C 的余弦值为7 7 4.解（1）设A x1,y1 ,B x2,y2 ,l : x my 2 由xmy 2 y 2x 2 可得2 y 2my 4 0,则 y y 4 1 2 又2 2 2 y y y y 1 2 1 2 x1= ,x2 = ,故 x1x2 = =4 2 2 4 因此 OA 的斜率与OB 的斜率之积为yy 1 2 x x 1 2 -4 = =-1 4 所以 OA OB 故坐标原点O 在圆 M 上 . （2）由（ 1）可得2 y1 +y2=2m,x1+x2 =m y1+y2 +4=2m 4 故圆心M 的坐标为m m ，圆M 的半径2+2，2+2，2 2 2 2 r m m 由于圆M 过点 P（4，-2），因此AP BP 0,故x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即x1x2 4 x1+x2 y1 y2 2 y1 y2 20 0 由（ 1）可得y1 y2=-4，x1x2=4，所以2 2m m 1 0，解得1 m 1或m . 2 当 m=1 时，直线l 的方程为x-y-2=0 ，圆心M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为10 ，圆M 的方程为2 2 x 3 y 1 10 当1 m 时，直线l 的方程为2x y 4 0，圆心M 的坐标为2 9 1 ， - 4 2 ，圆 M 的半径为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 85 4 ，圆M 的方程为2 2 9 1 85 + + x y 4 2 16 5.解：（1）f x 的定义域为0， + . 若a 0，因为1 1 =- + 20 f aln ，所以不满足题意；2 2 若a0，由1 f x a x a x x 知，当x 0,a 时，f x 0；当x a， + 时，f x 0 ，所以f x 在0,a 单调递减，在a， + 单调递增，故x=a 是f x 在x 0， + 的唯一最小值点. 由于f 1 0，所以当且仅当a=1 时，f x 0. 故 a=1 （2）由（ 1）知当x 1， + 时，x 1 ln x0 令1 x=1+ 得n 2 1 1 1+ ln ，从而2n 2n1 1 1 1 1 1 1 1+ + 1+ + + 1+ + + + =1- 1 ln ln ln 2 2 2n 2 2 2n 2n2 2 故1 1 1 1+ 1+ 1+ 2 2 2n2 e 而1 1 1 1+ 1+ 1+ 2 2 3 2 2 2 ，所以m 的最小值为3. 6.解：（ 1）消去参数t 得l1 的普通方程l1 : y k x 2 ；消去参数m 得l 2 的普通方程1 l : y x 2 k 2 y k x 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 设 P（ x,y）,由题设得1 y x k 2 ，消去k 得2 2 4 0 x y y . 所以 C 的普通方程为2 2 4 0 x y y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - （2） C 的极坐标方程为rq q q p q p2 cos2 sin2 4 02 , 2 cos2 sin2 4 02 , 联立2 2 2 4 r cos q sin q r cosq + sinq - 2=0 得cosq sinq =2 cosq + sinq . 故1 tanq ，从而3 2 9 2 1 cos q = ， sin q = 10 10 代入rq q 得r ，所以交点M 的极径为5 .2 cos2 - sin2 =4 2 =5 2 cos2 - sin2 =4 2 =5 7.解：3 1 , x 2 1 1 2 （1）f x x , x 3 2 , x 当x1时，f x 1无解；当1 x 2时，由f x 1得，2x 1 1，解得1 x 2 当x2时，由f x 1解得x2 . 所以f x 1的解集为x x 1 . （2）由2 f x x x m 得2 m x 1 x 2 x x，而2 2 1 2 +1+ 2 x x x x x x x x 2 3 5 =- - + x 2 4 5 4 且当3 x 时，2 2 5 x 1 x 2 x x = . 4 故 m 的取值范围为5 - ，4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - * - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -