2022年八年级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习 .pdf

24.8 角平分线的性质及其逆定理1. 如图，ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，在以下结论中：ADEADF；BDECDF；ABDACD；AE=AF；BE=CF；BD=CD其中正确结论的个数是（）A1 B 2 C 3 D4 答案： B2. 如图， RtABC中，C=90o，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_，AD=_，ABC的周长是 _答案： 3，5，24 3. 用三角尺画角平分线：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线请解释这种做法的道理你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理答案：提示：OM=ON，OP=OP，RtOMPRtONP(HL) ，MOP=NOP，射线OP是AOB的平分线4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置5. 如图，ABC中，C=90o，BD平分ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=21BD，且DE=1.5cm，则AC等于（）A3cm B 7.5cm C6cm D4.5cm 答案： D6. 如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点求证：点P在C的平分线上A B C D E F A B C D E B C D E A A B C D E P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 答案：如图，过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、QP在BAC的平分线AD上，PM=PQP在ABC的平分线BE上，PM=PN。PQ=PN，点P在C的平分线7. 如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C求证：（1）AD=CD； （2）ADB=CDB答案：ABPCBP，AB=CB，又ABP=CBP，BD=BD，ABDCBD，AD=CD，ADB=CDB8. 如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上答案： 提示：作CEOA于E，CFOB于F，OM=ON，OE=OD，MOE=NOD，MOENOD(SAS)， SM O E =SN O D，同时去掉S四边形 ODCE，得 SM D C=SN E C，易证，MD=NE，CE=CF，点C在AOB的平分线上9. 已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，E、F分别为垂足求证：AD垂直平分EF答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得DEF=DFE，AEF=AFE，所以AE=AF，所以AD垂直平分EFABCPDEMNQA B C D P A B D C E O M N A B C D E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 10. 如图，已知ABC中，C=90o，BAC=2B，D是BC上一点，DEAB于E，DE=DC求证：AD=BD答案：提示：DE=DC，AD=AD，RtADERtADC，EAD=DAC=12BAC，又B=12BAC，EAD=B，AD=BD24.7 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1. 如图，ABC中，CAB=120o，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则EAF等于（）A 40oB50oC60oD 80o答案： C2. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的_；若点P在AB的_，则PA=PB答案：垂直平分线上；垂直平分线上3. 已知：ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P求证：点P在BC的垂直平分线上答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则CBD的度数为（）A60 B 75C90 D 95答案： CA B D C E C A B E F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5. 如图，在ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=_答案： 156. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？答案：AC平分对角；ACBD；AC平分BD；ABCACD等7. 如图，ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC求证：点Q在PR的垂直平分线上答案：提示：AB=AC，B=C，又PB=QC，QB=RC，BPQCQR，QP=QR，点Q在PR的垂直平分线上8. 把 16 个边长为a的正方形拼在一起， 如图，连接BC，CD， 则BCD是 （）A直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D 任意三角形答案： B9. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D不能确定答案： CE B C F A E D C B A A B C P Q R B C D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 线段垂直平分线和角的平分线部分典型习题1、 （2008重庆） ABC 中，AB=AC ，BAC=100，两腰 AB、AC 的垂直平分线交于点 P，则（）A、点 P 在ABC 内B、点 P 在ABC 底边上C、点 P 在ABC 外D、点 P 的位置与 ABC 的边长有关2、如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3、已知 A 和 B 两点在线段 EF 的中垂线上，且 EAF=100 ， EBF=70 , 则AEB等于( ) A 、95 B 、15 C 、95或 15 D 、170或 304、 （2009陕西）如图1，在锐角 ABC 中，AB=4,BAC=45， BAC的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM MN的最小值是。5、 （2009甘肃）如图 2，四边形 ABCD 中，AD BC ，若 DAB 的平分线 AE交 CD于 E，连接 BE ，且 BE恰好平分 ABC ，则 AB的长与 AD BC的长的大小关系是（） A 、AB AD BC B、AB AD BC C、AB AD BC D 、无法确定6、在直角梯形 ABCD 中， A=B=90，M是 AB上一点，连接 MD 、MC,MD 、MC分别平分 ADC 、BCD ，求证： （1）AM=BM ；（2）DMC=90 .7、 （2009北京）如图 3-所示， OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。 同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图 3-, 在ABC 中，ACB是直角， B=60，AD 、CE分别是BAC 、BCA的平分线， AD 、CE相交于点 F。请你判断并写出FE与 FD之间的数量关系；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - （2）如图 3-，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而（ 1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。8、 （2007绵阳）如图 4，在ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 上的点。 AD平分 BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ,，。（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。9、如图 5，以 ABC 两边 AB、AC 为边，向外作等边ABD 和等边 ACE，连接 BE、CD 交于 O 点，求证： OA 平分 DOE 10、 （2007日照）如图 6，在等腰 RtABC 中， ACB=90，D 为 BC 的中点，DEAB，垂足为 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF. （1）求证： ADCF；（2）连接 AF，试判断 ACF 的形状，并说明理由。1. 在ABC中，已知 AC=27 ，AB的垂直平分线交AB于点 D，交 AC于点 E，BCE的周长等于 50，求 BC的长变式 1: 如图，在 ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点 D ，交 AC于点 E，若BEC=70 ，则 A=?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 变式 2: 如图，RtABC中，AB的垂直平分线交 BC边于 E，若 BE=2 ，B=15 ，求 AC的长。变式 3: 如图， 在 RtABC中， AB的垂直平分线交 BC边于 E， 若 BE=2 ， B=22.5，求:AC的长。例 1：如图 1，在 ABC 中，已知 AC=27 ，AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E， BCE 的周长等于50，求 BC 的长. 解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE ，由此 BCE 的周长等于AC+BC ，进而可以求得 BC 的长为 23. 点评：此题是ABC 中一边 AB 的垂直平分线AC 相交 ;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时， (如图 2),对应的是 ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC. 图形变化，但结论不变 . 变式 1：如图 1，在 ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，若BEC=70，则 A=？解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE ，可得 ABE 是等腰三角形，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出BEC=2A，进而得出A=35 . BCAED图 1 ABCDE图 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图 2 中也能得出相应的结论： AEC=2 B. 变式 2：如图 3，在 RtABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点 E。若 BE=2， B =15求： AC 的长。AEDCB图 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -