2022年年人教版高中数学必修四知识点归纳总结 .pdf

1 人教版高中数学必修四知识点归纳总结1.1 1 任意角1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：角的分类：注意：在不引起混淆的情况下， “角 ”或“”可以简化成“”零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合， 那么角的终边 (端点除外 )在第几象限，我们就说这个角是第几象限角1.1.2 弧度制（一）1定义我们规定 , 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下 , 1弧度记做 1rad在实际运算中，常常将rad 单位省略弧度制的性质：半圆所对的圆心角为;rr整圆所对的圆心角为.22rr正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值 | |=.rl4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：2360； 180；rad01745.01801；radnn180将弧度化为角度：3602；180 ；815730.57)180(1rad；)180(nn5常规写法： 用弧度数表示角时 , 常常把弧度数写成多少的形式 , 不必写成小数 弧度与角度不能混用正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点A O B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 2 6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度0 64323243652327弧长公式rlrl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数 )的绝对值与半径的积4-1.2.1任意角的三角函数（三）1. 三角函数的定义2. 诱导公式)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kkkkkk当角的终边上一点( , )P x y的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点 O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P( ,)x y，过 P 作x轴的垂线，垂足为 M ；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点 T . 由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMx MPy，于是有sin1yyyMPr， cos1xxxOMr， tanyMPATATxOMOAoxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（）（）（）（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 3 我们就分别称有向线段,MP OMAT为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向： 正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点； 余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负： 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值， 与x轴或y轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4-1.2.1任意角的三角函数（ 1）1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为( ,)x y，它与原点的距离为2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做的正弦，记作 sin，即 sinyr；（2）比值xr叫做的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做的余切，记作 cot，即cotxy；说明：的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点( , )P x y在的终边上的位置的改变而改变大小；当()2kkZ时，的终边在 y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于 0，所以tanyx无意义；同理当()kkZ时，yxcot无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值yr、xr、yx、xy分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域注意：函数定义域值域sinyR 1,1cosyR 1,1tany|,2kkZR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 4 (1) 在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合 .(2) 是任意角，射线 OP是角的终边， 的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关 . (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“”的积 . 其余五个符号也是这样 . (4) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似 （直角）三角形的性质， “r”同为正值 . 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、 距离与坐标的比来定义的 , 它也适合锐角三角函数的定义. 实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. (5) 为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限， 使一锐角顶点与原点重合， 一直角边与 x 轴的非负半轴重合， 利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆 .3例题分析例 1求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1） 0；（2）；（3）32解： （1）因为当0时，xr，0y，所以sin00 ，01cos，tan00，cot0不存在。（2）因为当时，xr，0y，所以sin0，cos1，tan0，cot不存在，（3）因为当32时，0 x， yr ，所以3sin12，3cos02，3tan2不存在，3cot02，例 2已知角的终边经过点(2,3)P，求的四个函数值。解：因为2,3xy，所以222( 3)13r，于是33 13sin1313yr；22 13cos1313xr；3tan2yx；2cot3xy例 3已知角的终边过点( ,2)(0)aaa，求的四个三角函数值。解：因为过点( ,2 )(0)aaa，所以5 |ra，,2xa ya当222 50sin55 |5yaaaraa时，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；当222 50sin55 |5yaaaraa时，；5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc224三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr） ，对于第三、四象限为负（0,0yr） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5 余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0 xr） ，对于第二、三象限为负（0,0 xr） ；正切值yx对于第一、三象限为正（,x y同号） ，对于第二、四象限为负（, x y异号） 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中 kZ tan(2)tank，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题4-1.2.2同角三角函数的基本关系（一）同角三角函数的基本关系式：1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系：consintan（2）平方关系：1sin22con说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：2cos1 sin，22sin1cos，sincostan等。总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，13 诱导公式1、诱导公式（五）sin)2cos(cos)2sin(2、诱导公式（六）sin)2cos(cos)2sin(总结为一句话：函数正变余，符号看象限小结：三角函数的简化过程图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 6 三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了. 1.4.1 正弦、余弦函数的图象1、用单位圆中的正弦线、 余弦线作正弦函数、 余弦函数的图象 （几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数（1）函数 y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点 A起把圆分成 n(这里 n=12)等份. 把 x 轴上从 0 到 2这一段分成 n(这里 n=12)等份.（预备：取自变量x 值弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角6,0，3，2, ，2的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角 x 的正弦线向右平行移动， 使得正弦线的起点与x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）. 第三步：连线 . 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x0 ，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动， 每次移动的距离为 2，就得到 y=sinx ，xR的图象 . 把角 x()xR的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象 . （2）余弦函数y=cosx 的图象根据诱导公式cossin()2xx, 可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移2单位即得余弦函数y=cosx 的图象 . 公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 7 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数 y=sinx ，x0 ，2 的图象中，五个关键点是：(0,0) (2,1) (,0) (23,-1) (2,0) 余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关键是哪几个？(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1) 1.4.2 正弦、余弦函数的性质 (一) 1周期函数定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。问题： （1）对于函数sinyx， xR有2sin()sin636，能否说23是它的周期？（2）正弦函数sinyx， xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（ 2k， kZ 且0k）（3）若函数( )f x的周期为 T ，则 kT ，*kZ也是( )f x的周期吗？为什么？（是，其原因为：( )()(2 )()f xf xTfxTf xkT）2、说明：1 周期函数 x 定义域 M ，则必有 x+T M, 且若 T0则定义域无上界； T0则定义域无下界； 2 “每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0) ）3 T 往往是多值的（如y=sinx 2,4, ,-2,-4, 都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为2（一般称为周期） 从图象上可以看出sinyx， xR；cosyx， xR的最小正周期为 2 ；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（( )f xc没有最小正周期）说明： （1）一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx，xR（其中,A为常数，且0A，0）的周期2T；（2）若0，如：3cos()yx； sin( 2 )yx； 12sin()26yx， xR则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx， xR的周期2|T1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质 ( 二) 1.奇偶性 (1) 余弦函数的图形y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 8 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。(2) 正弦函数的图形2. 单调性从 ysinx ，x23,2的图象上可看出：当 x2，2时，曲线逐渐上升， sinx 的值由 1 增大到 1. 当 x2，23时，曲线逐渐下降， sinx 的值由 1 减小到 1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间22k，22k(k Z)上都是增函数，其值从1 增大到 1；在每一个闭区间22k，232k(k Z)上都是减函数，其值从1 减小到 1. 余弦函数在每一个闭区间(2k 1)，2k(k Z)上都是增函数，其值从 1 增加到 1；在每一个闭区间 2k，(2k1)(k Z)上都是减函数，其值从1 减小到 1. 3. 有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为 x=2k kZ y=cosx的对称轴为 x=k kZ 1.4.3 正切函数的性质与图象1正切函数tanyx 的定义域zkkxx,2|2正切函数是周期函数tantan,2xxxRxkkz且，是tan,2yx xRxkkz且的一个周期。是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。3作tanyx，x2,2的图象说明： （1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 9 Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线” 。（3）正切曲线是由被相互平行的直线2xkkZ所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质（ 1）定义域：zkkxx,2|；（2）值域： R 观察：当x从小于zkk2，2kx时，tanx当x从大于zkk2，kx2时，xtan。（3）周期性： T；（4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增。1.5 函数 y=Asin( x+) 的图象（二）的物理意义：其中，二、函数)0,0)(,0)sin(AAxxy函数表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”. T：.2T间，称为“周期”往复振动一次所需的时f ：.2T1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的f:x称为“相位” . : x=0 时的相位，称为“初相”. 2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。1、数量与向量的区别：O0 232223yxx 37212yox888A(起点 ) B （终点）a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 10 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2. 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 3. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 . 4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的 . 注意 0 与 0 的含义与书写区别 . 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行. 说明： （1）综合、才是平行向量的完整定义（2）向量、平行，记作. 2.1.2 相等向量与共线向量1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明： （1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 、三角形法则（ “首尾相接，首尾连”）如图，已知向量 a、. 在平面内任取一点A B C a+b a+b a a b b a a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 11 A，作 AB a，BC，则向量AC叫做 a 与的和，记作 a，即 a ACBCAB，规定： a + 0-= 0 + a （1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量a与b不共线时：当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且 |a+b|b| ，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b| ；若|a| 0，(a) b =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos，a (b) =|a|b|cos，若 0，(a) b =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos，(a b) =|a|b|cos，a (b) =|a|b|cos() = |a|b|(cos ) =|a|b|cos. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 15 3分配律： (a + b)c = a c + b c 在平面内取一点 O ，作OA= a，AB= b，OC= c，a + b （即OB）在 c 方向上的投影等于a、b 在 c 方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c (a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = a c + b c 说明： （1）一般地， ( ) （）（2）， 0（3）有如下常用性质：，（）（）2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即ba2121yyxx2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(yxa，则222|yxa或22|yxa. （2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式) 3 向量垂直的判定设),(11yxa，),(22yxb，则ba02121yyxx4 两向量夹角的余弦（0）cos =|baba222221212121yxyxyyxx2.5.1 平面几何中的向量方法运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 16 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sincoscoscoscossinsin2222sincoscossinsinsinsin coscos sinsincoscos sinsinsincoscossintancoscoscossinsintantantantantantan1 tantan1 tan tan（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan注意：,()222kkkkz将)(S、)(C、)(T称为和角公式，)(S、)(C、)(T称为差角公式。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式公式推导：sin2sinsincoscos sin2sincos；22cos2coscoscossinsincossin；变形：22222cos2cossin1 sinsin12sin；22222cos2cossincos(1cos)2cos12tantan2tantan2tan1tantan1tan注意：2,22kkkz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 17 3.2 简单的三角恒等变换（一）代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换， 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异， 而且还会有所包含的角， 以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点1sincossinsin2；sinsin2 sincos223.2 简单的三角恒等变换（二） (1) 二倍角公式：.tan1tan22tan,sin11cos2sincos2cos,cossin22sin22222(2) 二倍角变式：2cos1sin2 ,2cos21cos222(3) 三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有切割化弦；“ 1”的变用；统一角度，统一函数，统一形式等等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -