2022年年高考全国一卷理科数学答案及解析 .pdf

2018 年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12 小题，每小题5 分，共 60 分。1、设 z=，则 |z|= A、0 B、C、1 D、【答案】 C【解析】由题可得iz2i）i-（，所以 |z|=1【考点定位】复数2、已知集合A=x|x2-x-20 ，则A= A、x|-1x2 B、x|-1x2 C、x|x2 D、x|x-1 x|x2 【答案】 B【解析】由题可得CRA=x|x2-x-2 0 ，所以 x|-1x2【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。【答案】 A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%60%，【考点定位】简单统计4、记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】 B【解析】 3*( a1+a1+d+a1+2d)=( a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d) ，整理得 :2d+3a1=0; d=-3 a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f （x）=x3+(a-1)x2+ax，若 f （x）为奇函数，则曲线y=f （x）在点（ 0，0）处的切线方程为：A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】 D【解析】 f （x）为奇函数，有f （x）+f （-x ）=0 整理得 :f （x）+f （-x ）=2*(a-1)x2=0 a=1 f （x）=x3+x 求导 f （x）=3x2+1 f （0）=1 所以选 D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中， AD为 BC边上的中线， E为 AD的中点，则=A、-B、-C、-+D、-【答案】 A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【解析】 AD为 BC边上的中线 AD=AC21AB21E为 AD的中点 AE=AC41AB41AD21EB=AB-AE=AC41AB43）AC41AB41（-AB【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到 N的路径中，最短路径的长度为A、B、C、3 D、2 【答案】 B【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在41圆周处。最短路径的长度为AB= 22+ 42【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径8. 设抛物线C：y2=4x 的焦点为 F，过点（ -2 ，0）且斜率为的直线与C交于 M ，N两点，则= A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】 D【解析】抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F(1,0) AAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 直线 MN的方程 : ）2（32yx消去 x 整理得： y2-6y+8=0 y=2 或 y=4M、N 的坐标（ 1，2） ， （4，4）则=(0,2) (3,4)=0*3+2*4=8 【考点定位】抛物线焦点向量的数量积如果消去，计算量会比较大一些，您不妨试试。9. 已知函数f （x）=g（x）=f （x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则a 的取值范围是 A. -1，0） B. 0，+） C. -1，+） D. 1，+）【答案】 C【解析】根据题意： f(x)+x+a=0 有两个解。令M(x)=-a,N(x)=f(x)+x =?+ ? ? 0?+ ? ? 0分段求导： N(x)=f(x)+x = ?+ 1 0 ? 01?+ 1 0 ? 0说明分段是增函数。 考虑极限位置， 图形如下：M(x)=-a在区间 (- ， +1 上有 2 个交点。a 的取值范围是C. -1，+）【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边 BC ，直角边 AB ，AC. ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】 A【解析】整个区域的面积： S1+S半圆 BC= S半圆 AB+ S半圆 AC+SABC 根据勾股定理，容易推出S半圆 BC= S半圆 AB+ S半圆 AC S1= SABC 故选 A 【考点定位】古典概率、不规则图形面积11. 已知双曲线C： -y 2=1，O为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若OMN为直角三角形，则MN= A. B.3 C. D.4 【答案】 B 【解析】右焦点 ,OF=3 + 1=2，渐近线方程y=33x NOF= MOF =30在 RtOMF 中，OM=OF*cos MOF=2*cos=30 3在 RtOMN 中， MN=OM? tan ?= 3* tan(30+ 30)=3 【考点定位】双曲线渐近线、焦点概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程，计算量很大。12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为MFNo名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】如图平面截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=22截面面积S=6 34（22）2=【考点定位】立体几何截面【盘外招】交并集理论：ABD交集为3，AC 交集为34，选 A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13. 若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为 . 【答案】 6 【解析】当直线 z=3x+2y 经过点（ 2，0）时， Zmax=3*2+0=6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【考点定位】线性规划（顶点代入法）14. 记 Sn为数列 an的前 n 项和 .若 Sn=2an+1，则 S6= . 【答案】 -63【解析】S1=2a1+1=a1 a1=-1 n1 时， Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减： Sn-Sn-1= an=2an-2an-1 an=2an-1an=a12n-1= （-1 ）2n-1 S6=（-1 ）（ 26-1 ）=-63 【考点定位】等比数列的求和15. 从 2 位女生， 4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有种. （用数字填写答案）【答案】 16【解析】C21C42+ C22C41=2 6+14=16【考点定位】排列组合16. 已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 . 【答案】-332【解析】f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考虑到 f （x）为奇函数，可以求f （x）最大值 . 将 f （x）平方：f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3(4/3) （ （3-3cosx ）+ 3(1+cosx)/4）4=34 （46）4=427名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 当 3-3cosx=1+cosx 即 cosx =12时， f2（x）取最大值f（x）min=-3 32【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用【其他解法】：求导数解答 f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。三. 解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17. （12分）在平面四边形 ABCD 中， ADC =90， A=45，AB =2，BD =5. （1）求 cosADB ；（2）若 DC =，求 BC . 【答案】【解析】（1）在 ABD中，由正弦定理得BDsin ?=ABsin ?sin ADB =ABsin ADB/BD=25由题设可知，ADB90cos?=1 -225= 235(2)由题设及（ 1）可知 cosBDC= sin ADB = 25在 BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC =25+8-2525=25BC=5 【考点定位】正弦定理余弦定理18. （12分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把?DFC 折起，使点 C到达点 P的位置，且PFBF . （1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 【答案】【解析】（1）由已知可得PFBF，BFEFBF平面 PEF 又 BF在平面 ABFD上平面PEF平面ABFD (2) PHEF ，垂足为 H，由（ 1）可得， PH 平面 ABFD DP与平面ABFD所成角就是PDH. CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2= DE2+（EF-HF ）2+PH2CF2=PF2=HF2+PH2设正方形ABCD 的边长为 2. 上面两个等式即是：22=12+（2-HF）2+PH2 12=HF2+PH2 解方程得HF=12 PH= 32在 RtPHD中, sinPDH=PH/PD= 32/2= 34. 【考点定位】立体几何点、直线、面的关系19. （12分）设椭圆 C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点 M的坐标为（ 2，0）. （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设 O为坐标原点，证明： OMA= OMB.【答案】【解析】（1）由已知可得F（1，0） ，直线 l 的方程为x=1由已知可得 , 点 A 的坐标为（ 1， 22）或（ 1， 22）直线AM的方程为 y= 22x+ 2 或 y= 22x 2(2)当 l 与 x 轴重合， .OMA= OMB=00名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 当 l 与 x轴垂直， OM 为 AB的垂直平分线，所以OMA= OMB当 l 与 x轴不重合且不垂直，设直线l 的方程为 y=k(x-1) (k0) 点 A(x1,y1), B(x2,y2) ，x12,X22, 则直线 MA、MB 的斜率之和KMA+KMB=?1?1-2+?2?2-2=?(?1-1)?1-2+?(?2-1)?2-2=2?1?2-3?(?1+?2 )+4?(?1-2)(?2-2)将 y=k(x-1) 代入椭圆 C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0 x1+x2=4?22?2+1,x1x2=2?2-22?2+12?1?2- 3? (?1+ ?2 ) + 4? =4?3-4?-12?3+8?3+4?2?2+1= 0从而KMA+KMB=0 MA、MB 的倾斜角互补，OMA= OMB综上所述， OMA= OMB【考点定位】圆锥曲线20、 （12 分）某工厂的某、 种、产品成箱包装， 每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20 件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0P400, 应该对这箱余下的所有产品作检验。【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望21、 （12 分）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点, , 证明： . 【答案】【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+）f （x）=-1?2- 1 +?=-?2-?+1?2=a2-4 (i) 若 a2, 则 f （x） 0，当且仅当a=2,x=1 时 f （x）=0， f（x）在（ 0，+）单调递减。(i) 若 a2, 令 f （x）=0得到， ?=? ?2-42当 x（ 0，?- ?2-42）（?+?2-42，+）时， f （x）0 f（x）在 x（0，?- ?2-42）, （?+?2-42，+）单调递减, 在（?- ?2-42,?+?2-42）单调递增。(2)由(1)可得 f(x)存在 2 个极值点当且仅当a2由于 f(x)的极值点x1,x2 满足 x2-ax+1=0 所以 x1x2=1 不妨设 x11 由于f(x1) - f(x2 ）x1 - x2=1x1x2-1 + ?1-?2x1 -x2= -2+ ?1- ?2x1 - x2= -2 + ?-2?21/x2 - x2等价于1x2- ?2+ 2?2 0设 g(x)=1x- ?+ 2?由(1)可知 g（x）在（ 0，+）单调递减，又g(1)=0,从而当 x（ 1，+）时 g(x)01x2- ?2 + 2?2 0-?+ 2 ? 0显然， K=0时，C1与 C2相切，只有一个交点。K0时， C1与 C2没有交点。C1与 C2有且仅有三个交点，则必须满足K0) 与 C2相切 ,圆心到射线的距离d=|-?+2|?2+1= 2故 K=-4/3 或 K=0.经检验，因为K0，所以 K=-4/3。综上所述，所求 C?的方程 y=-43x+2. 【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系23. 选修 4-5 ：不等式选讲 （10 分）已知 f（x）=x+1- ax-1 . （1） 当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（2） 当 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 . 【答案】【解析】（1）当 a=1 时，f（x）=x+1-x-1 =-2 ?-12? - 1 ? 1不等式f（ x） 1 的解集为 x|x12 (2) 当 x（ 0，1）时不等式f（x）=x+1- ax-1 x 成立 , 等价于 ax-1 0，当 x（ 0，1）时 ax-1 1的解集为 0 x=1 故 0a2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 综上所述， a 的取值范围是（0，2 。【考点定位】绝对值不等式含参数不等式恒成立的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -