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    2022年年高考北京文科数学试题及答案,推荐文档 .pdf

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    2022年年高考北京文科数学试题及答案,推荐文档 .pdf

    12013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分 (选择题共 40 分)一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项(1) 【 2013 年北京,文1,5 分】已知集合101A, ,| 11Bxx,则ABI()(A) 0(B)10,(C)01,(D)101, ,【答案】 B 【解析】1,0,1111,|0 xxI,故选 B(2) 【 2013 年北京,文2,5 分】设 a ,b,cR,且ab,则()( A)acbc(B)11ab(C)22ab(D)33ab【答案】 D 【解析】:A 选项中若 c 小于等于 0 则不成立, B 选项中若 a 为正数 b 为负数则不成立,C 选项中若 a, b均为负数则不成立,故选D(3) 【 2013 年北京,文3,5 分】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是()(A)1yx(B)xye(C)21yx(D)lgyx【答案】 C 【解析】 A 选项为奇函数,B 选项为非奇非偶函数,D 选项虽为偶函数但在(0),上是增函数,故选C(4) 【 2013 年北京,文4,5 分】在复平面内,复数i(2i)对应的点位于()( A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】 A 【解析】()i 2i12i ,其在复平面上的对应点为1,2 ,该点位于第一象限,故选A(5) 【 2013 年北京,文5,5 分】在ABC中,3a,5b,1sin3A,则sinB()( A)15(B)59(C)53(D)1【答案】 B 【解析】根据正弦定理,sinsinabAB,则5 15sinsin3 39bBAa,故选 B(6) 【 2013 年北京,文6,5 分】执行如图所示的程序框图,输出的S 值为()( A) 1 (B)23(C)1321(D)610987【答案】 C 【解析】依次执行的循环为1S, i0;23S,i1;1321S,i2,故选 C(7) 【 2013 年北京,文7,5 分】双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是()( A)12m(B)1m(C)1m(D)2m【答案】 C 【解析】该双曲线离心率11me,由已知12m,故1m,故选 C(8) 【 2013 年北京,文8,5 分】如图,在正方体1111ABCDAB C D中,P为对角线1BD的三等分点,则P到各顶点的距离的不同取值有()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 2(A)3 个(B)4 个(C)5 个(D)6 个【答案】 B 【解析】设正方体的棱长为a 建立空间直角坐标系, 如图所示则0,0,0D,10,()0Da,,1()0Ca a, ,,,(0)0Ca,,0(, )B a a,,1()B a a a, ,,,0,0A a,1,()0A aa,,221,333Paaa,则22211139993PBaaaauu u r,222441999PDaaaauu u r,22214442 39993PDaaaauu uu r,22211414999PCPAaaaa ,22241169993PCPAaaaa ,222111469993PBaaaauuu r, 故共有 4 个不同取值,故选 B第二部分 (非选择题共 110分)二、填空题:共6 小题,每小题5 分,共 30 分(9)【2013 年北京,文 9, 5 分】若抛物线22ypx 的焦点坐标为(1,0), 则p, 准线方程为【答案】 2;1【解析】根据抛物线定义12p,2p,又准线方程为12px(10) 【2013 年北京,文 10,5 分】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为【答案】 3 【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形,其边长为3,四棱锥的高为1,根据体积公式133 133V,故该棱锥的体积为3(11) 【2013 年北京,文11,5 分】若等比数列na满足2420aa,3540aa,则公比q;前 n项和nS【答案】 2;122n【解析】由题意知352440220aaqaa 由222421()10(12aaaqa qq, 12a 12 122212nnnS(12) 【2013 年北京, 文 12,5 分】设D为不等式组02030 xxyxy所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为【答案】2 55【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示:根据数形结合知1,0 到D的距离最小值为1,0到直线 2x-y=0 的距离|2 10|2 555(13) 【2013 年北京,文13,5 分】函数12log,1( )2 ,1xxxf xx的值域为 _【答案】 ()2,【解析】当1x时,1122loglog 1x, 即12log0 x,当1x时,1022x,即 022x; 故 fx 的值域为 ()2, (14) 【2013 年北京,文14,5 分】向量(1 , 1)A,(3,0)B,(2,1)C,若平面区域D由所有满足APABACuuu ru uu ruuu r(12,01)的点P组成,则D的面积为【答案】 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 3【解析】APABACuuu ruuu ruuu r,2,1ABuuu r,1,2ACuuu r设()P xy,则1,1APxyuuu r1212xy得233233xyyx, 12 , 01,可得629023xyxy,如图可得13,0A,14,2B,16,3C,21214325A B,两直线距离2|96 |3521d,113SAB d三、解答题:共6 题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程(15) 【2013 年北京,文15,13 分】已知函数21( )(2cos1)sin2cos42f xxxx(1)求( )f x的最小正周期及最大值;(2)若(,)2,且2()2f,求的值解: (1)21( )(2cos1)sin 2cos42f xxxx1cos2 sin2cos42xxx11sin4cos422xx2sin(4)24x所以,最小正周期242T,当4242xkkZ,即216kxkZ时,max2( )2f x(2)因为22( )sin(4)242f,所以sin(4)14,因为2,所以9174444,所以5442,即916(16) 【2013 年北京,文16,13 分】下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于100 表示空气质量优良,空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市,并停留2 天(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此在在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解: (1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中, 1 日、2 日、3 日、 7 日、 12 日、 13 日共 6 天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613(2)解法一:根据题意,事件“ 此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染” 等价于 “ 此人到达该市的日期是4 日,或5 日,或 7 日,或 8 日” 所以此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率为413解法二:此人停留的两天共有13 种选择,分别是:1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5, 5,6 , 6,7 , 7,8 , 8,9 ,9,10 , 10,11 , 11,12 , 12,13 , 13,14 ,其中只有一天重度污染的为4,5, 5,6 , 7,8 , 8,9 ,共 4 种,所以概率为2413P(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大(17) 【2013 年北京,文17,14 分】如图,在四棱锥PABCD中,/ /ABCD,ABAD,2CDAB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)/ /BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD解: (1)因为平面PAD底面 ABCD ,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA底面 ABCD (2)因为/ /ABCD ,2CDAB,E为 CD 的中点,所以/ /ABDE ,且ABDE所以ABED为平行四边空气质量指数日期14 日13日12日11 日10 日9 日8 日7日6 日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - 4形所以/ /BEAD 又因为 BE平面PAD,AD平面PAD,所以/ /BE平面PAD(3)因为ABAD,而且ABED为平行四边形,所以BECD , ADCD 由( 1)知PA底面 ABCD ,所以 PACD 所以 CD平面PAD所以 CDPD 因为E和F分别是 CD 和 PC 的中点,所以/ /PDEF 所以 CDEF 所以 CD平面BEF所以平面BEF平面 PCD (18) 【2013 年北京,文18,13 分】已知函数2( )sincosf xxxxx (1)若曲线( )yf x在点( ,( )a f a处与直线yb相切,求 a 与b的值;(2)若曲线( )yf x与直线yb有两个不同的交点,求b的取值范围解: (1)因为曲线yfx 在点 ()afa,处与直线yb 相切,所以2cos0faaa, bfa 解得0a,01bf(2)解法一:令0fx,得0 x fx 与 fx 的情况如下:x()0,0(0),fx-0+ fx1所以函数fx 在区间 ()0, 上单调递减,在区间(0),上单调递增,01f是 fx 的最小值当1b时,曲线yfx 与直线 yb 最多只有一个交点;当1b时,222421421fbfbbbbbb,01fb ,所以存在12 ,0 xb,20,2xb ,使得12fxfxb 由于函数fx 在区间 ()0, 和 (0),上均单调,所以当1b时曲线 yfx 与直线 yb 有且仅有两个不同交点综上可知,如果曲线yfx 与直线 yb 有两个不同交点,那么b的取值范围是(1),解法二:因为2cos0 x,所以当0 x时( )0fx,( )f x单调递增;当0 x时( )0fx,( )f x单调递减所以当0 x时,( )f x取得最小值(0)1f,所以b的取值范围是(1,)(19) 【2013 年北京,文19,14 分】直线0ykxm m,W:2214xy相交于A,C两点,O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明四边形OABC不可能为菱形解: (1)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与 OB 相互垂直平分所以可设1,2A t,代入椭圆方程得21144t,即3t所以2 3AC(2)解法一:假设四边形OABC 为菱形因为点B不是 W 的顶点,且ACOB,所以0k由2244xyykxm,消y并整理得222148440kxkmxm设11()A xy,22()C xy,则1224214xxkmk,121222214yyxxmkmk所以 AC 的中点为224,1414kmmMkk因为M为 AC 和 OB 的交点,且0m,0k,所以直线 OB 的斜率为14k因为114kk,所以 AC 与 OB 不垂直所以四边形OABC 不是菱形,与假设矛盾所以当点B不是 W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形解法二:因为四边形OABC为菱形,所以OAOC ,设1OAOCr r,则A,C两点为圆222xyr 与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 5椭圆2214xy的交点,联立方程2222214xyrxy,得224(1)3rx,所以A,C两点的横坐标相等或互为相反数因为点B在W上,若A,C两点的横坐标相等,点B应为椭圆的左顶点或右顶点不合题意若A,C两点的横坐标互为相反数,点B应为椭圆的上顶点或下顶点不合题意所以四边形OABC不可能为菱形(20) 【2013 年北京,文20,13 分】给定数列1a,2a,L L,na对1,2,3,1inL,该数列前i项的最大值记为iA,后ni项1ia,2ia,L L,na的最小值记为iB,iiidAB(1)设数列na为3,4,7,1,写出1d,2d,3d的值;(2)设1a,2a,L L,na(4n)是公比大于1的等比数列,且10a,证明1d,2d,L L,1nd是等比数列;(3)设1d,2d,L L,1nd是公差大于0的等差数列,且10d,证明1a,2a,L L,1na是等差数列解: (1)111312dAB,222413dAB,333716dAB(2)因为1a,2a,L L,na(4n)是公比大于1的等比数列,且10a,所以11nnaaq所以当1,2,3,1knL时,1kkkkkdABaa,所以当2,3,1knL时,11111(1)(1)kkkkkkkkdaaaqqqdaaaq,所以1d,2d,L L,1nd是等比数列(3)解法一:若1d,2d,L L,1nd是公差大于0的等差数列,则1210ndddL,1a,2a,L L,1na应是递增数列,证明如下:设ka是第一个使得1kkaa的项,则1kkAA,1kkBB,所以111kkkkkkdABABd,与已知矛盾所以,1a,2a,L L,1na是递增数列再证明na数列na中最小项,否则knaa(2,3,1knL),则显然1k,否则11111110dABaBaa,与10d矛盾;因而2k,此时考虑11110kkkkkdABaa,矛盾,因此na是数列na中最小项综上,2,3,1kkkkndABaaknL,kknada,也即1a,2a,L L,1na是等差数列解法二:设 d 为121nddd, ,公差对 12in,1iiBBQ,0d,111iiiiiiiiABdBddBdA又因为11iiiAmax Aa,所以11iiiiaAAa从而121naaa, ,是递增数列因此1,2() 1iiAa in, , 又因为111111BAdada, 所以1121nBaaa 因此1naB所以121nnBBBa所以iiiiniaABdad因此对1,22in, ,都有11iiiiaaddd,即121naaa, ,是等差数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -

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