第二章随机变量及其分布31《离散型随机变量的均值》课时1.ppt

2.3.1 2.3.1 离散型随机变离散型随机变量的均值量的均值1.了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望2.理解公式“E(aXb)aE(X)b”，以及“若XB(n，p)，则E(X)np”能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望3.感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值 本节是一节概念新课，通过知识回顾、两个简单实例引入课题-数学期望概念、离散型随机变量期望公式， 通过讨论得到随机变量Y与X具有线性关系即YaXb，它们的期望具有同样的线性关系，进一步利用练习进行巩固。再利用典型例题1分析与讲解得到二点分布期望公式. 通过例2分析讲解给出服从二项分布的随机变量的期望公式。再通过典型例题引导学生分析问题、解决问题，培养学生归纳、概括等合情推理能力，再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的意识，培养其严谨治学的态度1、离散型随机变量的分布列 XP1xix2x1p2pip2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数加权平均2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？X182436P把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元元 一、离散型随机变量取值的平均值数学期望数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE 2211)(则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x1p2pipnxnpX设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE 2211)(P1xix2x1p2pipnxnpXP1xix2x1p2pipnxnpXYbax 1baxi bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211 )()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE )(一、离散型随机变量取值的平均值数学期望1122()iinnE Xx px px px pP1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质()()E aXbaE Xb1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则E()= . 2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若=2+1，则E()= . 5.847910P0.3ab0.2E()=7.5,则a= b= .0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则pppEX )1(01小结：例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33 . 0解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)31222333()0 0.310.7 0.320.70.33 0.7E XCC 1 . 2)( XE7 . 03 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则npXE )(小结：基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .31.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩成绩的期望。2. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡 住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种 方案好。3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？4.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为： 12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；（2）求 的分布列及期望E( ) 。0.030.97P1000a1000E( ) = 10000.03a0.07a得a10000 故最大定为10000元。练习：1、若保险公司的赔偿金为a（a1000）元，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。(保留三个有效数字)0.340.330.70.320.70.30.70.7p54321E( ) =1.43一、离散型随机变量取值的平均值数学期望nniipxpxpxpxXE 2211)(P1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质bXaEbaXE )()(三、如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p则pXE )(四、如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则npXE )(证明： Qkknkkknkn nP(P( k)C p q(k0, 1, 2, n)k)C p q(k0, 1, 2, n) 00n11n100n11n1nnnnkknknn0kknknn0nnnnE E 0C p q1C p q0C p q1C p qkC p qnC p qkC p qnC p q 00n111n200n111n2n1n1n1n1k1k1(n1)(k1)n1n10k1k1(n1)(k1)n1n10n1n1n1n1np(Cp qCp qnp(Cp qCp qCpqCpq )CpqCpq )所以 若B(n，p)，则E()np 证明：若B(n，p)，则Enp 1().nnp pqnp