2022年导数中双变量的函数构造 .pdf

1 导数中双变量的函数构造21（12 分） 已知函数( )lnexf xx（R）（1）若函数( )f x是单调函数，求的取值范围；（2）求证：当120 xx时，都有211121ee1xxxx21 解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)，( )lnexf xx，e( )exxxfxxx，函数( )f x是单调函数， ( )0fx 或( )0fx 在(0,)上恒成立，( )0fx ， e0 xxx，即e0 xx，eexxxx，令( )exxx，则1( )exxx，当01x时，( )0 x；当1x时，( )0 x则( )x在(0,1)上递减，(1,)上递增， min1( )(1)xe，1e；( )0fx ，e0 xxx，即e0 xx，eexxxx，由 得( )exxx在(0,1)上递减，(1,)上递增， 又(0)0，x时( )0 x，0；综上 可知，1e或0；.6 分（ 2）由（ 1）可知，当1e=时，1( )lneexf xx在(0,)上递减， 120 xx，12()()f xf x，即121211lnelneeexxxx，211112eelnlnxxxx，要证211121ee1xxxx，只需证2121lnln1xxxx，即证1221ln1xxxx，令12xtx，(0,1)t，则证1ln1tt，令1( )ln1h ttt，则21( )0th tt，( )h t在(0,1)上递减， 又(1)0h， ( )0h t， 即1ln1tt， 得证.12分典例已知函数 f(x)ax2xln x(aR)的图象在点 (1， f(1)处的切线与直线x3y0 垂直(1)求实数 a 的值；(2)求证：当 nm0 时，ln nln mmnnm解(1)因为 f(x)ax2xln x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 所以 f(x)2axln x1，因为切线与直线 x3y0 垂直，所以切线的斜率为3，所以 f(1)3，即 2a13，故 a1(2)证明：要证 ln nln mmnnm，即证 lnnmmnnm，只需证 ln nmmnnm0令nmx，构造函数 g(x)ln x1xx(x1)，则 g(x)1x1x21因为 x1，)，所以 g(x)1x1x210，故 g(x)在(1，)上单调递增由已知 nm0，得nm1，所以 gnmg(1)0，即证得 ln nmmnnm0 成立，所以命题得证1(2017 石家庄质检 )已知函数 f(x)a xx2ex(x0)，其中 e 为自然对数的底数(1)当 a0 时，判断函数 yf(x)极值点的个数；(2)若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，设 tx2x1，证明： x1x2随着 t 的增大而增大解：(1)当 a0 时，f(x)x2ex(x0)，f(x)2xex x2exex 2x x2ex，令 f(x)0，得 x2，当 x(0,2)时，f(x)0，yf(x)单调递减，当 x(2，)时，f(x)0，yf(x)单调递增，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 所以 x2 是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数 yf(x)有一个极值点(2)证明：令 f(x)a xx2ex0，得 x32aex，因为函数有两个零点x1，x2(x1x2)，所以 x1321aex1，x322aex2，可得32ln x1ln ax1，32ln x2ln ax2故 x2x132ln x232ln x132lnx2x1又x2x1t，则 t1，且x2tx1，x2x132ln t，解得 x132ln tt1，x232tln tt1所以 x1x232t1 ln tt1令 h(x)x1 ln xx1，x(1，)，则 h(x)2ln xx1xx12令 u(x)2ln xx1x，得 u(x)x1x2当 x(1，)时，u(x)0因此， u(x)在(1，)上单调递增，故对于任意的 x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得 h(x)0，故 h(x)在(1，)上单调递增因此，由可得 x1x2随着 t 的增大而增大取对数，做差将 两个零点 x1，x2(x1x2)，用 t 表示，注意的隐含范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 2(2016 全国乙卷 )已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1，x2是 f(x)的两个零点，证明： x1x20，则当 x(，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)内单调递减，在 (1，)内单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 ba2(b2)a(b1)2a b232b 0，故 f(x)存在两个零点设 a0，因此 f(x)在(1，)内单调递增又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点若 a1，故当 x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此 f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在 (ln(2a)，)内单调递增又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0，)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 (2)证明：不妨设 x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又 f(x)在(，1)内单调递减，所以 x1x2f(2x2)，即 f(2x2)1 时，g(x)1 时，g(x)0.从而 g(x2)f(2x2)0，故 x1x22.3.已知函数 f(x)exax1(a 为常数 )，曲线 yf(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为 1(1)求 a 的值及函数 yf(x)的单调区间；(3)若 x1ln 2，x2ln 2，且 f(x1)f(x2)，试证明： x1x22ln 2解：(1)由 f(x)exax1，得 f(x)exa又 f(0)1a1，所以 a2，所以 f(x)ex2x1，f(x)ex2由 f(x)ex20，得 xln 2所以函数 yf(x)在区间 (，ln 2)上单调递减，在 (ln 2，)上单调递增(2)证明：设 xln 2，所以 2ln 2xln 2，f(2ln 2x)e(2ln 2x)2(2ln 2x)1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 4ex2x4ln 21令 g(x)f(x)f(2ln 2x)ex4ex4x4ln 2(xln 2)，所以 g(x)ex4ex40，当且仅当 xln 2 时，等号成立，所以 g(x)f(x)f(2ln 2x)在(ln 2，)上单调递增又 g(ln 2)0，所以当 xln 2 时，g(x)f(x)f(2ln 2x)g(ln 2)0，即 f(x)f(2ln 2x)，所以 f(x2)f(2ln 2x2)，又因为 f(x1)f(x2)，所以 f(x1)f(2ln 2x2)，由于 x2ln 2，所以 2ln 2x2ln 2，因为 x1ln 2，由(1)知函数 yf(x)在区间 (，ln 2)上单调递减，所以 x12ln 2x2，即 x1x22ln 24(2017 沈阳质监 )已知函数 f(x)12x2aln xb(aR)(1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线的方程为3xy30，求实数 a，b 的值；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求实数a 的值；(3)若2a0，对任意 x1，x2(0,2，不等式 |f(x1)f(x2)|m1x11x2恒成立，求 m 的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 解：(1)因为 f(x)12x2aln xb，所以 f(x)xax，因为曲线 yf(x)在 x1 处的切线的方程为3xy30，所以f 1 3，f 1 0，即1a3，12b0，解得a2，b12.(2)因为 x1 是函数 f(x)的极值点，所以 f(1)1a0，所以 a1当 a1 时，f(x)12x2ln xb，定义域为 (0，)，f(x)x1xx21xx1 x1x，当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减，当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 a1(3)因为 2a0,0 x2，所以 f(x)xax0，故函数 f(x)在(0,2上单调递增，不妨设 0 x1x22，则|f(x1)f(x2)|m1x11x2可化为 f(x2)mx2f(x1)mx1，设 h(x)f(x)mx12x2aln xbmx，则 h(x1)h(x2)所以 h(x)为(0,2上的减函数，即 h(x)xaxmx20 在(0,2上恒成立，等价于 x3axm0 在(0,2上恒成立，即 mx3ax 在(0,2上恒成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 又2a0，所以 ax2x，所以 x3axx32x，而函数 yx32x 在(0,2上是增函数，所以 x32x12(当且仅当 a2，x2 时等号成立 )所以 m12，即 m 的最小值为 125已知函数 f(x)x1x，g(x)aln x(aR)(1)当 a2 时，求 F(x)f(x)g(x)的单调区间；(2)设 h(x)f(x)g(x)，且 h(x)有两个极值点为 x1，x2，其中 x1 0，12，求h(x1)h(x2)的最小值解：(1)由题意得 F(x)x1xaln x(x0)，则 F(x)x2ax1x2，令 m(x)x2ax1，则 a24当 2a2 时， 0，从而 F(x)0，所以 F(x)的单调递增区间为 (0，)；当 a2 时， 0，设 F(x)0 的两根为x1aa242，x2aa242，所以 F(x)的单调递增区间为0，aa242和aa242，F(x)的单调递减区间为aa242，aa242综上，当 2a2 时，F(x)的单调递增区间为 (0，)；当 a2 时，F(x)的单调递增区间为0，aa242和aa242，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 F(x)的单调递减区间为aa242，aa242(2)对 h(x)x1xaln x，x(0，)求导得，h(x)11x2axx2ax1x2，h(x)0 的两根分别为 x1，x2，则有 x1 x21，x1x2a，所以 x21x1，从而有 ax11x1令 H(x)h(x)h1xx1xx1xln x1xx x1xln 1x2x1xln xx1x，即 H(x)21x21 ln x2 1x 1x ln xx2(x0)当 x0，12时，H(x)0，所以 H(x)在0，12上单调递减，又 H(x1)h(x1)h1x1h(x1)h(x2)，所以h(x1)h(x2)minH125ln 236.设 f(x)exa(x1)(1)若? xR，f(x)0 恒成立，求正实数a 的取值范围；(2)设 g(x)f(x)aex，且 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲线 yg(x)上任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数m，求 m 的取值范围解(1)因为 f(x)exa(x1)，所以 f(x)exa由题意，知 a0，故由 f(x)exa0，解得 xln a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1 0故当 x(，ln a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(ln a，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)的最小值为 f(ln a)eln aa(ln a1)aln a由题意，若 ? xR，f(x)0 恒成立，即 f(x)exa(x1)0 恒成立，故有 aln a0，又 a0，所以 ln a0，解得 0a1所以正实数 a 的取值范围为 (0,1(2)设 x1，x2是任意的两个实数，且x1x2则直线 AB 的斜率为 kg x2g x1x2x1，由已知 km，即g x2g x1x2x1m因为 x2x10，所以 g(x2)g(x1)m(x2x1)，即 g(x2)mx2g(x1)mx1因为 x1x2，所以函数 h(x)g(x)mx 在 R 上为增函数，故有 h(x)g(x)m0 恒成立，所以 mg(x)而 g(x)exaaex，又 a10，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1 1故 g(x)exaexa2exaexa2aa而 2aa2a(a)2(a1)213，所以 m 的取值范围为 (，3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1 2练习：1 已知函数xaxgxxfln,212.(1)若曲线xgxfy在1x处的切线的方程为0526yx,求实数 a 的值 ;(2)设xgxfxh,若对任意两个不等的正数21,xx,都有22121xxxhxh恒成立 ,求实数a 的取值范围 ;(3)若在e, 1上存在一点0 x,使得000011xgxgxfxf成立 ,求实数 a 的取值范围 .2.已知函数Raxaxxxf22ln.（ 1）若0 x，恒有xxf成立，求实数的取值范围；（ 2）若函数xxfxg有两个极值点2121,xxxx，求证：aexx2ln1ln121.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -