高考真题数学分项详解-专题14-解三角形（原卷版）.pdf

专题专题 1414 解三角形解三角形年份年份题题号号考点考点考查内容考查内容课标来源:学&科&网 Z&X&X&K理 16利用正弦定理、余弦定理解平面图形来源:学_科_网正弦定理、三角公式、三角函数最值问题来源:学&科&网 Z&X&X&K2011来源:学。科。网课标文 15利用正弦定理、余弦定理解平面图形正余弦定理及三角形面积公式课标理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力2012课标文 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力卷 1理 17利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式解平面图形卷 1文 10已知边角关系利用正余弦定理解三角形二倍角公式、利用正余弦定理解三角形卷 2理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程思想2013卷 2文 4利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式卷 1理 16已知边角关系利用正余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式等基础知识2014卷 2理 4已知边角关系利用正余弦定理解三角形三角形的面积公式、余弦定理卷 1文 16正余弦定理在实际测量问题中的应用利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能力卷 2文 17利用正弦定理、余弦定理解平面图形余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力卷 1理 16利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结合思想卷 2理 17利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及三角形面积问题卷 1文 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运算求解能力2015卷 2文 17利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及两角和的三角公式卷 1理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面积公式，运算求解能力卷 1文 4利用正弦定理、余弦定理解平面图形余弦定理解三角形卷 2理 13已知边角关系利用正余弦定理解三角形同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦定理解三角形卷 3理 8利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用余弦定理解三角形卷 3文 9利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理解三角形2016卷 2文 15利用正弦定理、余弦定理解平面图形同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦公式、利用正弦定理解三角形卷 1理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力卷 2理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力卷 3理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力卷 1文 11利用正弦定理、余弦定理解平面图形三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化与化归思想与运势求解能力卷 2文 16已知边角关系利用正余弦定理解三角形正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求角2017卷 3文 15利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理解三角形卷 1理 17利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及角，数学应用意识卷 2理 6文 7利用正弦定理、余弦定理解平面图形二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长卷 3理 9文 11已知边角关系利用正余弦定理解三角形余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系，运算求解能力2018卷 1文 16已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理解三角形、求三角形面积，运算求解能力卷 1理 17已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦定理求角及三角函数值，运算求解能力2019卷 2理 15已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力卷 3文理18已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力卷 1文 11已知边角关系利用正余弦定理解三角形利用正余弦定理解三角形卷 2文 15已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理求角，转化与化归思想卷 1文 18解三角形余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式理 17解三角形正弦定理、余弦定理，基本不等式卷 2文 17解三角形余弦定理，三角函数公式理 7解三角形余弦定理及其推论2020卷 3文 11解三角形余弦定理推论，平方关系、商关系大数据分析大数据分析* *预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测年预测考点 44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形20/36考点 45 利用正弦定理、余弦定理解平面图形17/36考点 46 正余弦定理在实际测量问题中的应用1/362021 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第 17 题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题十年试题分类十年试题分类* *探求规律探求规律考点考点 4444 已知边角关系利用正余弦定理解三角形已知边角关系利用正余弦定理解三角形1 （2019新课标，文 11）的内角，的对边分别为，已知ABCABCabc，则sinsin4 sinaAbBcC1cos4A (bc)A6B5C4D32 （2018新课标，理 9 文 11）的内角，的对边分别为，若的面积为ABCABCabcABC，则2224abc(C )ABCD23463 （2016新课标，文 4）的内角、的对边分别为、已知，ABCABCabc5a 2c ，则2cos3A (b )ABC2D3234 （2014 新课标，理 4）钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=()122A5BC2D155 （2013 新课标，文 10）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为，abc，=7，则=223coscos20AAa6c b10985ABCD6 （2014 江西）在中，内角 A，B，C 所对应的边分别为，若，则ABC,cba32ab的值为（）2222sinsinsinBAAABC D19131727 （2017 山东）在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足ABCABCabcABC，则下列等式成立的是sin(12cos)2sincoscossinBCACACABCD2ab2ba2AB2BA8(2014 重庆)已知ABC的内角，满足=ABCsin2sin()AABCsin()CAB，面积满足，记，分别为，所对的边，则下列不等式一定成立的12S12SabcABC是A8)(cbbcBC126 abcD()16 2ab ab1224abc9 （2014 江西）在中，分别为内角，所对的边长，若ABCabcABC，则的面积是（）22()6cab3CABCA3BCD2392333310 （2013 辽宁）在ABC，内角, ,A B C所对的边长分别为若, ,a b csincosaBC ，且，则=1sincos2cBAbabBA6B3C23D5611 （2013 陕西）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscossinbCcBaA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定12 （2011 辽宁）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sincoscosaABbA，则2aabABCD2 32 23213 （2019新课标，理 15）的内角，的对边分别为，若，ABCABCabc6b 2ac，则的面积为3BABC14 （2018新课标，文 16）的内角，的对边分别为，已知ABCABCabc，则的面积为sinsin4 sinsinbCcBaBC2228bcaABC15 （2017 新课标卷 2，文 16）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= 16 （2016新课标，理 13）的内角，的对边分别为，若，ABCABCabc4cos5A ，则5cos13C 1a b 17 （2014 新课标，理 16）已知分别为的三个内角的对边，=2，且, ,a b cABC, ,A B Ca，则面积的最大值为(2)(sinsin)()sinbABcbCABC18 （2014 广东）在ABC中，角CBA,所对应的边分别为cba,已知cosbC ，则bacos2cBb19 （2013 安徽）设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c若2bca，则3sin5sin,AB则角C _20 （2012 安徽）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ABC, ,A B C, ,a b c若；则若；则2abc3C2abc3C若；则若；则333abc2C()2ab cab2C若；则22222()2ab ca b3C21 （2012 北京）在中，若，则=ABC12,7,cos4abcB b22 （2020 全国文 18）的内角的对边分别为已知ABC,A B C,a b c150B （1）若，求的面积；3 ,2 7ac bABC（2）若 sinA+sinC=，求322C23（2020 全国文 17）的内角的对边分别为，已知ABC,A B C,a b c45cos2cos2AA（1）求；A（2）若，证明：是直角三角形acb33ABC24（2020 全国理 17）中，ABC222sinsinsinsinsinABCBC（1）求；A（2）若，求周长的最大值3BC ABC25 （2020 江苏 16）在中，角，的对边分别为，已知，ABCABCabc3a 2c 45B （1）求的值；sinC（2）在边上取一点，使得，求的值BCD4cos5ADC tanDAC26（2020 天津 16）在中，角所对的边分别为已知ABC, ,A B C, ,a b c2 2,5,13abc（）求角的大小；C（）求的值；sin A（）求的值sin24A27（2020浙江18）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin3bAa（I）求角B；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围28（2020 山东 17）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角3ac sin3cA3cb形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由c问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，？ABC,A B C,a b csin3sinAB6C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分29 （2019新课标，理 17）的内角，的对边分别为，设ABCABCabc22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求；A（2）若，求22abcsinC30 （2019新课标，理（文）18）的内角、的对边分别为，已知ABCABCabcsinsin2ACabA（1）求；B（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围ABC1c ABC31 （2017 新课标卷 1，理 17）的内角，的对边分别为，已知的面积为ABCABCabcABC23sinaA（1）求；sinsinBC（2）若，求的周长6coscos1BC 3a ABC32 （2017 新课标卷 2，理 17）的内角所对的边分别为，已知ABCABC、, ,a b c，2sin()2sin2BAC（1）求；cosB（2）若，的面积为，求6acABC2b33 （2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，ABCsin3cos0AA，2 7a 2b （1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积DBCADACABD34 （2016 新课标卷 1，理 17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知ABC2cos( coscos).C aB+bAc（I）求C；（II）若的面积为，求的周长7,cABC3 32ABC35 （2015 新课标，文 17）已知分别是内角的对边，, ,a b cABC, ,A B C2sin2sinsinBAC（I）若，求abcos ;B（II）若，且求的面积90B 2,a ABC36 （2013 新课标，理 17）ABC 内角 A，B，C 的对边分别为，已知=abcacossinbCcB（）求 B；（）若=2，求ABC 面积的最大值b37 （2012 新课标，理 17）已知，分别为三个内角，的对边，abcABCABCcos3 sin0aCaCbc()求；A()若=2，的面积为，求，aABC3bc38 （2012 新课标，文 17）已知，分别为三个内角，的对边，abcABCABC3 sinsincaCcA()求；A()若=2，的面积为，求，aABC3bc39 （2014 陕西）的内角所对的边分别为ABCCBA，cba，（I）若成等差数列，证明：；cba，CACAsin2sinsin（II）若成等比数列，求的最小值cba，Bcos40 （2019 江苏 15）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；223（2）若，求的值sincos2ABabsin()2B41 （2019 天津理 15）在中，内角所对的边分别为已知，ABC, ,A B C, ,a b c2bca3 sin4 sincBaC（）求的值；cosB（）求的值sin 26B42 （2018 天津）在中，内角，所对的边分别为，已知ABCABCabcsincos()6bAaB(1)求角的大小；B(2)设，求和的值2a 3c bsin(2)AB43 （2016 年山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：；2abc（）求的最小值cosC44 （2016 年四川）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscossinABCabc（I）证明：；sinsinsinABC（II）若，求22265bcabctan B45 （2015 湖南）设的内角的对边分别为，且为钝角ABC, ,A B C, ,a b ctanabAB（1）证明：；2BA（2）求的取值范围sinsinAC46 （2012 安徽）设的内角所对边的长分别为，且有ABCCBA, ,a b c2sincosBA sincoscossinACAC（）求角A的大小；（)若，为的中点，求的长2b 1c DBCAD47 （2011 山东）在中，分别为内角，所对的边长已知ABCabcABCcos2cos2cosACcaBb（I）求sinsinCA的值；（II）若，的面积1cos4B 2b ABCS48 （2011 安徽）在中，分别为内角，所对的边长，a=，ABCabcABC3b=，求边BC上的高212cos()0BC考点考点 4545 利用正弦定理、余弦定理解平面图形利用正弦定理、余弦定理解平面图形1（2020 全国文 11）在中，则（）ABC2cos,4,33CACBCtan B ABCD52 54 58 52（2020 全国理 7）在中，则（）ABC2cos,4,33CACBCcosB ABCD191312233（2020 北京 10）2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day） 历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算n单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算n6n6n6术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达方式是（）2AB30303sintannnn30306sintannnnCD60603sintannnn60606sintannnn4 （2018新课标，理 6 文 7）在中，则ABC5cos25C1BC 5AC (AB )ABCD4 230292 55 （2017 新课标 1，文 11）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，c=，则C=sinsin(sincos)0BACC2ABCD126436 （2016 新课标卷 3，理 8）在ABC中，4B =，BC边上的高等于13BC，则cos A=（）（A）3 1010（B）1010（C）1010-（D）3 1010-7 （2016 新课标卷 3，文 9）在ABC中，4B =，BC边上的高等于13BC，则sin A=（A）310（B）1010（C）55（D）3 10108 （2013 新课标，文 4）的内角的对边分别为，已知，ABC, ,A B C, ,a b c2b 6B4C则的面积为（）ABC（A）（B）（C）（D）2 32312 32319 （2016 年天津）在中，若，=3，则AC=ABC= 13ABBC120CA1B2C3D410 （2013 天津）在ABC中，,2,3,4ABBCABC则sin BAC=A1010B105C3 1010D5511（2012 广东）在ABC中，若60 ,45 ,3 2ABBC，则AC A4 3B2 3CD12 （2011 天津）如图，在中，是边上的点，且，ABCDAC,23ABADABBD2BCBD则的值为（）sinCBACDABCD3336636613 （2017 新课标卷 3，文 15）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60，b=，c=3，则A=_614(2016 全国新课标卷 2，文 15)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，4cos5A ，a=1，则b=_5cos13C 15 （2015 新课标，理 16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是（）16 （2011 全国课标，理 16）在中，则的最大值为 ABC060B 3AC 2ABBC17 （2011 全国课标，文 15）中，AC=7，AB=5，则的面积为 ABC0120B ABC18 （2019 浙江 14）在中，点在线段上，若ABC90ABC4AB 3BC DAC，则_，_45BDCBD cosABD19(2018 江苏)在中，角所对的边分别为，的平分线交于ABC, ,A B C, ,a b c120ABCABCAC点D，且，则的最小值为 1BD 4ac20(2018 浙江)在中，角，所对的边分别为，若，ABCABCabc7a ，则=_，=_2b 60A sin Bc21（2017 浙江）已知， 点为延长线上一点，连结ABC4ABAC2BC DAB2BD ，则的面积是_，=_CDBDCcosBDC22(2015 广东)设的内角，的对边分别为，若，ABCABCabc3a ，则1sin26Cb 23 （2015 福建）若锐角的面积为，且，则等于 ABC10 35AB 8AC BC24 （2015 北京）在中，则ABC4a 5b 6c sin2sinAC25 （2015 天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为ABC, ,A B C, ,a b cABC，则的值为3 152bc1cos4A a26 （2013 福建）如图ABC中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，2 2sin3BAC，则BD的长为_3 2AB 3AD ABCD27 （2018新课标，理 17）在平面四边形中，ABCD90ADC45A2AB 5BD （1）求；cosADB（2）若，求2 2DC BC28 （2015新课标，理 17）中，是上的点，平分，面积是面积的ABCDBCADBACABDADC2 倍（1）求；sinsinBC（2）若，求和的长1AD 22DC BDAC29 （2015 新课标，文 17）ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC（I）求sinsinBC；（II）若60BAC，求B30 （2014 新课标，文 17）四边形的内角与互补，ABCDAC2, 3, 1DACDBCAB（）求和；CBD（）求四边形的面积 ABCD31 （2013新课标，理17）如图，在ABC中，ABC90，AB=，BC=1，P为ABC内一点，3BPC90(1)若 PB= ，求 PA；12(2)若APB150，求 tanPBA32 （2019 北京 15）在中，ABCa 3bc 21cos2B （）求b，c的值；（）求的值sin(BC)33 （2018 北京）在中，ABC7a 8b 1cos7B (1)求；A(2)求边上的高AC34 （2017 天津）在中，内角所对的边分别为已知，ABC, ,A B C, ,a b cab5a 6c 3sin5B （）求和的值；bsin A（）求的值sin(2)4A35 （2017 北京）在中，=60，ABCA37ca（）求的值；sinC（）若，求的面积7a ABC36 （2014 山东）中，分别为内角，所对的边长已知ABCabcABC63,cos,32aABA（）求的值；b（II）求的面积ABC37 （2014 安徽）设的内角, ,A B C所对边的长分别是, ,a b c，且，ABC3b 1c 2AB（）求a的值；（）求sin()4A的值考点考点 4646 正余弦定理在实际测量问题中的应用正余弦定理在实际测量问题中的应用1（2020 山东 15）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是OABA圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四ABAGBABBC边形为矩形，垂足为，到DEFGBCDGC3tan5ODCBHDG=12EFcm=2DEcmA直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为DEEF7cm1cm2cm2 （2014 四川）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的ABC7530高是，则河流的宽度等于60cmBCACB60m7530ABCD240( 31)m180( 21)m120( 31)m30( 31)m3 （2014 新课标 I，文 16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点从点MNACA测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得M60MANC45CAB75MACC已知山高，则山高_60MCA100BCmMN mCNABM4 （2015 湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏A北的方向上，行驶 600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的30B7530高度mCD 5 （2019 江苏 18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）求当d最小时，P、Q两点间的距离