高考数学一轮复习知识点大全-函数.pdf
- 4 - 高中数学知识点整理 第二部分 函数 1. 了解映射:fAB的概念 注意： （1）映射可以是多对一，也可以是一对一的对应，但不能是一对多的对应； （2）A中元素在B中必须都有象且唯一； （3）B中元素在A中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一 2. 函数:fAB是特殊的映射 特殊在定义域A和值域C都是非空数集！注意值域CB 函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定， 也就是说，确定一个函数，只需确定函数的定义域和对应法则 3. 求函数定义域的常用方法: （1）偶次根式的被开方数非负；分式的分母不能为零；对数logax中0 x ，0a 且1a ； 三角形中0A, 最大角3，最小角3等等 （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围注意单位 注：定义域要用集合或区间表示，不能用不等式表示. 4. 求函数值域（最值）的方法: 基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数形结合；几何意义等 5. 指数函数 xf xa0,1aa且的反函数是 1logafxx0,1aa且， 反之亦然它们的定义域与值域互换，图象关于直线 yx 对称. 6. 函数的奇偶性: （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！ 为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，但要注意定义域的变化，如2( )1xxf xx） ： 直接利用奇偶性定义判断： 利用奇偶性定义的等价形式： 0f xfx或 10fxf xf x 如：奇函数2lg1yxx ，11xxaya0,1aa且的判断 （3）函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； - 5 - 高中数学知识点整理 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 若 f x为偶函数，则 f xfx，此性质常用于根据单调性解不等式 若 f x为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有 00f，常用此性质解题，但要注意： 00f是 f x为奇函数的既不充分也不必要条件 7. 函数的单调性： （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： 在解答题中常用： 定义法:（取值作差变形定号） ； 导数法:（在区间, a b内，若总有 0fx ，则 f x为增函数； 反之，若 f x在区间, a b内为增函数，则 0fx . 请注意两者的区别：前者不含等号，后者含等号. 选择填空题还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意byaxx型函数的图象和单调性在解题中的运用 （, a b同号时，对勾函数；, a b异号时，在0,0上分别单调） 复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减. 如:函数20.5log2yxx的单调递增区间是？(答： （1,2）)关注定义域 函数sin23yx的单调递增区间是？（应首先将x的系数化为正数） 答：511(,),1212kkkZ. （2）特别提醒：求单调区间时要注意，一是勿忘定义域；二是不能用不等式表示；三是单调区间尽可能包括端点，但由导数求得的单调区间一律为开区间 （3）注意函数单调性与奇偶性的应用： 比较大小；解不等式；求参数范围 8. 常见的图象变换： （1）平移变换：( )f x ()f xa或 ( )f xa； 函数yf xa)0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿x轴左（右）平移a个单位得到的；函数 xfy a)0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿y轴向上（下）平移a个单位得到的； （2）伸缩变换：( )f x ()f ax或 ( )af x； - 6 - 高中数学知识点整理 函数 axfy )0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 a1倍得到的；函数 xafy )0(a的图象是把函数 xfy 的图象沿y轴 伸缩为原来的a倍得到的. *9. 函数的对称性: （1）一个函数本身的性质：若f axf bx对任意x恒成立，则函数 f x的图象关于直线2abx轴对称；若0f axf bx对任意x恒成立， ，则 f x的图象关于点,02ab中心对称 （2）两个函数的关系：若 f x与 g x关于直线xa对称，则 2g xfax；若 f x与 g x关于点,0a中心对称，则0f axg ax （3）特别关注形如axbycxd的函数，其图象是双曲线，其两渐近线分别是直线dxc (由分母为零确定 )和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(, )d ac c （4）如何画出|( )|f x的图象？如何画出(|)fx的图象？ *10. 函数的周期性：对于函数 f x，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足 f xTf x，那么这个函数 f x就叫作周期函数 注意：周期函数的定义域一定是无界的； 定义在 R 上的常数函数也是周期函数，因而周期函数不一定有最小正周期； （1） 若( )f x图象有两条对称轴,()xa xb ab，则( )f x是周期函数， 且2|ab为一个周期； （2） 若( )f x图象有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab，则( )f x是周期函数， 且2|ab为一个周期； （3） 如果函数( )yf x的图象有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab， 则函数( )yf x必是周期函数，且4|ab为一个周期； （4）若0a ，且( )f x满足 xafxf，或1()( )f xaf x； 或1()( )f xaf x ；则均可得出 2a是( )f x的一个周期. - 7 - 高中数学知识点整理 11. 指数式、对数式：logaNaN，logloglogcacbba， loglogmnaanbbm， nmmnaa. 12. 指、对、幂函数：指数函数xya的图象分两类（0a 、0a ） ； 对数函数logayx的图象也分两类（1a 、01a） ； 幂函数yx的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象在同一坐标系中作出不同类型的幂函数 13. 指数、对数值的大小比较主要方法为： （1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法； （3）利用中间量（0 或 1） ； 14. 函数的应用:求解数学应用题，要特别注意：设（解答中涉及到的字母） ，定义域（实际 问题，注意单位） ，答（将所得的数学结果，回归到实际问题中去）. *15. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件 （如:函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题 求解抽象函数问题的常用方法是： （1）利用赋值法探究性质（如令x0 或 1，求出(0)f或(1)f；令yx或yx 或将 x 换成x，将 y 换成y 等） ； （2）利用函数的性质进行演绎探究（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等） ； （3）借鉴函数模型进行类比探究几类常见的抽象函数为 ： 正比例函数型：( )(0)f xkx k -()( )( )f xyf xf y； 幂函数型：2( )f xx -()( ) ( )f xyf x f y，( )( )( )xf xfyf y； 指数函数型：( )xf xa -()( ) ( )f xyf x f y，( )()( )f xf xyf y； 对数函数型：( )logaf xx -()( )( )f xyf xf y，( )( )( )xff xf yy； 三角函数型：( )tanf xx - ( )( )()1( ) ( )f xf yf xyf x f y 需要注意的是： 函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型， 它只能帮助我们思考问题，但不能作为推理、论证的依据 16. 高考试题中关于基本初等函数性质考查的基本类型： 函数是北京高考考查能力的重要素材， 以函数为基础与其它章节在知识交汇点命制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重 以选择题、填空题形式主要考查函数的基本概念、函数图象、函数性质（单调性、奇偶 - 8 - 高中数学知识点整理 性、周期性）等重要知识； 同时关注函数知识的应用，突出函数与方程的思想、数形结合的思想 例 1：对于函数: 1( )45f xxx，21( )log( )2xf xx，( )cos(2)cosf xxx， 判断如下两个命题的真假： 命题甲：( )f x在区间(1,2)上是增函数； 命题乙：( )f x在区间(0,)上恰有两个零点12,x x，且121x x . 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ D ） （A） （B） （C） （D） 例 2：如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面 11BB D D的直线，与正方体表面相交于MN， （1）设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是（ B ） （2）设BPx，四边形面积1D MBNSy，则函数( )yf x的图象大致是（ B ） 例 3：已知函数2,1,( )1,1,xax xf xaxx若1212,x xxxR，使得12()()f xf x成立， 则实数a的取值范围是( A ) （A）2a （B）2a （C）22a （D）2a或2a 第三部分 导数 1. 导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率（平均变化率的极限） A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O
