导数中的零点问题.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流导数中的零点问题【精品文档】第 21 页导数中的零点问题1已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；（）求函数的单调区间；（）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.2已知函数（）若的图像与直线相切，求（）若且函数的零点为, 设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数）3已知函数.（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围.4已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.5已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2） 若函数有最小值，记为，关于的方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.6已知函数 (， 为自然对数的底数).（）求函数的极值；（）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.7已知函数（为自然对数的底数）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围.8已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.9已知函数.（）讨论的单调性；（）是否存在实数，使得有三个相异零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.10已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.11已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.12（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围13已知函数在点处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）若经过点可以作出曲线的三条切线，求实数的取值范围14已知函数（1）若在处取极值，求在点处的切线方程；（2）当时，若有唯一的零点，求注表示不超过的最大整数，如参考数据： 15已知函数；（1）若，求证： 在上单调递增；（2）若，试讨论零点的个数.16已知函数，其中(I)当时，求曲线在点处的切线方程；()证明： 在区间上恰有2个零点参考答案1（）；（）当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为；（）【解析】【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f（x），再由两直线垂直的条件可得f（1）3，求出a的值；（2）求出f（x），对a讨论，由f（x）0和f（x）0进行求解，即判断出函数的单调区间；（3）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g（x），由g（x）0和g（x）0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围【详解】（）定义域，当，单减区间为当时令，单增区间为；令，单减区间为当时，单减区间当时, 减区间为；当时，增区间为，减区间为；令，令，；令，是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点在上有两个零点只须【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力2（1）（2）有两个不同的零点【解析】分析：（）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得（）因，故为减函数，结合可得的零点又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合利用零点存在定理得到有两个不同的零点详解：（）设切点，所以，故，从而又切点在函数上，所以即，故，解得， （）若且函数的零点为，因为，为上的减函数，故当时，因为，当时，；当时，则在上单调递增，上单调递减，则,所以在上单调递减当时，所以在区间上单调递增又，且；又， 所以函数在区间上存在一个零点， 在区间上存在一个零点综上，有两个不同的零点点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数3（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有2个零点的实数的取值范围.详解：（1） 当时，此时在单调递增； 当时，当时，恒成立，此时在单调递增；当时，令 在和上单调递增；在上单调递减； 综上：当时，在单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减； （2）当时，由（1）知，在单调递增，此时在区间上有一个零点，不符； 当时，在单调递增；，此时在区间上有一个零点，不符；当时，要使在内恰有两个零点，必须满足 在区间上恰有两个零点时，点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力4（1）（2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.【解析】分析：(1) 求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2，即可得到f（x）的解析式；(2) 令，设图象上一点，该处的切线, 又过点则 过作3条不同的切线，则方程有3个不同实根,进而构造，图象与轴有3个不同交点详解：（1），由题意可知，即（2），令，设图象上一点，该处的切线又过点则 过作3条不同的切线，则方程关于有3个不同实根令，图象与轴有3个不同交点（1）当，是单调函数，不可能有3个零点（2）当，或时，当时，所以在单调递减，单调递增，单调递减曲线与轴有个交点，应该满足，当，又，所以无解（3）当，或时，当时，在单调递减，单调递增，单调递减，应满足，当，又，无解，综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决.5（1）当时， 在上递减，当时， 在上递减，在上递增；（2）.【解析】试题分析：（1）函数求导得，分和两种情况讨论即可；（2）结合（1）中的单调性可得最值，即，令，求导得单调性得值域即可.试题解析：（1）， ，当时， ，知在上是递减的；当时， ，知在上是递减的，在上递增的.（2）由（1）知， ， ，即，方程，即，令，则，知在和是递增的， 是递减的，依题意得.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.6（1）见解析（2）的最大值为1.【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值，（2）先将无交点转化为方程在上没有实数解，转化为在上没有实数解，再利用导数研究取值范围，即得，即得的取值范围是，从中确定的最大值.试题解析：（） ，当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.当时，令，得， .所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极小值；当， 在处取得极小值，无极大值.（）当时， .直线与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： 在上没有实数解.当时，方程可化为，在上没有实数解.当时，方程化为.令，则有令，得，当变化时， 的变化情况如下表：-1-0+当时， ，同时当趋于时， 趋于，从而的取值范围为.所以当时，方程无实数解，解得的取值范围是.综上，得的最大值为1.7（1）；（2）；（3）或【解析】分析：（1）先求切点的坐标，再利用导数求切线的斜率，最后写出切线的方程.(2)先分离参数得到，再求函数的最小值，即得实数a的取值范围.(3)先令，再转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，利用导数和函数的图像分析得到a的取值范围.详解：（1），所以切线的斜率 . 又因为， 所以切线方程为， 所以切线方程为. （2）由得.当x=0时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.将变形得 令，所以 令，解得x1；令，解得x1. 从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增. 所以,当x=1时， 取得最小值e-1， 从而所求实数的取值范围是. （3）令当时，函数无零点； 当时，即令， 令，则 由题可知，当，或时，函数有一个函数零点点睛： 第（3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数的零点转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，这样问题经过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题.所以在解答数学难题时，注意数学转化思想的灵活运用.8（1）（2）3【解析】试题分析：（1）第（1）问 ，先把问题转化成的图象与的图象有两个交点，再利用导数求出 的单调性，通过图像分析得到a的取值范围.(2)第（2）问，先通过函数有两个极值点分析出函数g(x)的单调性，再通过图像研究得到它的零点个数.试题解析：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.又时，时，.又时，.综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.（2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根，（设）.由（1）知，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则 .令，则 ，所以函数在上单调递增，故，.又，；，所以函数恰有三个零点.点睛：对于零点问题的处理，一般利用图像法分析解答.先求出函数的单调性、奇偶性、周期性、端点的取值等情况，再画出函数的图像分析函数的零点的个数.本题第（2）问，就是利用这种方法处理的.9（）见解析.（）见解析.【解析】试题分析：（I）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（II）假设有三个相异零点，由（）的讨论可知，一定有且的极大值大于0，极小值小于0，则取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，换元后只需证明即可.试题解析：（）由题可知 .当，即时，令得，易知在上单调递减，在上单调递增.当时，令得或.当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（）不存在.理由如下：假设有三个相异零点.由（）的讨论，一定有且的极大值大于0，极小值小于0.已知取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，又 ，故存在使得，即存在使得.令，即存在满足.令，从而在上单调递增，所以，故不存在满足，与假设矛盾，从而不存在使得有三个相异零点.10(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f（x），对字母a分类讨论，由f（x）0和f（x）0进行求解，即判断出函数的单调区间；（2）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g（x），由g（x）0和g（x）0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围试题解析：（1）定义域为， ，当时，当时，由得，时，时，当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的减区间为，增区间为.（2）当时，令，得，在区间上，令，得递增区间为，令，得递减区间为，所以是在上唯一的极小值点，也是最小值点，所以，又因为在上有两个零点，所以只需，所以，即.11(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.试题解析：（1），令，故在上单调递增，则，因此，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；（2）当时，则函数在处取得最小值，当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得，若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意.若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意.若，则，设正数，则，与函数的最小值为矛盾，综上所述，即.12（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得再利用导数研究 单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2)先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论a的取法，根据整数解个数确定a满足条件，解得的范围试题解析：（1）设切点为，则 ，和相切，则 ，所以，即令，所以单增又因为，所以，存在唯一实数，使得，且所以只存在唯一实数，使成立，即存在唯一实数使得和相切（2）令，即，所以，令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，当时，当时，因为要求整数解，所以在时，所以有无穷多整数解，舍去；当时，又，所以两个整数解为0，1，即，所以，即，当时，因为在内大于或等于1，所以无整数解，舍去，综上，13（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义得到关于的方程组，解方程组求得后可得函数的解析式（2）设出切点，求导数后可得，即为切线的斜率，然后根据斜率公式可得，即若函数有三条切线，则函数有三个不同的零点，根据函数的极值可得所求范围试题解析；（1），根据题意得，解得，函数的解析式为.（2）由（1）得 设切点为，则， ，故切线的斜率为，由题意得，即， 过点可作曲线的三条切线方程有三个不同的实数解， 函数有三个不同的零点 由于，当时， 单调递增， 当时， 单调递减，当时， 单调递增.当时， 有极大值，且极大值为；当时， 有极小值，且极小值为函数有3个零点，解得实数的取值范围是点睛：利用导数研究方程根的方法（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体形状，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现（2）研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题处理，解题时仍要利用数形结合求解14（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）求导，利用对应导函数为0求出值，再利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解.试题解析：（1）因为，所以，解得，则，即在点处的切线方程为，即；（2）， 令，则由，可得在上单调递减，在上单调递增由于，故时， 又，故在上有唯一零点，设为，从而可知在上单调递减，在上单调递增由于有唯一零点，故且 又.令，可知在上单调递增由于， ，故方程的唯一零点，故15（1）见解析（2）当时， 没有零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零点.【解析】试题分析：（1）时， ， ，要证在上单调递增，只要证： 对恒成立，只需证明（当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号），即可证明；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分 讨论，即可判断函数零点的个数试题解析：（1）时， ， ，要证在上单调递增，只要证： 对恒成立，令，则，当时， ，当时， ，故在上单调递减，在上单调递增，所以，即（当且仅当时等号成立），令，则，当时， ，当时， ，故在（0，1）上单调递减，在上单调递增，所以，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时等号成立）在上单调递增.（2）由有，显然是增函数，令，得， ， ，则时， ， 时， ，在上是减函数，在上是增函数，有极小值， ，当时， ， ， 有一个零点1；时， ， ， 没有零点；当时， ， ，又，又对于函数， 时，当时， ，即，令，则，又， ，有两个零点，综上，当时， 没有零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零点.【点睛】本题题考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大16() () 见解析【解析】试题分析：（）求出在的导数即可得切线的斜率，也就得到在处切线方程（）先研究函数的单调性，其导数为，当时，利用三角函数的符号可以判断出，当时，导数有唯一的零点且为函数的极大值点结合， 可以判断在存在一个零点，在上存在一个零点，故在上存在两个不同的零点解析：（）当时， ，所以，故，又，故曲线在的切线方程为 当时，因为，故，所以在是单调增函数；当时， ，令，此方程有唯一解当时， ， 在上是单调增函数；当时， ， 在上是单调减函数；因为的图像是不间断的，所以在上是单调增函数，在上是单调减函数 又， ，而，故，根据零点存在定理和的单调性可知在存在一个零点，在上存在一个零点，故在上存在两个不同的零点点睛：导数背景下函数的零点个数的讨论不仅要考虑函数的极值的符号，还要结合零点存在定理去判断一般地，我们在一个单调区间中要找到这样的，使得