全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广【精品文档】第 7 页目 录摘 要1关键词1Abstract1Key Words1引 言1.全概率与贝叶斯公式11.1全概率公式11.2贝叶斯公式42.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示62.1推广全概率公式的矩阵表示62.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示72.3 应用例证8参考文献10全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广摘 要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，在实际中有广泛的应用本文对“全概率公式及贝叶斯公式”进行仔细分析，用例子说明了它们的用法另外在推广方面，给出了事件发生概率的矩阵表达式关键词：全概率公式；贝叶斯公式； 应用；推广The Application and Promotion of Total Probability Formula and Bayes FormulaAbstract：Total probability formula and bayes formula are two important formulas，they have wide application in reality This article carries on the careful analysis to the total probability formula and the Baye formula， explained their usage with the example Moreover ，in the their probability， the matrix expression of the probability of events also have been givenKey words：Total Probability Formula ；Bayes Formula； Application；Promotion引言一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成如：有个袋子，各装有白球和黑球，任意选取一袋，取出一球，则取出一球为白球这一事件，可由从第一袋中取出一球为白球，从第二袋中取出一球为白球，从第袋中取出一球为白球任意复合而成对这类问题从概率上表达时发生可能性之间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式1.全概率与贝叶斯公式1.1全概率公式1.1.1 公式简述全概率公式的内容简述如下：设事件(或)为样本空间的一个分割或完全事件组，即满足：(1)(2)(或)则对中任一事件，有或 （1.1.1）证明 ，且互不相容 所以又由可加性可得再将代入上式即得（1.1.1）式分析 (1)从形式上看，公式的右边比左边复杂，实质上，定理中给出的条件任一事件往往很复杂，要直接求出的概率很难若能把事件分解为许多简单的，互不相容的事件之和，且这些事件的概率可求，则求出就简单多了从上面的证明看，也可以看出这个思路所以，应用全概率公式解实际问题关键是从已知条件中找到有限个或可列个事件构成一个分割，并且公式中一些事件的概率和条件概率能从题设中求得它体现了各个击破，分而食之的解题策略，有众多应用从下面几个例子中可以加深对它的了解(2)全概率公式的最简单形式：假如，即构成样本空间的一个分割，则(3)条件为将本空间的一个分割，可改成互不相容，且，则（1.1.1）式仍然成立1.1.2 应用例证例1 (摸奖模型)设在张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少?解设表示第人摸到奖券，因为是否发生会影响到发生的概率，有同时是两个概率大于的事件，可由全概率公式得同理可得这说明，抽奖时，不论先后，中奖机会是均等的例2甲文具盒内有支蓝色笔和支黑色笔，乙文具盒内也支蓝色笔和支黑色笔现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙具盒中任取两支求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率解以记为从甲文具盒中取出放入乙文具盒中的黑色笔数，以记最后取出的两支笔都为黑色笔，则而因此分析 是构成样本空间的一个分割，这是应用全概率公式的典型题型总结(1) 由上述两可以总结出应用全概率公式问题的一般解题思路 确定所求事件，并依题意将样本空间进行正确分割； 列出已知数据，在例1中求事件发生概率时，将，条件概率写出或求出，一般使用古典概率的方法 将已知数据代入全概率公式将与对应的条件概率用乘法公式后相加，即求出(2) 全概率公式中的称为全概率，它的本质是一种平均概率因为事件的出现概率依赖于各个事件在各个事件下，事件的条件概率是不同的概率是这些条件概率的加权平均值这样可以更好的记忆全概率公式1.2贝叶斯公式1.2.1公式简述在乘法公式和全概率公式的基础上可推得一个很著名的公式，这就是贝叶斯公式。简述如下：在全概率公式相同的条件下，有故 再把全概率公式代入，即有这个公式称为贝叶斯公式1.2.2要点 对贝叶斯公式，假定是导致试验结果的原因，称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性的大小，般在试验前已确定条件概率称为后验概率，它反映了试验后对各种原因发生的可能性的大小贝叶斯公式主要用于由结果的发生来探求导致这一结果的各种原因发生地可能性大小即专门用于计算后验概率的通过的发生这个新信息，来对的概率作出的修正，下面的例子可以很好地说明这一点1.2.3 应用例证例3 飞机坠落在甲、乙、丙3个区域之一，营救部门判断其概率分别为用直升机搜索这些地域，若有残骸，发现的概率分别为，若已用直升机搜索过甲区域，在这种情况下，试计算飞机落入甲、乙、丙3个区域的概率.解以分别记飞机落入甲、乙、丙3个区域，依题意得再以C记用直升机搜索过甲区域未发现残骸，则P(C)= =，从而所求概率为分析 得到部分信息后对先验概率重做评估是贝叶斯公式的典型应用例4 甲袋中有5只白球，5只黑球，乙袋和丙袋为空袋，现从甲袋中任取5球放入乙袋.(1) 最后取出的是白球的概率(2) 如果最后取出的是白球，那么从一开始从甲袋中取出的都是白球的概率.解设=从甲袋取出的5只球中有i只白球i=0，1，2，3，4，5， =从乙袋中取出3只球中有j只白球j=0，1，2，3，C=最后从丙袋中取出1球为白球.(1) P()=， P()=， P()=， P()=， =， =.构成的一个分割，故=+0+0+0=，=+0+0= ，从而(3) 如发生，则一定发生，从而C一定发生，所以=1，2.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示2.1.推广全概率公式的矩阵表示 2.1.1全概率公式的推广在第一章对全概率公式的条件和结论作如下改动，就可以得到推广的全概率公式.设n 个事件互不相容， 且，m个事件中的 (i = 1 ，2 ， ，m) 只能与事件之一同时发生，(i=1，2，m)则有P ()=(i=1，2，m)2.1.2 推广的全概率公式的矩阵表示因为 P ()=(i=1，2，m)即 按矩阵的乘法，有2.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示设事件互不相容，且，在事件中的(i = 1 ，2 ， ，m) 只能与事件之一同时发生，则在事件(i=1，2，m)发生的条件下，事件(j=1，2，n)发生的概率将所有的排成如下矩阵，则由矩阵的运算，有即 =容易证明2.3 应用例证例5 某厂有号码1、2、3的箱子个数分别为其中1号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，2号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，3号箱子装有一等品件，二等品件，三等品件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解设：“取出的一件是j号箱的”(j=1，2，3)，且A: 取出的一件是一等品B: 取出的一件是二等品C: 取出的一件是三等品由条件知P()=(j=1，2，3) 例6 炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0. 1 、0. 3 、0. 6 ，若这三种弹片击中坦克，则其击穿坦克的概率依次分别为0. 9 、0. 2 、0. 05 ，已知坦克被弹片击穿，求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率解 设B：“坦克被弹片击穿”:“大弹片击中坦克”，则=0.1:“中弹片击中坦克”，则=0.3:“小弹片击中坦克”，则=0.6 且=0.9， =0.2， =0.05P(B)P()P()P()0.1×0.90.3×0.20.6×0.050.18所以 参考文献:1 峁诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2005.2 李贤平，沈崇圣，陈子腾.概率论与数理统计M.上海: 复旦大学出版社，2003.3 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M. 北京：高等教育出版社，2003.4 庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用J.辽宁省交通高等专科学校学报:自然科学版，2003.5 周福伟,刘立民.数学分析(第一版) M.天津：南开大学出版社,1986.