平面向量复习基本知识点及结论总结.doc
平面向量复习1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定：零向量和任何向量平行。 提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=e1e2。4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角。当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影为或，它是一个实数，但不一定大于0。（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。6、向量的运算：（1）几何运算：向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。（2）坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值（答：或）；向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）；两点间的距离：若，则。7、向量的运算律：（1）交换律：，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即。8、向量平行(共线)的充要条件：0。9、向量垂直的充要条件： .10.线段的定比分点：（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线. 12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），（3）在中，若，重心坐标。为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（4）向量中三终点共线存在实数使得且. 1P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（ ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2下列命题中，一定正确的是A. B.若，则 C. D. 3在四边形中，则四边形 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形4若向量=(cos,sin)，=(cos,sin)，则a与一定满足（ ） A与的夹角等于 B()() C D5已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则 （ ）A. B.() C.() D.()()已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则 （ ）A B () C () D ()()6平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点（2，1），（1，3），若点满足其中01，且，则点的轨迹方程为 A.（12） B. （12） C. D. 7若，且，则向量与的夹角为 ( )A 30° B 60° C 120° D 150°8已知向量（，），（，），与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.随的值而定9在ABC中，已知的值为（ ） A2 B2 C±4 D±210点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|个单位.设开始时点P的坐标为（10，10），则5秒后点P的坐标为( )A （2，4） B （10，5） C （30，25） D （5，10）11.设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于 ( ）A 2 B C 3 D 12为了得到函数ysin(2x-)的图像,可以将函数ycos2x的图像 ( )A 向右平移个单位长度 B 向左平移个单位长度C 向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13已知向量，且A、B、C三点共线，则k=_ _ 14直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是_15已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y24x运动，则使取得最小值的点P的坐标是 16下列命题中： 存在唯一的实数，使得； 为单位向量，且，则=±|·； 与共线，与共线，则与共线；若 其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应有证明过程或演算步骤）17已知ABC中,C120°，c=7,a+b=8,求的值。18设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标 19已知M(1+cos2x，1)，N(1，sin2x+a)(x，aR，a是常数)，且y =· (O是坐标原点)(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)； (2)若x0，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到20在平面直角坐标系中,已知，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上。若。求(1)数列的通项 (2)数列的前n项和21已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），()。(1)若，求角的值； (2)若=1，求的值.22已知向量 (1); (2)若 （3）求函数的最小值。5
