数理统计习题.doc

如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数理统计习题【精品文档】第 21 页一、数理统计基础知识1. 在一本书上我们随机地检查了10页，发现每页上的错误数为4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算样本均值、样本方差和样本标准差。解 样本均值 样本方差， 样本标准差2. 设有容量为的样本，它的样本均值为，样本标准差为，样本极差为，样本中位数为。现对样本中每一个观测值施行如下变化如此得到样本，试写出样本的均值、标准差、极差和中位数。解不妨设样本为，样本为，且，因而.3. 设是来自的样本，试求和。解 均匀分布的均值和方差分别为0和，该样本的容量为，因而得4.设是来自的样本，试求下列概率(1)；(2) 解(1)(2) 。5.在总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值落在内的概率不小于0.95，则至少为多少？解样本均值 ，从而按题意可建立如下不等式即，所有，查表，故或，即样本量至少为4。6. 设是来自的样本，经计算，试求。解因为，用表示服从的随机变量的分布函数，注意到分布是对称的，故利用统计软件可计算上式，譬如，使用MATLAB软件在命令行中输入tcdf(1.0405，15)则给出0.8427，直接输入2* tcdf(1.0405，15)-1则给出0.6854。这里的就表示自由度为的分布在处的分布函数。于是有7.设是来自的样本，试确定最小的常数，使得对任意的，有。解由于，所以的值依赖于，它是的函数，记为，于是，其导函数为其中表示的密度函数，由于，故，从而，这说明，为减函数，并在处取得最大值，即于是，只要，即就保证对任意的，有。最大的常数为。8.设是来自的样本，试求的分布。解由条件，故又，且与服从二元正态分布，故与独立，于是9.设总体为，为样本，试求常数，使得解由上题，由于取值于，故由题目所给要求有，从而于是，这给出。10.设是来自的样本，则，试求常数使得服从分布，并指出分布的自由度。解 由条件：，且，相互独立，因而，故。这说明当时，自由度为。二、点估计11.从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计。解 样本均值，样本标准差因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0652.12. 设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试对参数给出矩估计。解 由于，即,而样本均值，故的矩估计为。13.设总体密度函数如下是样本，试求未知参数的矩估计。（1）；（2）；（3）；（4）。解 (1) 总体均值，即，故参数的矩估计为。 （2）总体均值，所以，从而参数的矩估计(3) 由，可得，由此，参数的矩估计。（4）先计算总体均值与方差由此可以推出，从而参数，的矩估计为，。14.甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a个错字，乙发现b个错字，其中共同发现的错字有c个，试用矩估计法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数。解 （1）设该书样稿中总错字的个数为，甲校对员识别出错字的概率为，乙校对员识别出的错字的概率为，由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错别字能被甲、乙同时识别的概率为，根据频率替换思想有。由独立性可得矩法方程，解之得。（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即。譬如，如设，则该书样稿中错字总数的矩法估计为，而未被发现的错字个数的矩法估计为个。15.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。 （1）； （2）已故，。解 （1）似然函数为，其对数试然函数为。将关于求异并令其为0即得到似然方程。解之得 。由于 ，所以是的最大似然估计 （2）似然函数为，其对数似然函数为将关于求异并令其为0得到似然方程解之可得 。由于，这说明是的最大似然估计。16.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计。 （1），已知； （2）； (3)。解 （1）样本的似然函数为。要使达到最大，首先示性函数应为1，其次是尽可能大。由于，故是的单调增函数，所以的取值应仅可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于，由此给出的最大似然估计为。 （2）此处的似然函数为，。其对数似然函数为由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计为。将关于求异并令其为0得到关于的似然估计方程 解之 。（3）设有样本，其似然函数为由于是关于的单调递减函数，要使达到最大，应尽可能小，但由于限制可以得到，这说明不能小与，因而的最大似然估计为。17.设总体概率函数如下，是样本，试求未知参数的最大似然估计 (1)；（2）; (3)。解 （1）不难写出似然函数为。对数似然函数为。将之关于求异并令其为0得到似然估计方程，解之可得 。而，故是的最大似然估计。（2）此处的似然函数为 。它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是，因而的最大似然估计可取中的任意值。（3）由条件，似然函数为；其次要尽量小，综上可知，的最大似然估计应为，的最大似然估计应为。18.在遗传学研究中经常要截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为，对数似然函数为。将对数似然函数关于求异并令其为0得到似然方程，解之得。后一个等式是由于，所以，代入上式即得。19.总体，其中是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值。 （1）证明是参数的无偏估计和相合估计 （2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？解 （1）总体，则，从而于是，这说明是参数的无偏估计。进一步，。这就证明了也是的相合估计。 （2）似然函数为，显然是的减函数，且的取值范围为，因而的最大似然估计为。下求的均值与方差，由于的密度函数为 故 ，从而，这说明不是的无偏估计，而是的渐近无偏估计。又，因而是的相合估计。20. 设是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？ （1）； （2）； (3) ；解 先求三个统计量的数学期望，这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为，则不难看出，从而的有效性最差。三、区间估计21.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在，现抽取了一个容量为的样本，测定其强度，算得样本均值为，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间。解这是方差已知时正态均值的区间估计问题。有题设条件，查表知，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为。22.总体，已知，问样本容量取多大时才能保证的置信水平为的置信区间的长度不大于。解由已知条件得的0.95的置信区间为其区间长度为，若使，只需。由于，故，即样本容量至少取时，才能保证的置信水平为95%的置信区间的长度不大于。23. 0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体的样本，已知服从正态分布。 （1）求的置信水平为95%的置信区间； （2）求的数学期望的置信水平为95%的置信区间。解 （1）将数据进行对数变换，得到的样本值为。它可看作是来自正态总体的样本，其样本均值为，由于已知，因此，的置信水平为95%的置信区间为。 （2）由于是的严增函数，利用（1）的结果，可算得的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。24 用一个仪表测量某一物体量9次，得样本均值，样本标准差。 （1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间； （2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间。解 （1）此处，查表知，的置信区间为从而的置信水平为0.95的置信区间。（2） 当未知时，的置信区间为。查表得，因而的置信水平为0.99的置信区间为25.已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 。（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间（2）如已知，求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间;（3）求的置信水平为95%的置信区间。解 （1）经计算得，在未知时，的置信水平为95%的置信区间为。 查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为（2） 在时，的置信水平为95%的置信区间为查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为（3）此处，取，查表得，因而的置信水平为95%的置信区间为由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为。26在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格率的置信水平为0.90的置信区间。 解 此处较大，可用正态分布求其近似置信区间。不合格品率的近似置信区间为。 此处，因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为27. 设是来自泊松分布的样本，证明：当样本量较大时，的近似置信区间为证 由中心极限定理知，当样本量较大时，样本均值，因而，此可作为枢轴量，对给定，利用标准正态分布的分为数可得 。 括号里的事件等价于，因而得。其左侧的二元多项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式，故此二次曲线与轴有两个交点，记为和，则有，其中和可表示为这就证明了的近似置信区间为 事实上，上述近似区间是在比较大时使用的，此时有。于是，的近似置信区间可进一步简化为28.某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商量过去的一些销售量，数据如下：月销售量910111213141516月分数1613129421试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间。解平均月销售量 ，此处 ，较大，利用上一题结果，平均月销售量的近似0.95的置信区间为若用较为精确的近似公式，所得置信区间为，二者相差不大。29.随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差，若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限。解 在正态分布下，对样本方差有，从而有，等价地，故标准差的0.95置信上限为30. 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为，试求的0.95置信区间。解 从题意可知，这里可以看作来自正态分布总体的容量为的样本标准差，由此可知，即。由于各试块的测量可认为相互独立的，故有，从而，即，故的置信区间为，现算出，对，查表知，代入可算得的0.95置信区间为。31.为研究某型号汽车轮胎的磨耗，随机选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶路程（单位：km）如下： 41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400假设这些数字来自正态总体，其中未知，求的置信水平0.95的单侧置信下限。解 先计算样本均值与样本标准差，利用未知场合的的单侧置信下限，这里，代入可得（km）。四、假设检验32.设是来自的样本，考虑如下假设检验问题 VS ，若检验由拒绝域为确定。（1）当时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率，最小应取多少？（3）证明：当时，。解 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为，这是因为在成立下，。而犯第二类错误的概率为，这是因为在成立下，。（2）若使犯第二类错误的概率满足即，或，查表得：，由此给出，因而最小应取34，才能使检验犯第二类错误的概率。（3）在样本量为时，检验犯第一类错误的概率为，当时，即。检验犯第二类错误的概率为当时，即。注：从这个例子可以看出，要使得与都趋向于0，必须才可实现，这一结论在一般场合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量很大。由于样本量很大在实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小。33.设是来自总体的样本，考虑如下检验问题 VS 取拒绝域为，求该检验犯两类错误的概率。解 则，于是犯两类错误的概率分别为讨论：这里已经很小了，但却很大，在样本量固定下，若要使更小则会导致更大，为说明这一点，我们试着将拒绝域改变为，则这时检验犯两类错误的概率分别为这一现象一般场合也是对的，即在样本量固定下，减小必导致增大，减小也会导致增大。34.设是来自正态总体的样本，考虑检验问题 VS ，拒绝域取，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在处犯第二类错误的概率。解 在为真条件下，因而由，得也就是，使用当时，检验的显著性水平为0.05。该检验在处犯第二类错误的概率为35有一批枪弹，出厂时，其初速（单位：m/s）。经过较长时间存储，取9进行测试，得样本值（单位：m/s）如下：914 920 910 934 953 945 912 924 940 。据经验，枪弹经存储后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（）？解 这是一个单侧假设检验问题，总体，待检验的原假设和备择假设分别为 VS 在显著性水平为下，检验的拒绝域为，若取，查表知。经计算得，此处值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判断这批枪弹的初速有显著降低。 关于本题说明一点：本题中的一对假设 VS 的检验与另一对假设 VS 的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如，由于使用该拒绝域的检验的势函数为。是的减函数，因而要求与要求等价，从而两个检验问题的拒绝域完全一致。该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证。36.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布。显著测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55？解 这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设和备择假设分别为 VS 。由于总体方差已知，故采用检验，检验的拒绝域为。当时，查表知，由已知条件，故，这里值没有拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55。37.由经验知某零件质量（单位：g），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6 。已知方差不变，问平均质量是否仍为15g（取）？解 本题归结为对方差已知时检验正态总体均值的问题，而且这是一个双侧假设检验问题，检验的拒绝域为。由，查表知。使用样本数据可算得，由于，故有充分理由拒绝假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g。 下面我们对该题的问题作些讨论。此类问题的回答与已知的有很大关系，本题中假设，得出的结论是拒绝原假设，若假定，则可算得，这样一来就应接受原假设，所以在实用中对标准差的假定要慎重，若无把握，可考虑设总体标准差未知，此时就应使用检验。本题中，若假定总体标准差未知，则可由样本算得，于是，而拒绝域为，故应接受原假设。38化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg，标准差为1.2kg。某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 102.1 100.5。设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常？解 这是一个双侧假设检验问题，总体，待检验的问题为 VS ，检验拒绝域为。若取，查表知。由样本据算得，此处值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常。39.设需要对某正态总体的均值进行假设检验 VS 。已知，取，若要求当中的时犯第二次错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量。解 由于本题中正态总体的方差已知，对于单侧假设检验问题，拒绝域的形式为，其中。若取显著性水平，查表得知，即检验的拒绝域为，于是，当时，检验犯第二类错误的概率应满足，即。由于是的减函数，因此只需满足即可，由此可解得。40.从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为：100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10设这批钢管内直径服从正态分布，试分别在下列条件下检验假设（）。 VS 。（1）已知（2）未知。解 （1）当已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为，若取，查表知，由样本数据计算如下结果，。检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为。（2）当未知时，应采用检验，拒绝域为，其中检验统计量，取显著性水平，查表得，由样本观测值计算，故接受原假设。41.假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考生全体考生的平均成绩为70分？解 本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用检验法，欲检验的一对建设为： VS 。拒绝域为，当显著水平为0.05时，。由已知条件，故检验统计量为因为，故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。注：这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差。由于与是正态分布的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与的值，等价于给出具体的样本数据。这一现象会在很多场合里出现。42.一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的小学学生平均每周看8h电视。”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字。为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间=6.5h，样本标准差为=2h。问是否可以认为这位校长的看法是对的（取=0.05）？解由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为 VS 若取=0.05，则，拒绝域为，由样本观测值计算得：因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的。43.设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为=11.2cm，样本标准差=2.6cm，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm（取=0.05）？解：本题与上题类似，只是这里的原假设和备择假设为 VS 拒绝域为，当取=0.05时，检验统计量值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm。44.考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地抽取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg）为0.81.60.90.81.20.40.71.01.21.1设鱼的含汞量服从正态分布，试检验假设 VS （取=0.10）。解这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题，检验的拒绝域为。当=0.10时，查表知，由样本观测值计算得到故在显著性水平0.1下接受原假设。45.如果一个矩形的宽度与长度的比，这样的矩形称为黄金矩形（看上去很舒服）。下面列车某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值。0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668 0.6110.6060.6090.5530.5700.8440.5760.9330.630设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为，试检验假设（去） VS 。解这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，故拒绝域为，若去显著性水平，查表知，经计算，因此，检验统计量由于值落入拒绝域内，因此在显著性水平下拒绝原假设。