上海市进才中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题沪教版.doc

第一题第二题第三题总分1718192021学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 内 不 要 答 题 上海市进才中学2013学年第一学期期终考试高二数学试卷一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1计算： 。 2. 已经抛物线方程，则其准线方程为 。3. 若，则 。4.已知， 则在上的投影为 。5若，则化简后的最后结果等于_。6已知向量，若不超过5，则的取值范围是 。7若点平分椭圆的一条弦，则该弦所在的直线方程为 。（结果写成一般式）8在中，则面积等于 。9已知，则直线的倾斜角的取值范围是 。 A1 O A2 A0 A201310直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 。11如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为 。12在平面上有一系列的点，对于所有正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆又彼此外切，且。则等于 。 二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13. 已知两条直线，则下列说法正确的是 ( )（A） 与一定相交 （B） 与一定平行 （C） 与一定相交或平行 （D）以上说法都不对 14已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有 （ ）（A）0条   （B）1条 （C）2条 （D）3条15已知方程，则它所表示的曲线的焦点坐标为 （ ）（A） （B） （C） （D）16直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若 (，为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17（满分8分）在中，已知，且中有一个内角为直角,求实数的值。18（满分8分，每小题各4分）已知动圆过定点，且与定直线相切； （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段的长。19（满分10分，第1小题6分，第2小题4分）ABOPB2B3B4B1A2A3A4A1圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑。（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；（2）求支柱A2B2的高度(精确到0.01米)。20（满分10分，第1小题4分，第2小题6分）已知椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点,两点（,不是左右顶点），且以线段为直径的圆过椭圆左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。 密 封 线 内 不 要 答 题 21（满分16分，本题有3个小题第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）如图，已知双曲线：，曲线：是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；（3）求证：圆内的点都不是“型点”学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 内 不 要 答 题 上海市进才中学2013学年第一学期期终考试（时间90分钟，满分100分）高二数学试卷（2014年1月）第一题第二题第三题总分1718192021一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1计算： 1000 , 2. 已经抛物线方程，则其准线方程为_。3. 若，则 4.已知， 则在上的投影为_。5若，则化简后的最后结果等于_6_。6已知向量，若不超过5，则的取值范围是。7若点平分椭圆的一条弦，则该弦所在直线的方程为。（结果写成一般式）8在中，则面积等于。9.已知，则直线的倾斜角的取值范围是。 A1 O A2 A0 A201310. 直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为。11如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为。12在平面上有一系列的点，对于所有正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆又彼此外切，且。则等于 。 二、选择题（每小题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13. 已知两条直线，则下列说法正确的是 ( D )（A） 与一定相交 （B） 与一定平行 （C） 与一定相交或平行 （D）以上说法都不对 14已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有 （ C ） （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条15已知方程，则它所表示的曲线的焦点坐标为 （ C ）（A）（B）（C） （D）16直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若 (，为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是 （ B ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（共5小题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17. （8分）在中，已知，且中有一个内角为直角,求实数的值。解：(1)若即故,从而解得;  (2)若即,也就是,而故,解得；      (3)若即,也就是而,故,解得综合上面讨论可知,或或。18（满分8分，每小题各4分）已知动圆过定点，且与定直线相切； （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线相交于、两点，求线段的长；解：（1）因为动圆过定点，且与定直线相切，所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，所以 圆心的轨迹方程为 -4分（2）由题知，直线的方程为 -5分所以解得： -6分（或用弦长公式或用定义均可），-8分 19（满分10分）ABOPB2B3B4B1A2A3A4A1圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑。（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；（2）求支柱A2B2的高度(精确到0.01米)。解：（1）以为原点，AB方向为轴方向建立坐标系。 则圆心在轴，设圆心坐标。有，得，所以，圆方程为；（2）将代入圆方程，得：= A2B2米。20. 已知椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线的顶点为焦点。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点,两点（,不是左右顶点），且以线段为直径的圆过椭圆左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）；（2）设，联立方程组，得。又因为以为直径的圆过点，所以,即，整理得，所以或且满足，若，则直线恒过定点，不合题意；若，则直线恒过定点。21（本题满分16分）本题有3个小题第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分如图，已知双曲线：，曲线：是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；（3）求证：圆内的点都不是“型点”解：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于， 与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须  故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则，直线与圆内部有交点，故化简得，。若直线与曲线C1有交点，则，化简得，。由得，  但此时，因为，即式不成立；当时，式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点” 10