2020年高考文科数学全国卷1试卷试题真题含答案.docx

-在-此-卷-上-答-题-无-效-绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.0B.1C.D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.4.设为正方形的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A.B.C.D.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（）A.B.C.D.6.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.47.设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A.B.C.D.8.设，则（）A.B.C.D.9.执行右面的程序框图，则输出的（）A.17B.19C.21D.2310.设是等比数列，且，则（）A.12B.24C.30D.3211.设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（）A.B.C.D.12.已知，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，则球的表面积为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若满足约束条件，则的最大值为_.14.设向量，若，则_.15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.16.数列满足，前16项和为540，则=_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.（12分）的内角的对边分别为，已知.（1）若，求的面积；（2）若，求.-在-此-卷-上-答-题-无-效-19.（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，.毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _（1）证明：平面平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积.20.（12分）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.21.（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围。（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标.23.选修45：不等式选讲（10分）已知函数.（1） 画出的图像；（2）求不等式的解集.2020年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷文科数学答案解析一、选择题1【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【考点】有关集合的问题2【答案】C【解析】先根据将化简，再根据向量模的计算公式即可求出因为，所以故选：C【考点】向量的模的计算公式的应用3【答案】C【解析】设，利用得到关于方程，解方程即可得到答案.如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.【考点】正四棱锥的概念及其有关计算4【答案】A【解析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.如图，从5个点中任取3个有共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.故选：A【考点】古典概型的概率计算问题5【答案】D【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.故选：D.【考点】函数模型的选择6【答案】B【解析】根据直线和圆心与点连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为.故选：B.【考点】简单几何性质，几何法求弦长7【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【考点】三角函数的性质及转化能力，三角函数周期公式8【答案】B【解析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到，即，进而求得，得到结果.由可得，所以，所以有，故选：B.【考点】有关指对式的运算的问题9【答案】C【解析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足的最小正奇数，根据等差数列求和公式即可求出依据程序框图的算法功能可知，输出的是满足的最小正奇数，因为，解得，所以输出的故选：C.【考点】程序框图的算法功能的理解，等差数列前项和公式的应用10【答案】D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.设等比数列的公比为，则，因此，.故选：D.【考点】等比数列基本量的计算11【答案】B【解析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以.故选：B【考点】双曲线中焦点三角面积的计算问题12【答案】A【解析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理可得，根据圆截面性质平面，球的表面积.故选：A【考点】球的表面积二、填空题13【答案】1【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.14【答案】5【解析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.由可得，又因为，所以，即，故答案为：5.【考点】有关向量的问题15【答案】【解析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【考点】导数的几何意义16【答案】7【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列前项和为，.故答案为：.【考点】数列的递推公式的应用，数列的并项求和三、解答题17【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择甲分厂加工件产品的总利润为元，所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；乙分厂加工件产品总利润为元，所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务【考点】古典概型的概率公式的应用，平均数的求法，根据平均值作出决策18【答案】（1）（2）【解析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；由余弦定理可得，的面积；（2）将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.，.【考点】余弦定理，三角恒等变换解三角形19【答案】（1）证明：为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，是圆内接正三角形，即，平面平面，平面平面；（2）【解析】（1）根据已知可得，进而有，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，解得，在等腰直角三角形中，在中，三棱锥的体积为.【考点】空间线、面位置关系20【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；当时，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，而时，当时，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.【考点】应用导数研究函数的问题21【答案】（1）（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点【解析】（1）由已知可得：，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，椭圆方程为：（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，即可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：，命题得证.证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点【考点】椭圆的简单性质及方程思想22【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.【解析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当时，曲线的参数方程化为（为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.当时，曲线的参数方程为（为参数），所以，曲线的参数方程化为（为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或（舍去），公共点的直角坐标为.【考点】参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化23【答案】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；因为，作出图象，如图所示：（2）作出函数的图象，根据图象即可解出将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得所以不等式的解集为【考点】画分段函数的图象，利用图象解不等式数学试卷第21页（共22页）数学试卷第22页（共22页）