2.4.1 函数的奇偶性同步练习--高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册.docx
第四节函数的奇偶性与简单的幂函数同步练习（课时1函数的奇偶性）一、基础巩固知识点1奇函数、偶函数的定义及图象特征1.下列说法中错误的是()A.奇函数的图象关于坐标原点对称B.图象关于y轴对称的函数是偶函数C.奇函数一定满足f(0)=0D.偶函数的图象不一定与y轴相交2.2022广东深圳平冈中学高一期末考试函数y=f(x)是奇函数,其图象上有一点(a,f(a),则函数f(x)的图象必过点()A.(a,f(-a) B.(-a,f(a)C.(-a,-f(a)D.(a,1f(a)3.已知f(x)=3ax2+bx-5a+5b是偶函数,且定义域为3a-1,a,则a+b=()A.17B.12C.14D.74. 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,在(0,+)上的图象如图所示,则使f(x)<0的x的取值集合为. 5.若函数f(x)是偶函数,且方程f(x)=0有4个实数根,则这4个实数根之和为;若函数g(x)是奇函数,且方程g(x)=0有2 023个实数根,则这2 023个实数根之和为. 知识点2奇、偶函数的判定与证明6.(多选)2022陕西西安中学高一上期末考试下列函数中,在(0,+)上单调递增且图象关于y轴对称的是()A.f(x)=x3B.f(x)=x2C.f(x)=x D.f(x)=|x|7.(多选)2022广东揭阳高一上期末考试已知函数f(x),g(x)均为定义在R上的奇函数,且f(x)0,g(x)0,则()A.f(x)+g(x)是奇函数B.f(x)-g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是偶函数D.f(x)|g(x)|是偶函数8.判断下列函数的奇偶性.(1) f(x)=x3-1x;(2) f(x)=(x-1)1+x1x;(3) f(x)=3x2+x23;(4)f(x)=2x,x<12,1x12x,x>1.9.2022福建泉州六中高一期中考试改编设函数f(x)对任意x,yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),证明:f(x)为奇函数.知识点3函数奇偶性的应用10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(1)+f(0)等于()A.5B.6C.-5D.-611.若奇函数f(x)在区间3,7上单调递增,且最小值为5,则f(x)在区间-7,-3上()A.单调递增且有最大值-5B.单调递增且有最小值-5C.单调递减且有最大值-5D.单调递减且有最小值-512.2022江苏扬州高一期中考试已知函数f(x)是偶函数,当0x1<x2时,f(x2)-f(x1)·(x2-x1)>0恒成立,设a=f(-12),b=f(-2),c=f(23),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c13.2022广东虎山中学高一期末考试设f(x)在R上是偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(-2)=0,则f(x)在区间(0,+)上单调;不等式xf(x)<0的解集为. 14. 2022云南昆明一中高一上期末考试已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2+2x.(1)求当x>0时,函数f(x)的解析式;(2)解不等式x3f(x)-f(-x)>0.15.2022江西临川一中高一上期末考试已知函数g(x)=x+b2x2+a,x(-1,1),从函数f(x)=x3-a+2在b-1,b+1上为奇函数,函数f(x)=ax+b(a>0)在1,2上的值域为2,4这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线处,并解答.(1)已知,求a,b的值; (2)证明:g(x)在(-1,1)上为增函数;(3)解关于t的不等式g(t-1)+g(2t)<0.二、能力提升1.已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常数),且f(-3)=5,则f(3)=()A.21B.-21C.26D.-262.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时, f(x)=x2-2x,则不等式f(x-1)>0的解集是()A.(-1,3)B.(-,-1)(3,+)C.(-,-1)(1,3)D.(-3,-1)(3,+)3.2022湖北名校联盟高三上联考已知f(x)是R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当x1,x20,1,且x1x2时,f(x1)f(x2)x1x2>0,则当 -3x1时,不等式x2f(x)>0的解集为()A.-1,0)(0,1B.-3,-2)(0,1C.(-2,-1)(0,1D.(-2,0)(0,14.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,2f(x)+3g(x)=6x2-2x+3,则()A.f(x)2-3g(x)是偶函数B.f(x)=-xC.g(x)=2x2+1D.g(2)=45.2022首师大附中高一上期中考试已知f(x)在R上是偶函数,且在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是,满足f(1-x)<f(x+3)的x的取值范围是. 6.设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,xR.(1)某同学认为,无论实数a取何值,f(x)都不可能是奇函数,该同学的观点正确吗?请说明你的理由.(2)若f(x)是偶函数,求实数a的值.(3)在(2)的情况下,f(x)m2-m恒成立,求实数m的取值范围.7.2022辽宁大连二十四中高一上期中考试定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意的x,y(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x(0,1)时,f(x)<0.(1)求证:函数f(x)是奇函数;(2)求证:f(x)在(-1,1)上是减函数;(3)若f(12)=-1,f(x)t2-2at-1对任意x-12,12,a-1,1恒成立,求实数t的取值范围.参考答案一、基础巩固1.C 2.C 3.C4.(-3,0)(3,+)5.006.BD 7.ABC8.(1)f(x)的定义域是(-,0)(0,+),关于原点对称,又f(-x)=(-x)3-1x=-(x3-1x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)因为f(x)的定义域为-1,1),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为-3,3,所以f(x)=0,则f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)因为函数f(x)的定义域为R,所以函数f(x)的定义域关于原点对称.当x>1时,-x<-1,所以f(-x)=(-2)×(-x)=2x=f(x);当-1x1时,f(x)=2;当x<-1时,-x>1,所以f(-x)=2×(-x)=-2x=f(x).综上,可知函数f(x)为偶函数.9.证明由题意,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.令x=y=0,则f(0)=2f(0),得f(0)=0.令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.10.C 11.A 12.A13.递减14.(1)由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,故f(-x)=-f(x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,故当x>0时, f(x)=-x2+2x.(2)由f(-x)=-f(x),得x3f(x)-f(-x)=x3f(x)+f(x)=2x3f(x),故x3f(x)-f(-x)>02x3f(x)>0x>0f(x)>0或x<0f(x)<0.如图所示,画出函数f(x)的图象.由图易得x>0f(x)>0的解集为(0,2),x<0f(x)<0的解集为(-2,0),故不等式x3f(x)-f(-x)>0的解集为(-2,0)(0,2).15.(1)方案一:选条件.f(x)在b-1,b+1上是奇函数,f(0)=-a+2=0,b-1+b+1=0,a=2,b=0.方案二:选条件.由a>0,得函数f(x)在1,2上单调递增,函数f(x)在1,2上的值域为a+b,2a+b,又函数f(x)在1,2上的值域为2,4,a+b=22a+b=4,解得a=2b=0.(2)由(1)得g(x)=x2x2+2,x(-1,1).任取x1,x2(-1,1),且-1<x1<x2<1,则g(x1)-g(x2)=x12x12+2x22x22+2=2(x2x1)(x1x21)(2x12+2)(2x22+2).-1<x1<x2<1,x2-x1>0,x1x2-1<0,g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),g(x)在(-1,1)上为增函数.(3)函数g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,且g(-x)=x2x2+2=-g(x),g(x)为奇函数.由g(t-1)+g(2t)<0,得g(2t)<g(1-t),又g(x)在(-1,1)上单调递增,1<2t<11<1t<12t<1t,解得0<t<13,故原不等式的解集为(0,13).二、能力提升1.B 2.B 3.B 4.ABC5.(13,23)(-1,+)6.(1)该同学的观点正确,理由如下:f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3.若f(x)为奇函数,则有f(a)+f(-a)=0,a2-2|a|+3=0.显然a2-2|a|+3=0无实数解,f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(x)=f(-x),x2-2|x-a|+3=x2-2|-x-a|+3,即ax=0,a=0,此时f(x)=x2-2|x|+3,是偶函数.实数a的值为0.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示:由图象,知f(x)min=2,m2-m2,解得-1m2.实数m的取值范围为-1,2.7.(1)令x=0,y=0,得f(0)+f(0)=f(0),f(0)=0.令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),函数f(x)是奇函数.(2)设-1<x1<x2<1,则-x1(-1,1),f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2x11x1x2),-1<x1<x2<1,x2-x1>0,|x1|<1,|x2|<1,|x1x2|<1,即1-x1x2>0,x2x11x1x2>0.又x2x11x1x2-1=(1+x1)(x21)1x1x2<0,0<x2x11x1x2<1,f(x2x11x1x2)<0,f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2).f(x)在(-1,1)上是减函数.(3)由(2)知函数f(x)在(-1,1)上是减函数,当x-12,12时,函数f(x)的最大值为f(-12)=-f(12)=1,f(x)t2-2at-1对任意x-12,12,a-1,1恒成立等价于1t2-2at-1对任意a-1,1恒成立,即t2-2at-20对任意a-1,1恒成立.设(g(a)=t22at2=2ta+t22),a-1,1,g(1)0g(1)0,即t22t20t2+2t20,解得t-1-3或t3+1,实数t的取值范围是(-,-1-31+3,+).学科网（北京）股份有限公司
