1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 学案--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学案一、学习目标1.能理解空间点、直线、平面的向量表示.2.能用空间向量研究直线、平面的平行关系.3.能用空间向量研究直线、平面的垂直关系.二、基础梳理1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示我们把向量称为点P的位置向量2. 空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，把a代入式得t，式和式都称为空间直线的向量表示式3. 空间中平面的向量表示式（1）平面ABC的向量表示式空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使xy我们把式称为空间平面ABC的向量表示式（2）平面的法向量如图，若直线l，取直线l的方向向量a，我们称a为平面的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合P|a·04. 线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u25.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，l，则lunu·n06.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n27. 空间中垂直关系的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面，的法向量分别为n1，n2，则线线垂直l1l2u1u2u1·u20线面垂直l1u1n1R，u1n1面面垂直n1n2n1·n20三、巩固练习1.若在空间直线上,则直线的一个方向向量为( )A.B.C.D.2.若直线,且的方向向量为,平面的法向量为,则的值为( )A.B.C.D.83.已知平面的一个法向量为（1，-2,2），平面的一个法向量为（-2,4，k），若，则实数k的值为( )A.5B.4C.-4D.-54.已知,平面的一个法向量为,点A不在平面内,则直线AB与平面的位置关系为( )A. B.C.与相交但不垂直D.（多选）5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )A.B.C.向量与的夹角是60°D. 与AC所成角的余弦值为6.下列命题中正确的是( )A.A,B,M,N是空间中的四点，若,不能构成空间向量的一组基底，则A,B,M,N四点共面B.已知为空间向量的一组基底，若，则也是空间向量的一组基底C.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线D.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为7.如图,已知正方体的棱长为a,E,F,G分别为棱AB,的中点,下列结论中正确的是( )A. 平面EFGB.平面C.异面直线EF与所成角的正切值为D. 四面体的体积等于8.如图，在长方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是( )A.当时，三点共线B.当时，C.当时，平面D.当时，平面答案以及解析1.答案：A解析：,与共线的非零向量都可以作为直线的方向向量,故选A.2.答案：C解析：与平面的法向量垂直.故,解得,故选C.3.答案：C解析：向量（1，-2,2）与向量（-2,4，k）共线，存在实数，使,.故选C.4.答案：D解析：因为,所以.又点A不在平面内,n为平面的一个法向量,所以,故选D.5.答案：AB解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以，则，所以A正确； ，所以B正确；显然为等边三角形，则.因为，且向量与的夹角是120°，所以与夹角是120°，所以C不正确；因为，所以，所以，所以D不正确.故选AB.6.答案：ABD解析：对于A,A,B,M,N是空间中的四点，若不能构成空间向量的一组基底，则共面，则A,B,M,N四点共面，故A正确；对于B，已知为空间向量的一组基底，所以,不共面，若，则,也不共面，故也是空间向量的一组基底，故B正确；对于C，因为,所以，所以或，故C错误；对于D，因为，所以直线l与平面所成角的正弦值为，故D正确.7.答案：BC解析：如图所示，取的中点H,的中点I,BC的中点M，连接HG并延长，连接MI并延长，记HG与MI的延长线交于点P，延长EF，记EF的反向延长线交MI的反向延长线于点Q,EF的延长线交HG的反向延长线于点N.连接BD,，因为与BG相交，故与平面EFG相交，故A不正确.,，平面，.,，平面，又,平面，故B正确.以D为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，异面直线EF与所成角的正切值为，故C正确.易知四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即，故D不正确.故选BC.8.答案：ACD解析：在长方体中，以D为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则，则，.对于A选项，当时，P为线段的中点，由长方体的结构特征可知P为体对角线的中点，因此P也为线段的中点，所以，P,D三点共线，故A正确；对于B选项，连接AC.当时，由，得，所以，故P为线段上靠近点的五等分点，所以，则，所以，所以与不垂直，故B错误；对于C选项，当时，.设平面的一个法向量为，则即令，则，所以.因为，所以，所以，所以，又平面，所以平面，故C正确；对于D选项，当时，所以，所以，所以，又，所以平面，故D正确.故选ACD.学科网（北京）股份有限公司
