惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案.pdf
高等数学下期末试题参考答案高等数学下期末试题参考答案一、单项选择题每题分，总计分一、单项选择题每题分，总计分 。1、fx(x0, y0)和fy(x0, y0)存在是函数f (x, y)在点(x0, y0)连续的 。A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、设u ln(x2 y2 z2)，则div(grad u) 。 A.1212；B.；C.；D.22222222222222x y zx y z(x y z )(x y z )3、设D是xoy面上以(1,1), (1,1), (1, 1)为顶点的三角形区域，D1是D中在第一象限的部分，则积分(x3y cos3xsin y)dDA.A.2cos3xsin yd； B.2x3yd； C.4(x3y cos3xsin y)d；D1D1D14、设为曲面x2 y2 R2(R 0)上的0 z 1部分，则ex2y2sin(x2 y2)dS 。A.0； B.ReRsin R2； C.4R；D.D.2ReRsin R25、 设二阶线性非齐次方程y p(x)y q(x)y f (x)有三个特解y1 x，y2 ex，y3 e2x，则其通解为 。 A.x C1ex C2e2x； B.C1x C2ex C3e2x；C.C.x C1(exe2x) C2(x ex)； D.C1(ex e2x) C2(e2x x)1二、填空题每题分，总计分二、填空题每题分，总计分 。1、-5；2、(1,2, 2)；3、(1e1)；6x14、；5、 y C8y1、函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)处取得极值，则常数a_。2、 假设曲面x2 2y2 3z2 21的切平面平行于平面x 4y 6z 25 0，则切点坐标为_。3、二重积分0dyyyexdx的值为_。1134、设空间立体所占闭区域为x y z 1, x 0, y 0，上任一点的体密度是(x, y, z) x y z，则此空间立体的质量为_。5、微分方程y y的通解为_。2x y三、计算题每题分，总计分三、计算题每题分，总计分 。1、 已知f (x, y, z) 2xy z2及点A(2, 1,1)、B(3,1, 1)， 求函数f (x, y, z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。2z2、设z f (x y, xy)具有连续的二阶偏导数，求。xy3、将函数f (x) 3展开成x的幂级数，并指出收敛域。22 x x4 、 设y y(x)满 足 方 程y3y 2y 2ex， 且 其 图 形 在 点(0,1)与 曲 线y x2 x 1相切，求函数y(x)。5、计算Lds，其中L是螺旋线x 8cost, y 8sint, z t对应0 t 2x2 y2 z2的弧段。四、计算题每题分，总计分四、计算题每题分，总计分 。123n1、设a 0，计算极限lim (23n)的值。naaaa2、计算zdv，其中由不等式z x2 y2及1 x2 y2 z2 4所确定。3、计算axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z2，其中为下半球面z a2 x2 y2的下侧，a为大于零的常数。4、将函数f (x) x (1 x 1)展开成以 2 为周期的傅立叶级数。5 、 设 函 数f (x)具 有 连 续 导 数 并 且 满 足f (1) 3， 计 算 曲 线 积 分22L(y f (x) x)dx (x f (x) y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1, 2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。五、此题分。五、此题分。(1)n对p 0，讨论级数的敛散性。n1n1n p一、单项选择题每题分，总计分一、单项选择题每题分，总计分 。1、；2、；3、；4、；5、二、填空题每题分，总计分二、填空题每题分，总计分 。x111、-5；2、(1,2, 2)；3、(1e1)；4、；5、 y C86y三、计算题每题分，总计分三、计算题每题分，总计分 。1、 已知f (x, y, z) 2xy z2及点A(2, 1,1)、B(3,1, 1)， 求函数f (x, y, z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。解：由条件得fff 2y, 2x, 2zxyz1 22AB 1, 2, 2 AB0 , cos, cos, cos3 33122 cos, cos, cos 333从而ffff10coscoscos=lxyzA(2,1,1)3A点 A 的梯度方向是l grad f所以方向导数的最大值是2y,2x,2zA2, 4, 2f22 42 2224 2 6l2z2、设z f (x y, xy)具有连续的二阶偏导数，求。xy解：z f1 yf2,xz f1 xf2yf1f22z zf yf y f212xyyxyyy ( f11 xf12) y( f21 xf22) f2 f11 (x y) f12 xyf22 f23、将函数f (x) 3展开成x的幂级数，并指出收敛域。22 x x3111112 x x21 x2 x1 x2 1 x/2解：nn1x(1)xn(1)n1n1xn2n022n0n0f (x) 收敛域为(1,1)。4 、 设y y(x)满 足 方 程y3y 2y 2ex， 且 其 图 形 在 点(0,1)与 曲 线y x2 x 1相切，求函数y(x)。解：由条件知y y(x)满足y(0) 1,y(0) 1由特征方程r23r 2 0 r11, r2 2,对应齐次方程的通解Y C1ex C2e2x设特解为y* Axex，其中 A 为待定常数，代入方程，得A 2 y* 2xex从而得通解y C1ex C2e2x 2xex,代入初始条件得C11,C2 0最后得y(x) (1 2x)ex5、计算ds，其中L是螺旋线x 8cost, y 8sint, z t对应0 t 2222x y zL的弧段。解：ds xt2 yt2 zt2dt 65dt2dsdt65t65arctan82t288x2 y2 z2020L658四、计算题每题分，总计分四、计算题每题分，总计分 。123n1、设a 0，计算极限lim (23n)的值。naaaa解：设s(x) nxn(1 x 1)，则原问题转化为求和函数在x n11处的值a而s(x) xnxn1n1xx x(xn) x(xn) x(xxn1) x 21 x(1 x)n1n1n1a 1 故所求值为s 2a(a 1)2、计算zdv，其中由不等式z x2 y2及1 x2 y2 z2 4所确定。2212zdv ddrcosr解：004sindr 2sincosdr3dr0142151sin2d2r420841423、计算axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z2，其中为下半球面z a2 x2 y2的下侧，a为大于零的常数。解：取xoy为xoy面上的圆盘x2 y2 a2，方向取上侧，则axdydz (z a)2dxdyx2 y2 z212axdydz (z a) dxdya122 axdydz (z a) dxdy axdydz (z a) dxdyaxoyxoy12(2z 3a)dv adxdyaDxy2a1223222 ddrcosr sind3aa aaa0032a111a4344cossindr dr aa4a3aa20224、将函数f (x) x (1 x 1)展开成以 2 为周期的傅立叶级数。解：所给函数在1,1上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以 2 为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在1,1内收敛于函数本身。2 (1)n1a0 2xdx 1，an 2xcosnxdx 2，bn 0 (n 1,2,)2n001112f (x) 22(1)n12cosnx(1 x 1)nn15 、 设 函 数f (x)具 有 连 续 导 数 并 且 满 足f (1) 3， 计 算 曲 线 积 分22L(y f (x) x)dx (x f (x) y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由(1, 2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。解：由条件有2x f (x) y yf2(x) x 2xf x2f fxy2 f 21f 2f2xx设z f1，则得z21z 2 fxx1 z 1Cx23x代入条件得C 0 f (x) 3x，从而原积分变为2223(y f (x) x)dx (x f (x) y)dy (9x y x)dx (3x y)dyLLL9x ydx 3x dy 9(3 x)x 3x dx 27x 12x dx 181123223223五、此题分。五、此题分。设D (x, y) x2 y21，u(x, y)与v(x, y)在D上具有一 阶连 续偏导数 ，uu vvF v(x, y)i u(x, y) j,G xyi xyj，且在D的边界曲线L正向上有u(x, y) 1,v(x, y) y，证明F Gd D证明：F Gd(uxuy)v (vx vy)udDD(vux uvx) (vuy uvy)dDD(uv) (uv)dxyLuvdx uvdy ydx ydyL d D
