圆中常用辅助线的作法.ppt

尝试练习一尝试练习一作法及应用作法及应用 圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。一、添设圆的辅助线的常用思想 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。 弦与弦心距，亲密紧相连。中点与圆心，连线要领先。两个相交圆，不离公共弦。两个相切圆，常作公切线。圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”二、常用辅助线作法的应用 在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。2.1、弦心距 -有弦，可作弦心距。例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC =BD。 由垂径 定理得： AE = EB， CE = DE 证明：过O作OE AB， 垂足为E。E即：AC = BD AE - CE = BE - DE 在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。2.2、直径圆周角 -有直径，可作直径上的圆周角. 例2、已知：MN 切 O于A点，PC是直径，PB MN于B点， 求证：分析：证明：连结AC、AP PC是 O的直径 CAP = 90 PB MN PBA = 90 CAP = PBA MN 是 0的切线 BAP = ACP 在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。 2.3、切线径 -有切点，可作过切点的半径。 例3、如图，AB、AC与 O相切有与B、C点，A = 50，点P优弧BC的一个动点，求BPC的度数。 BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130 解：连结 OB、 OC ， AB、AC是 O的切线 ABOB， ACOC，在四边形ABOC中，A = 50 BPC = = 65ABO = ACO = 90 在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。2.4、两圆相交公共弦 -两圆相交，可作公共弦。 例4、如图，已知： O 和 O 相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交 O 和 O 于C 、D；过B点的直线EF分别交 O 和 O 于E 、F 。求证：CEDF 。CEDF 122 21121证明：连结AB四边形ACEB是 O 的内接四边形 DAB = E四边形ABFD是 O 的内接四边形 DAB +F = 180 E +F = 180 在解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。2.5、两圆相切公切线 -两圆相切，可作公切线.例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB 、CD分别交 O 和 O 于A、C 和B 、D。求证：ACBD 。MN证明：过T点作两圆的内公切线MN1212在 O 中，A= CTN在 O 中， B= DTM又 CTN = DTMA= BACBD 在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。2.6、中点圆心线 -有中点和圆心，可连结中点与圆心。例6、如图，已知AB、CD是 O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，并且 AMN = CNM 。求证：AB = CD 。即：AB = CD 证明：连结OM、 ONM、N分别是AB、CD的中点OMAB，ONCDAMO = CNO = 90 又 AMN = CNM OMN = ONM OM = ON 三、尝试练习一1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。PO平分BPA，OM=ONAB=CD。（1）、证明：过O作OMAB，ONCD，垂足为M、N。MN三、尝试练习一1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A 、B和C、D点。求证：（1）、AB = CD （2）、PB =PD。（2）、AB=CD，OMAB，ONCDAM=MB=CN=ND又OM=ON，RtPMO RtPNOPM=PNPM+MB=PN+ND即：PB=PD2、如图，以RtABC的直角边AC为直径作 O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证： 即：AD=ACAC是 O的直径，APC =90ACB=90，APCACB又AD是大 的切线证明：连结CP，3、如图，在 O中，半径OAOB垂足为O，P是OB上任意一点，AP交 O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP = CQ。QC是 O的切线， OQC=90OA=OQ，OAQ=OQA又OAOB，APO=90-OAPCQP=90-OQA APO=CQPCQP=CPQ， CP = CQ。证明：连结OQ四、尝试练习二1、如图，两圆相交于A、B两点。过一个圆上的点P作射线PA和PB，分别交于另外一个圆于点C和点D，再作切线PT。求证：PTCD。PT是小 的切线，TPA=ABPABDC是大 的内接四边形，ABP=CTPA=C即：PTCD。证明：连结AB2、如图，已知： O1和 O2外切于点A，BC是 O1和 O2 的公切线，B、C为切点。求证：ABAC。由切线长定理得：BP=PA，PA=PCPA= BP = PC =证明：过点A作两圆的公切线交BC于点P ，ABAC3、已知、AB是 O的直径，AC是 O的切线，切点为A，BC交 O于点D，E是AC的中点。求证：ED是 O的切线。OE是ABC的的中位线OEBCAOE=B，EOD=ODBOB=OD，B =ODBAOE = EOD又AC是 O的切线，OAE=90 OD=OA AOE = EOD OE=OEEAO EDOEDO=EAO=90即：ED是 O的切线。证明：连结OD，OE谢谢！