231离散型随机变量均值（公开课）.ppt
如果你是一名杂货店老板，为满足市场需求要将单如果你是一名杂货店老板，为满足市场需求要将单价分别为价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的的3种糖果按种糖果按 3：2：1的的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？2618+24+363定价为定价为 可以吗？可以吗？181/2+241/3+361/6=23元/kg假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）, ,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？kgkg情境情境1：假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）, ,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？kgkg181/2+241/3+361/6 x 18 24 36 p 1/2 1/3 1/618 2436X解解：随随机机变变量量 可可取取值值为为， 和和111182436236(), (), ()P XP XP X而而所所以以X X分分布布列列为为=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36) 如果你是一名商场经理，打算在国庆节那天在商场外如果你是一名商场经理，打算在国庆节那天在商场外举行促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益举行促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益10万元，万元，如果遇到雨天则要损失如果遇到雨天则要损失4万元，据万元，据9月月30日气象台预报国庆日气象台预报国庆节那天有雨的概率是节那天有雨的概率是40%，则此商场平均可获得经济效益，则此商场平均可获得经济效益多少万元？多少万元？ 情境情境2： X 10 -4 P 0.6 0.4100.6-40.4=4.4（万元）（万元） 设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益为为X万元，则万元，则X的可能取值为的可能取值为10，-4，所以，所以X的分布列为的分布列为100.6-40.4=10P(X=10)+(-4)P(X=-4)1、离散型随机变量均值的定义、离散型随机变量均值的定义 X P 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为的分布列为ip2x2pnpix1x1pnx 则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平它反映了离散型随机变量取值的平均水平。nniipxpxpxpxXE2211)(注：离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位注：离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位练习练习1 离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布列为的概率分布列为求求X可能取值的算术平均数可能取值的算术平均数 求求X的均值的均值 X 1 100 P 0.01 0.991 10050 52. 解解：(1)X(1)X01.9999. 010001. 01)() 2(XE例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X的均值的均值 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量X的均值为的均值为E（X）=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解你能理解3.5的含义吗？的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数， 即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X的期望的期望 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量Y的均值为的均值为 E（Y ） =3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8 你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数， 即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？=2E（X）+1设设X X为为离离散散型型随随机机变变量量，若若Y=aX+b,Y=aX+b,其其中中a,ba,b为为常常数数，则则EY= ?EY= ?你能猜想出你能猜想出结果吗结果吗?a aaE（X）+b X P ()(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而证：设离散型随机变量证：设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以所以Y的分布列为的分布列为 Y P ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122()nna x px px p12()nb pppbXaEYEbaX)()(,Y则若bXaE)(nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(22112、离散型随机变量均值的性质、离散型随机变量均值的性质随机变量均值的线性性质随机变量均值的线性性质 bXaEbaXE)()(特别地，当特别地，当a=0时时E(b)=b,即常数的均即常数的均值就是这个常数本身。值就是这个常数本身。1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E()= . 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若Y=2+1，则，则E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E()=7.5,则则a= b= .0.40.1解解:X:X的分布列为的分布列为 所以所以 E(x)E(x)0 0P(xP(x0)0)1 1P(xP(x1)1)0 00.30.31 10.70.70.70.7例题例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚分，罚不中得不中得0 0分已知某运动员目前罚球命中的概分已知某运动员目前罚球命中的概率为率为0.70.7，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分x x的均值？的均值？ x 0 1 P 0.3 0.7解解:X:X的分布列为的分布列为 所以所以 E(x)E(x)0 0P(xP(x0)0)1 1P(xP(x1)1)0 0 0.3 0.3 1 1 0.7 0.7 0.70.7例题例题2 x 0 1 P 0.3 0.7P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚分，罚不中得不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分x x的均值是多少？的均值是多少？ 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从服从两点两点分布分布，则，则pXE)(结论结论1：例题例题2变式变式：若某运动员在某次比赛中罚球：若某运动员在某次比赛中罚球3次，次， 求他罚球的得分求他罚球的得分x的均值？的均值？若若xB(1，0.7), 则则E(x)=0.7若若xB(3，0.7), 则则E(x)=?你能猜想出你能猜想出结果吗结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知某运动员目前罚球命中分已知某运动员目前罚球命中的概率为的概率为0.70.7，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分x x的均值？的均值？变式：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得变式：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的均值。的均值。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2)(XE7 . 03一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从二项分服从二项分布，即布，即XB（n,p），则），则npXE)( 结论结论2： 2. 某篮球运动员某篮球运动员3分球投篮命中的概率是分球投篮命中的概率是 , 在某次三分远投比赛中在某次三分远投比赛中,共投篮共投篮3次次,设设 X 是他投中是他投中的次数的次数. 1) 求求E(X) ; 2)若投中若投中1次得次得3分分 ,求他得分求他得分Y的均值的均值; 3226基础训练：基础训练： 1. 一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球个红球 和和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，则取到红次，则取到红球次数球次数X的均值是的均值是 .3注：注：只有随机变量只有随机变量X服从二项分服从二项分布时，才能运用该公式来求均值布时，才能运用该公式来求均值 X P 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx 则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。 1122iinnEXx px px px p小小 结结(1)随机变量均值的线性性质随机变量均值的线性性质 若若B(n，p)， 则则E()= np(2)服从两点分布的均值服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值服从二项分布的均值 若若B(1，p)， 则则E()= pE(aX+b)=aE (X)+b练习练习 3.设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为中的概率为p0.3，求他一次射门时命中次数，求他一次射门时命中次数X的期望的期望 1若若X是一个随机变量，则是一个随机变量，则E(XE(X)的值为的值为() A无法求无法求B0 CE(X) D2E(X)B100.3 4. 同时抛掷同时抛掷5 5枚质地均匀的硬币，求出现正面向上的硬枚质地均匀的硬币，求出现正面向上的硬币数币数X X的均值。的均值。2.54.盒中装有盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：题：(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数若直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均的分布列及均值；值；(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好次取到好电池个数电池个数X的数学期望的数学期望123P3/53/101/1010114152)3(,1034352)2(,53) 1(3,2,11PPP则可能的值为）解：（抽取次数抽取次数 的分布列为：的分布列为：5.110131032531)(E,53)2(的概率均为每次检验取到好的电池故故XB（n,p），），即即XB（5,3/5），），3535E(X)则 作业作业课本课本64页课后练习页课后练习15一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得答案，每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或分，不作出选择或选错不得分，满分选错不得分，满分100100分。学生甲选对任一题的分。学生甲选对任一题的概率为概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4 4个个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的这次英语单元测验中的成绩成绩的均值。的均值。例题例题3解解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中设学生甲和学生乙在这次英语测验中选对的题数分别是选对的题数分别是 和和 ，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)， B(20B(20，0.25)0.25)，E()E()20200.90.91818，E()E()20200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是次英语测验中的成绩分别是55和和55。所以，。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是他们在测验中的成绩的均值分别是E(5)E(5)5E()5E()5 518189090，E(5)E(5)5E()5E()5 55 52525学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗？分吗？他的成绩的均值为他的成绩的均值为90分的含义是什么？分的含义是什么？
