竞赛课件12：机械振动二三事.ppt

平衡位置平衡位置所在位置所在位置x0在平衡位置时：在平衡位置时：0mgkx mgkx0 xmgk(x0+x)在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时： 0Fmgk xx kx 则该振动系统做简谐运动则该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为2Tmk 竖直面内振动的弹簧振子竖直面内振动的弹簧振子 mgT F回回sinFmg 回回当当角很小时角很小时sin OBBOBOxx则有则有sinFmgmg回回BOmgllxmglmgl xk 2mTk 2lTg 单摆单摆 如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一的弹簧一端固定，另一端与质量为端与质量为m的物体的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将相连，当弹簧处于自然长度时，将a无无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为与传送带间动摩擦因数为，试，试说明说明A将做什么运动？将做什么运动？在平衡位置时：在平衡位置时：mgkA a平衡位置平衡位置mg kAAx在距平衡位置在距平衡位置x处处时：时：mg k Ax Fk Axmg kx a该振动系统做简谐运动该振动系统做简谐运动,且周期为且周期为2Tmk va 如图所示，密度为如图所示，密度为的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为水平面的交角为、，液柱总长为，液柱总长为l若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期毛细管作用及摩擦忽略不开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期毛细管作用及摩擦忽略不计计 x0该液片在平衡位置时：该液片在平衡位置时：0FFgh s 左左右右h0取管之底端一截面积为取管之底端一截面积为s的液片的液片若液柱向右侧振动若液柱向右侧振动,液片在液片在平衡位置右侧平衡位置右侧x时：时：xx 00sinsinFgs hxgs hx 2sinsinlsTgs sinsings xk 2sinsinlg xLRABdF3323rM mGMmRFGrrR F回回3GMmxFrrR 回回3GMmxR 可知小球在隧道中做简谐运动可知小球在隧道中做简谐运动!mvA mgxR 2LgR2LgR 小球过平衡位置时速度最大小球过平衡位置时速度最大,为为:2RTg tRg r 如图所示，设想在地球表面的如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，两地之间开凿一直通隧道，在在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力试求小球的最大速度，以及小球从摩擦阻力试求小球的最大速度，以及小球从A到到B所需时间已知地球半径为所需时间已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度为g，A和和B之间的直线距离为之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转匀，不考虑地球自转 FBFA22KkRr ABORrx质点在平衡位置质点在平衡位置O时：时：KkllKkKkRr 則則质点在距平衡位置质点在距平衡位置x的某位置的某位置时：时： 2221AKKxFRRRx 2221BkkxFrrrx 221212KxkxFRrRr 22332KkKkxRrRr332KkxRr 432KkxKkl 4322mTKkKkl 22lmlKkKk 力心力心A、B相距相距l，一质量为，一质量为m的的质点受与距离平方反比的有心斥质点受与距离平方反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情况况 在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方向一小角度向一小角度时时，乙摆线仍为竖直乙摆线仍为竖直乙甲乙甲Mg F回回sinMgFMgxl 回回由简谐振动周期公式：由简谐振动周期公式：2mTk M+m 2MlMgTm 如图所示，甲、乙二摆球质量分别为如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止现使之做小振幅的摆动，它的周期是两球在同一水平面上静止现使之做小振幅的摆动，它的周期是 框架处于静止框架处于静止 ,受力如图受力如图:Mgsin60mgxf lABCmgf对对C点必有点必有:23mgfxlx对松鼠有对松鼠有:f 23mfgxl 可知松鼠做谐振且有可知松鼠做谐振且有:322.62Tlg s s 三根长度均为三根长度均为l2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架框架ABC，点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述 当重物位置在距铰接点当重物位置在距铰接点l时时 ,系统处于系统处于平衡时平衡时,若弹簧形变量为若弹簧形变量为x0受力如图受力如图:0mg lkxL 有有lkx0mg振动中重物有一对平衡位置位移振动中重物有一对平衡位置位移x时时,重物受力如图重物受力如图:x0Lkxxl mgFN轻杆受力如图轻杆受力如图:NF 对轻杆有对轻杆有0NLFlkxxLl 对重物有对重物有NFmgF 0LLmgkxxll22Lkxl 2TlmLk 长度为长度为的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图试确定铁杆小振动周期与质的弹簧上，如图试确定铁杆小振动周期与质量为量为m的重物在杆上的位置之关系的重物在杆上的位置之关系 木板处于平衡位置时木板处于平衡位置时,受力如图受力如图,22mgFgfFmf 左左右右有有mglF右右F左左ff 若木板有一位移若木板有一位移-重心向右轮移过重心向右轮移过x时时OxF右右F左左f fFff 有有22llxxmgmgllmg2 mgxl 22Tlg 如图，质量为如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上设轮与木板间摩擦因数为反向转动的轮上设轮与木板间摩擦因数为，两轮间距离，两轮间距离l，平衡，平衡时长木板重心在时长木板重心在l/2处若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将处若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期 x若左轮不光滑且顺时针转动若左轮不光滑且顺时针转动,lOfkx0 x0板在平衡位置时有板在平衡位置时有002lxkxmgl mgF左左设再向右有一小位移设再向右有一小位移x时时 002lxxFk xxmgl mgkxl kgml 此时此时 如图，质量为如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为，而，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动用一劲度系数为在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动用一劲度系数为k的弹簧将板的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来问摩擦因数转起来问摩擦因数为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？谐运动？振动的圆频率是多少？ 若左轮不光滑且逆时针转动若左轮不光滑且逆时针转动,lOxfkx0 x0板在平衡位置时有板在平衡位置时有002lxkxmgl mgF左左设再向左有一小位移设再向左有一小位移x时时 002lxxFk xxmgl mgkxl kgml 此时此时mgkl 若若右轮不光滑且逆时针转动同右轮不光滑且逆时针转动同右轮不光滑且顺时针转动同右轮不光滑且顺时针转动同mgkl 若若 质点质点P以角速度以角速度沿半径为沿半径为R的圆轨道做匀速圆周的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简在某直径上的投影的运动为简谐运动谐运动 xR Fn22xxFmRmxR P所受向心力所受向心力Fn2nFmR PPP的投影运动所受回复力的投影运动所受回复力FxFx 2cosxFmR 令为令为kxFkx 0t 00ccososxRtAt Oxy2Fmxkx 回回2T km 而而简谐运动的周期公式为简谐运动的周期公式为参考圆运动的周期参考圆运动的周期2mTk 简谐运动的速度公式为简谐运动的速度公式为 sinvAt 简谐运动的位移公式为简谐运动的位移公式为 cosxAt AOxyxAPPvt PvPAt 根据题给条件，物体振动方程为根据题给条件，物体振动方程为 0.24cos2xt m mc cm mm m10.24cos0.2152 2x N N2211212 20.01023 210010000Fmx 1224cos2t 由由s s143t m m/ /s sm m/ /s s244sin2 102300335v 得得 质量为质量为10 g的物体做简谐运动，振幅为的物体做简谐运动，振幅为24 cm，周期为，周期为4 s；当；当t时坐标为时坐标为+24 cm.试求试求当当t0.5 s时物体的位置时物体的位置当当t0.5 s时作用在物体上力的大小和方向时作用在物体上力的大小和方向物体从初位置到物体从初位置到x-12 cm处所需的最短时间处所需的最短时间当当x12 cm时物体的速度时物体的速度 作如图所示谐振参考圆，由图得作如图所示谐振参考圆，由图得 Av8610 Oxr ra ad d/ /s ssin3vA s s23T c cm m22112xvAxA 路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供： 2mgmA 0.09 一物体在水平面上做简谐运动，振幅为一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10 cm，当，当物体离开平衡位置物体离开平衡位置6 cm 时，速度为时，速度为24 cm/s问周期是多少？问周期是多少？当速度为当速度为12 cm/s时，位移是多少？时，位移是多少？如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？确定摆球振动的平衡位置；确定摆球振动的平衡位置；确定摆在此位置时摆线上的力确定摆在此位置时摆线上的力FT；等效的重力加速度等效的重力加速度2lTg lg TFgm l 由理想单摆周期公式由理想单摆周期公式 ，通常可由三条途径确定，通常可由三条途径确定T：确定等效悬点及摆确定等效悬点及摆长长联结两悬点的直线为转轴；联结两悬点的直线为转轴；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长确定等效的重力加速度确定等效的重力加速度确定等效的圆频率确定等效的圆频率确定摆球振动中的机械能守恒关系确定摆球振动中的机械能守恒关系比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式在同一参考圆下提取等效的角速度在同一参考圆下提取等效的角速度g 示例示例示例示例示例示例若单摆在加速度竖直向上的电梯中若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的做小幅振动，在振动的“平衡位置平衡位置”amgFT TTFmgmaFm ga由由 gga 故故则则2lTga 若单摆在加速度水平向左的车厢中若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，做小幅振动，a在振动的在振动的“平衡位置平衡位置”mgFTma 2222TTFmgmaFm ga由由22gga 故故则则222lTga mgqEFTE带正电摆球在水平向右的电场中做带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动小幅振动在振动的在振动的“平衡位置平衡位置” 2222TqEFmgqEmgm22qEggm 故故则则 222m lTm gqE mgFTmaa 222cos 90TTmgFmg Fma 由由 222singagag 故故则则2222sinlTagag 如图所示，摆线长为如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小的单摆悬于架上，架固定于小车使小车沿倾角为的斜面以加速度车使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振做匀加速运动，求此时单摆振动的周期动的周期 222sinTFmgaag 某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上电梯为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同试问电梯服向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？ gga gga 00ttTT 由由 向上加速的电梯中，摆的等效向上加速的电梯中，摆的等效而加速下降电梯中，摆的等效而加速下降电梯中，摆的等效规律规律000t TgttTg 0gattg 上上0gattg 下下0112aatgg 22241122 1aaaggg 0 因加速，上升过程钟面时间因加速，上升过程钟面时间t比客观时间比客观时间t0长，长，下降过程钟面时间下降过程钟面时间t比客观时间比客观时间t0少，少，每上下一次，钟面读每上下一次，钟面读数与客观时间相差数与客观时间相差说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，以此钟指示时间为据此人以此钟指示时间为据此人 工作了工作了返回返回0tNT t0正正误误不准钟当其钟面读数时不准钟当其钟面读数时间为间为t时，客观时间为时，客观时间为t0 tt0，钟走快；，钟走快； tt0，钟走慢，钟走慢摆式钟的特点 1. 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同振动次数相同，则钟面读数变化相同 2. 2.标准钟钟面读数与客观时间一致标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致不准钟钟面读数与客观时间不一致 3. 3.T大钟慢，大钟慢，T小钟快小钟快设标准钟摆的周期为设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为，不准钟摆的周期为T如图，如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时时标准钟是在与钟面读数一致的时间标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：内走成这样的：0tNT 根据特点根据特点1，有，有00ttTT 不准钟是在客观时间不准钟是在客观时间t0(t0t)内走成这样的：内走成这样的：t000gttg 00tltl 返回返回llmg2 l tanll tan2lgT 如图，小铁球用长度为如图，小铁球用长度为l的细线的细线AC、BC悬挂，两悬挂，两线与线与A、B连线的夹角均为连线的夹角均为，AC恰好水平球由于受到扰动，恰好水平球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期小球振动的周期 ACB 如图所示，如图所示， 光滑的细杆组成夹角为光滑的细杆组成夹角为的人字架一根长度为的人字架一根长度为l的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期平面内做小振动的周期 BACOTTO 振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动中线拉力之合力始终通过O点,即可与单摆等效!OAB 122 2 22OO B DC22DO C 22 2sinll 22 sinlgT l1CABabl2mg Ox 由几何关系得由几何关系得C到到AB的距离的距离1 222l lxab 等效摆长为等效摆长为1 2cosl lxla 秋千周期为秋千周期为1 22lTlag 如图所示，秋千的一根绳子的固定点如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳比另一根绳固定点固定点B高高b，秋千两根支架相距为，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是，两根绳子长度分别是l1和和l2，并且并且 试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期（人的试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期（人的大小与上述长度相比可忽略不计）大小与上述长度相比可忽略不计） 222212llab 一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙上上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示一根长度为点，杆可以向各个方向转动，如图所示一根长度为l的不可的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置使伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 T ABlllmgl 2ll 22lTg 如图是一种记录地震的仪器如图是一种记录地震的仪器倾斜摆的示意图倾斜摆的示意图.摆球摆球m固定在边长为固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕上，可绕AB杆摆动，杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为杆和竖直墙夹角为.求摆球做微小摆动的周期求摆球做微小摆动的周期.ABCmllmgl sinsin60ll 322 sinlTg 60 返回返回32sinll 未放凹形滑块的单摆，是以圆频率未放凹形滑块的单摆，是以圆频率 gl 设带凹形滑块的异形摆圆频率为设带凹形滑块的异形摆圆频率为 ,有有 mMmgm lmM 2MlmgTm 则则 谐振谐振,满足满足 211cos2mglmA 比较两式得比较两式得 211cos2mglMmA 如图，摆球质量为如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为，凹形滑块质量为M，摆长为，摆长为lm与与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期放，求系统的振动周期T 未加另一质量重物的单摆未加另一质量重物的单摆 ,Al 设带另一质量的复摆圆频率为设带另一质量的复摆圆频率为 ,有有 22lx llx 则则 谐振谐振,满足满足 211cos2mglmA 比较两式得比较两式得 22111cos22xmg lxmAmAl 221TlxTlx l 一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小振幅的自由振动如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同振幅的自由振动如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？几？续解续解 2222lxlxllx lllx2,lxlllx 当 21xl时时,有最小值有最小值故故 max1221TT 0.08989 % %查阅查阅Mmv0 在天花板下用两根长度同为在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图开始时系的小滑块，如图开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期，试求振动周期 llMmv0摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l的理想单摆满足的理想单摆满足 2011cos2Mm glMmA 对振动实体机械能守恒，有对振动实体机械能守恒，有 211cos2Mm glMA 比较两式得比较两式得 0MmM 2Mlm gTM 则则 数学摆是由长度为数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，端上的小铅球所组成现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示试求这种摆小它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示试求这种摆小振动的周期，摩擦不计振动的周期，摩擦不计 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l 的理想单摆满足的理想单摆满足 2011cos2mglmA 此题中复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 22111cos222AmglmAm 21522mA 比较两式得比较两式得 045 5Tlg 则则 ll/2 如图所示，质量为如图所示，质量为M、长为、长为L的均匀细刚杆一端的均匀细刚杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动质量为无摩擦地摆动质量为m=M/3的小的小虫相对杆以速度虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行开始时，杆静止并与竖直缓慢地沿杆向下爬行开始时，杆静止并与竖直线成一个小角度线成一个小角度0，小虫位于杆上端悬点处释放杆，杆开始摆动，小虫位于杆上端悬点处释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求小虫开始爬行，试求小虫沿杆爬行小虫沿杆爬行l距离时，杆振动的圆频率；距离时，杆振动的圆频率；小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的 ，求杆的摆动，求杆的摆动幅度幅度t 56确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图 mnLin 22111lim26nknimLEimLnn 223111lim2nnimLin 2222311lim122nmLnn 2312111lim26nn nnmLn 216mL 续解续解当小虫爬到距悬点当小虫爬到距悬点l处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为 22111cos1cos226LmglMgmlML 对对A=L 的理想单摆满足的理想单摆满足 2011cos2gLL 比较两式得比较两式得 22232lLglL 小虫在悬点时小虫在悬点时 00201c s214oLEMgLgM 小虫在杆最下端时小虫在杆最下端时 1cos1cos2tttLEMgmgL 2512tMgL 40310i 则则 200236,55iiEE 查阅查阅O O 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为l的理想单摆满足的理想单摆满足 2011cos2mglmA 此题中复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 1cosmglE 板板其中角速度为其中角速度为、半径为、半径为r圆板的动能为圆板的动能为 2211lim22nknimrrrEiin nnr 2222411lim4nnnmrn 214m r 214m A 比较两式得比较两式得 02 22Tlg 则则 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m、半径为、半径为r的圆板用三根的圆板用三根长均为长均为l的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆板绕其过中心圆板绕其过中心O的铅直轴做微小转动，试求其周期的铅直轴做微小转动，试求其周期 如图所示，细轴环用铰链固定于如图所示，细轴环用铰链固定于A点，开始这样点，开始这样放置轴环，使它的质心位于放置轴环，使它的质心位于A点正上方，此后轴环自由下落，经时点正上方，此后轴环自由下落，经时间间0.5 s，轴环的质心处于最低位置有一摆是小重球，轴环的质心处于最低位置有一摆是小重球B固定在固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下试问此摆经过多少时间置并自由落下试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置返回到下面的平衡位置 比较两者的角速度关系：比较两者的角速度关系：对轴环：对轴环： 2121cos22mg rmr 对重球：对重球： 2011cos2mgrmr 则则 022 故转过半周所需时间故转过半周所需时间 002tt s s24t 如图所示，半径为如图所示，半径为R的细圆环，其质量与固定在的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计在环上与两小重物等距其上的两个相同小重物相比可忽略不计在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）两小重竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离物的位置关系可以用它们之间的角距离2表征试求该摆的振动表征试求该摆的振动周期周期T及其随变化的图线及其随变化的图线 系统从平衡位置偏离最大系统从平衡位置偏离最大幅度为角幅度为角：取小重物其摆长为：取小重物其摆长为：l2sin2lR 振幅为：振幅为：2sin2AR 摆长为摆长为l、振幅为、振幅为A的理想单摆满足的理想单摆满足 2012sin1cos2sin222mgRmR 续解续解02sin2gR 此题中复摆振动实体机械能守恒，有此题中复摆振动实体机械能守恒，有 21222mg hmA h 1cos1cosR 211cos1cos2sin22gRR 0sin2 22TRg 则则 查阅查阅 如图所示，质量为如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射的小球沿入射角角方向以速度方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞忽略一切摩擦，射向小平板，并发生完全弹性碰撞忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振动方程求碰撞后小平板的振动方程 0cosxAt 振动标准方程：振动标准方程：对本题振动实体：对本题振动实体： 02 Mkv0vmOxkvxv yv v Vv0速度关系如示速度关系如示:由图示关系由图示关系: 00sincosxyvvvvV 由弹性碰撞能量关系由弹性碰撞能量关系: 22220111222xymvm vvMV 02cosmVvMm 续解续解02cosmVvMm 由振动中能量关系由振动中能量关系:220112cos22mkAMvMm 02cosmmkAvMM 查阅查阅 0cosxAt 对对kM02coscos2mvMktMmkMx 车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中其中平衡位置时的压缩量为平衡位置时的压缩量为: 0sinMgxk 初相位时的速度为初相位时的速度为:m m/ /s s120vgh 振幅由振动能量关系求得振幅由振动能量关系求得:2222011112222kAkxMvMV m m2A m m/ /s s10.05V 弹簧最大压缩量为弹簧最大压缩量为:m m02.2xxA 振动时间借助参考圆振动时间借助参考圆:OxyMx0A0 100cosxA 缓冲时间为缓冲时间为: 10cos2xMAtk s s0.7 如图所示，小车质量如图所示，小车质量M4 kg，由静止开始沿倾角，由静止开始沿倾角的斜面自的斜面自h=5 m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又冲上斜面若缓冲器弹簧的劲度系数冲上斜面若缓冲器弹簧的劲度系数k=100 N/m求缓冲器弹簧的最求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间大压缩量及小车被缓冲的时间 h30 如图所示，在盛密度为的液体的大容器中如图所示，在盛密度为的液体的大容器中放入一只底面积为放入一只底面积为S的小圆柱形容器，在这个容器的底部的小圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根细导流管两只容器壁均静止不动，在小的又插入一根细导流管两只容器壁均静止不动，在小的容器中注入密度为（容器中注入密度为（21）的染了颜色的液体，使其高）的染了颜色的液体，使其高度至度至H ，以使与外面容器的液面相平然后打开细管上，以使与外面容器的液面相平然后打开细管上端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着如果假设液体不会混合且表面张力不计，复地进行着如果假设液体不会混合且表面张力不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量试求第一次从小容器里流出的重液的质量m1是多少？在是多少？在以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量mn和从小和从小容器里流出的重液的质量容器里流出的重液的质量mk各是多少？各是多少？ 解答解答H2 1 设小容器底部开口与细管相接部设小容器底部开口与细管相接部截面积为截面积为s，从此处流过的小液片，从此处流过的小液片恰受力平衡时，重液液面下降恰受力平衡时，重液液面下降x0，若称此为平衡面，则有若称此为平衡面，则有 x0 x2 H 201HxgsHgs 1 在此前（后）液面高（低）于平衡面在此前（后）液面高（低）于平衡面x时，对应地正流经时，对应地正流经细管上口的小液片所受合力为细管上口的小液片所受合力为 1202FHgsHxx gsgsx 即即:小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降2x0时，时，重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升故第重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升故第1次从小容器中流出的重液质量为次从小容器中流出的重液质量为 1202122mx SHS 2102122mx SHS 读题读题续解续解此后将换成轻液片上升此后将换成轻液片上升,静止于重液静止于重液上层，当细管口轻液片受力平衡时，上层，当细管口轻液片受力平衡时，小容器内下部是高小容器内下部是高(H-2x0)的重液，的重液，上部轻液高度设为上部轻液高度设为 0 x H 201012Hxgsx gsHgs 1 2101xH 即即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x0时，时，轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降故第轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降故第2次流入小容器的轻液质量为次流入小容器的轻液质量为 0 x 2 1 2010112FHxgsxx gsHgsgsx x 2102122mx SHS 每次循环中进出小容器的重液与轻液质量每次循环中进出小容器的重液与轻液质量相同相同, ,直至小容器中重液全部替换成轻液直至小容器中重液全部替换成轻液! ! 查阅查阅 如图所示，平台如图所示，平台A的质量为的质量为m，由劲度系，由劲度系数为数为k的轻弹簧来支持弹簧上端与的轻弹簧来支持弹簧上端与A相连，下端与地面相连，下端与地面相连，物块相连，物块B的质量也是的质量也是m，自由地放在平台中心，现用，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力竖直向下的力F=mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系统静止时撤去外力，求此后在系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者的运动情况及两者各自到达的最大高度各自到达的最大高度 AkOyBA、B处于平衡位置时弹簧压缩处于平衡位置时弹簧压缩02mgxk 224mgAk 系统振幅为系统振幅为圆频率为圆频率为 2km 续解续解A、B一起振动的运动方程一起振动的运动方程 224cos2mgkytkm A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为一起振动至弹簧自然伸长时速度为sinvAA220AxA Oyxx0A0 Av 2222242kmgmgmkk mgk A、B在此位置分离，在此位置分离，B竖直上抛到达最大高度竖直上抛到达最大高度 2222BvhgmgkB返回分离位置处历时返回分离位置处历时 22Bvtgmk续解续解查阅查阅AkA、B分离后分离后A谐振！谐振！圆频率为圆频率为 km 振幅由振幅由 22201112222xkmvm A Oyxx0/2A v 21mgAk 初相位初相位 1122/1coscos/11mg kmg k A振动的运动方程振动的运动方程 21211coscos1mgkytkm Oy A继续上升可达最大高度为继续上升可达最大高度为 02211AxhgAmk A返回分离位置处历时一周期返回分离位置处历时一周期 2AtTmk 查阅查阅续解续解由于由于A、B分离后经相同时间回到分离处，分离后经相同时间回到分离处，故对碰而交换速度，再经故对碰而交换速度，再经 2mtk A、B同速相遇一起向下做参数为同速相遇一起向下做参数为A、及初及初相为相为 121cos1 的谐振，至向上过初始位置的谐振，至向上过初始位置vyt0 Av A v A 查阅查阅续解续解整个过程中整个过程中B到达的最高点距释放点到达的最高点距释放点 222242BmgkH 整个过程中整个过程中A到达的最高点距释放点到达的最高点距释放点 222411AmgkH 两系统以两系统以2v速度接近，经时间速度接近，经时间发生完全弹性碰撞发生完全弹性碰撞 2Ltv 相碰撞的两物体交换速度相碰撞的两物体交换速度! mmmmvvvv碰撞后瞬时系统情况如图碰撞后瞬时系统情况如图: 两系统两系统各做简谐振动各做简谐振动,经半周期经半周期发生第二次碰撞发生第二次碰撞:mmmmvvvv相碰撞的两物体再次交换速度相碰撞的两物体再次交换速度! mmmmvvvv两系统两系统以以2v速度分离经速度分离经2Ltv 又相距又相距L 符合题意的总时间为符合题意的总时间为222LTtv 2Lmvk 如图所示，两个系统，每个都是由两个质量均为如图所示，两个系统，每个都是由两个质量均为m的相同物体组成，两物体间用劲度系数为的相同物体组成，两物体间用劲度系数为k的弹簧相连两系统以大的弹簧相连两系统以大小相同的恒定速度小相同的恒定速度v相向运动某时刻，将相碰的两物体间距离相向运动某时刻，将相碰的两物体间距离L问经过多少时间后，这两物体间的距离又等于问经过多少时间后，这两物体间的距离又等于L？设碰撞是完全？设碰撞是完全弹性的弹性的 成因成因摩擦阻力摩擦阻力形成波形成波振动能转变为热振动能转变为热及向四周辐射及向四周辐射! 阻尼因数阻尼因数2m fv 阻力系数阻力系数 阻尼振动周期阻尼振动周期2202T 阻尼振动振幅阻尼振动振幅1TiiAA e 阻尼振动图象阻尼振动图象vt0 如图所示如图所示 实验装置可以测定液体的粘滞系数：在实验装置可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂一薄板弹簧上悬挂一薄板A，测定它在空气中的周期，测定它在空气中的周期T0，然后把薄板放在欲，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体中，令其振动，测定周期测粘滞系数的液体中，令其振动，测定周期T已知薄板质量为已知薄板质量为m,表表面积为面积为S，液体的粘滞阻力，液体的粘滞阻力 ，v为运动速度确定液体的粘滞为运动速度确定液体的粘滞系数系数 02200TT 220202TTTT 2m 而而22Sm 220202STTTmT 則22002 m TTSTT 2fS v 122TT 由由221212TTTT 得得22fmmv 而而2212122TTfmvTT 则则2222121446 0.010.250.160.2mv TTfTT N N0.36 如图所示，在弹簧上悬挂重如图所示，在弹簧上悬挂重6 kg的物体当无阻力的物体当无阻力时，物体振动周期时，物体振动周期T=0.4s，而在阻力与速度成正比时，其周期为，而在阻力与速度成正比时，其周期为T1=0.5s，试求当振动速度为，试求当振动速度为1cm/s时所受的阻力大小时所受的阻力大小