学案7正弦定理、余弦定理及应用.ppt
正弦定理、正弦定理、余弦定理及余弦定理及应用应用（1 1）掌握正弦定理、余弦定理，并能）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题解决一些简单的三角形度量问题. .（2 2）能够运用正弦定理、余弦定理等）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题算有关的实际问题. . 三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、解析几何、向量、实际应用等知识相结合解析几何、向量、实际应用等知识相结合.因此是高考因此是高考中常常出现的题型，各种题型都有可能出现中常常出现的题型，各种题型都有可能出现.(2)a=2RsinA,b=2RsinB, ;(3)sinA= sinB= ,sinC= 等形式等形式, 以解决以解决不同的三角形问题不同的三角形问题. 1.正弦定理正弦定理: 其中其中R是三角形外接圆的半径是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为 : a:b:c=sinA:sinB:sinC; sinAsinAa asinCsinCc c2R2Ra a2R2Rb b2R2Rc c(1)sinBsinBb b 2R c=2RsinC 2.余弦定理余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定余弦定理可以变形为理可以变形为:cosA= ,cosB= , cosC= . 3.SABC = absinC= = acsinB= = (a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由是三角形内切圆的半径），并可由此计算此计算R,r.2 21 12 21 14R4Rabcabc2 21 1b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bc2bc a a- -c cb b2 22 22 22ac b-ca2222ba c -ba222bcsinA 2 21 1 4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一）已知两边及一边的对角，求其他边或角边的对角，求其他边或角.情况情况 (2)中结果可能有一解、二中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题余弦定理可解决两类问题:(1)已知已知两边及夹角或两边及一边对角的问题两边及夹角或两边及一边对角的问题 ; (2)已知三边问题已知三边问题. 5. 5.实际问题中的常用角实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标叫仰角，目标视线在水平视线视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图3-7-1中中).上方上方 下方下方 (2)方位角方位角 指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平方向顺时针转到目标方向线的水平角，如角，如B点的方位角为点的方位角为（如图（如图3-7-1). (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北正北 在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角求角A的大小的大小;(2)若若a= ,求求bc的最大值的最大值;(3)求求 的值的值.3c c- -b bC C) )- -a as si in n( (3 30 0 (1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式的结构形式,可联想到可联想到余弦定理余弦定理,求出求出cosA,从而求出从而求出A的值的值. (2)由由a= 及及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于可求出关于b,c的关的关系式系式,利用不等式利用不等式,即可求出即可求出bc的最大值的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到从而达到化简求值的目的化简求值的目的.3 (1)cosA= 又又A(0,180),A=120. (2)由由a= ,得得b2+c2=3-bc, 又又b2+c22bc（当且仅当（当且仅当c=b时取等号），时取等号）， 3-bc2bc(当且仅当当且仅当c=b时取等号）时取等号）. 即当且仅当即当且仅当c=b=1时时,bc取得最大值为取得最大值为1.212bc2bcbcbc2bc2bca ac cb b2 22 22 23(3)由正弦定理得由正弦定理得 2R2RsinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa a2 21 1sinCsinC2 23 3cosCcosC2 23 3sinC)sinC)4 43 3cosCcosC4 43 3sinCsinC- -C)C)- -sin(60sin(60sinC)sinC)2 23 3cosCcosC2 21 1( (2 23 3sinCsinC- -sinBsinBC)C)- -sinAsin(30sinAsin(302RsinC2RsinC- -2RsinB2RsinBC)C)- -30302RsinAsin(2RsinAsin(c c- -b bC)C)- -asin(30asin(30(1)在三角形中求角在三角形中求角,往往选择先求该角的往往选择先求该角的余弦值余弦值,然后利用余弦函数在然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视要重视.已知方程已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根的两根之积等于两根之和，且之和，且a,b为为ABC的两边，的两边，A,B为两内角，试判定为两内角，试判定这个三角形的形状这个三角形的形状.先由已知条件得出三角形的边角关系先由已知条件得出三角形的边角关系.要要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定角之间的关系即可判定.方法一方法一:设方程的两根为设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得根据余弦定理得b =a ,b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得化简得a=b,ABC为等腰三角形为等腰三角形.2bc2bca a- -c cb b2 22 22 22ac2acb bc ca a2 22 22 2方法二方法二:同方法一得同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-B.A-B=0，即，即A=B.故故ABC为等腰三角形为等腰三角形.由三角形的边角关系判定三角形的形状，其由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定便），然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解.如图如图,A,B是是海面上位于东西方向相距海面上位于东西方向相距5(3+ )海海里的两个观测点里的两个观测点,现位于现位于A点北偏东点北偏东45B点北偏西点北偏西60的的D点有一艘轮船发点有一艘轮船发出求救信号出求救信号,位于位于B点南偏西点南偏西60且与且与B点相距点相距20 海里海里的的C点的救援船立即前往营救点的救援船立即前往营救,其航行速度为其航行速度为30 海里海里/时时,该救援船到达该救援船到达D点需要多长时间点需要多长时间?33【分析】【分析】利用正弦定理求出利用正弦定理求出BD长度，在长度，在BCD中利用余弦中利用余弦定理可求出定理可求出CD的长度的长度.由速度可求时间由速度可求时间.【解解析】析】由题意知由题意知AB=5(3+ )海里海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,ADB=180-(45+30)=105.在在DAB中中,由正弦定理得由正弦定理得3ADBsinABDABsinDB =103(海里海里).又又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60BC=20 (海里海里),在在DBC中中,由余弦定理得由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBC cosDBC=300+1 200-210 20 12=900,3213)13(3545cos60sin60cos45sin45sin)33(5105sin45sin)33(5DABsinDABsinABDB33 本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形角形,把实际问题转化为解三角形的问题把实际问题转化为解三角形的问题,同时考查运用同时考查运用数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力.CD=30(海里海里),需要的时间需要的时间t= =1（小时）（小时）.答答:救援船到达救援船到达D点需要点需要1小时小时.3030 【解析【解析】 2A2C2B
