132函数的极值与导数(上课).ppt
1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数单调性与导数的关系：单调性与导数的关系：设函数设函数y=f(x)在在某个区间某个区间内可导，内可导，如果如果f (x)0，则，则f(x)为增函数；为增函数；如果如果f (x)0f (x) =0 f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0如何判断如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小v若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 当f (x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件练习练习1 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.31( )443f xxx解解:, 4431)(3xxxf)2(2. 4)(2xxxxf）（令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x)极大值极大值极小值极小值 ( )fx+所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 .例题选讲例题选讲: :32834解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 极大值极大值 极小值极小值 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值= ;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值= .例例1 求函数求函数 的极值的极值.31( )443f xxx3283432834例题1的图像-2oxy2+-+f(x)= x3-4x+43134328求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。练习练习1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；可导函数在极值点的导数一定等于零；可导函数在极值点的导数一定等于零；函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。3xy 如练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +递增递增递减递减 )121,(),121(1212449极大值所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习2求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .32( )f xaxbxcx例题例题2 2.(.(2006年年北京卷北京卷) )已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）, 求：（求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；0 x( )yfx0 x2,9,12abc .10 x5) 1 ( cbaf0412)2(023) 1 (/cbafcbaf(1)由图像可知：由图像可知：) 0(23(2/ acbxaxxf）(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用注意：数形结合以及函数与方程思想的应用 2.（2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间( )f x导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 ( )fx ( , )a b( , )a b( , )a b( )f x 课外练习课外练习:1.函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又既有极大值，又有极小值，则有极小值，则a的取值范围为的取值范围为 .21aa 或或(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4 abxy)(xfyO abxy)(xfyO练习练习下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在哪一点处在哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数 有极小值有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx 2、函数、函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为( )A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习：练习： 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC，解解:由题设条件得：由题设条件得： 0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或通过验证，都合要求，故应选择通过验证，都合要求，故应选择A。 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 3.
