数值分析历年考题.doc

航天航空学院数值分析A试题2007.1第一部分：填空题1051.设,则_ _2.将分解成，则对角元为正的下三角阵_3.已知数据12341.652.724.487.39,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数中的参数： _ _4.方程在上有 个根，若初值取，迭代方法的收敛阶是5.解方程的迭代方法为_，其收敛阶为_6.设 为三次样条函数，则 _ _7.要想求积公式：的代数精度尽可能高，参数 _ _此时其代数精度为：_8.用线性多步法来求解初值问题其中，该方法的局部截断误差为_，设其绝对稳定性空间是_9.用线性多步法来求解初值问题其中，希望该方法的阶尽可能高，那么 _ _，此时该方法是几阶的：_10.已知上的四次legendre多项式为,求积分_其中为常数。第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）1.（14分）已知方程组其中（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi和Gauss-seidel迭代法收敛的的取值范围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。（2）当时，写出SOR方法迭代矩阵的表达式和SOR方法计算公式的分量形式，并取初值，求（3）取，用迭代公式，试求使该迭代方法收敛的的最大取值范围，最优=？2（14分）用单步法求解初值问题：（1） 求出局部截断误差以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？（2） 求绝对稳定性区间。（写出求解过程）（3） 用该方法解初值问题时，步长满足什么条件才能保证方法的绝对稳定性。3（14分）已知非线性方程组 ，在矩形域内有解。提示：（1） 取初值，用Newton迭代。（2） 记，并设。试证明不动点迭代法在处具有局部收敛性。4（14分）试构造Gauss型求积公式：其中，权函数构造步骤如下：（1） 构造区间上权函数为的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss点（2） 写出求积系数，并给出求积公式代数精确度的次数（3） 写出求积公式的余项表达式并化简5（8分）设A为n阶非奇异阵，B是奇异阵，求证,其中为矩阵从属范数，为常数，且第二份（2004.6）1. 给定二阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求 2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间的最佳二次平方逼近3. 给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR收敛性（）、给定初值算一步，估计5次迭代误差4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度 从0积到2 5. 给定两个矩阵（均为3*3）,将A变化为三对角阵，用QR方法对算一步求6. （1）设B奇异，证明,其中为算子范数。（2）证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与相同第三份，韩老师2002.11. 单步法（1）收敛阶（2）绝对稳定区间（3）对在时讨论数值扰动的稳定性2.（1）的逼近 （2） 确定，判断代数精度，是否高斯3. 给定 (1) ,证明局部收敛 （2） 给定，用牛顿算两步4. 含未知数 （1）求，使存在 （2）给定，用算L （3）给定，判断是否收敛 （4）给定，SOR算一步5. 给定（1）算p，（2）对做QR（3）算一步QR迭代，得到6. ,证明可逆，并证明第四份，郑老师2006年填空：1. 3.1425926是的几位有效数字2. ，求均差3. 公式得代数精度是几阶4. 积分系数的和是多少5. ，求6. ，求的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近7. 拉格朗日插值基函数，是相异节点，求简答：1. 高斯积分，使代数精度最高，求2. ，用LU分解求解3. 变换成准上三角阵，用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步，求4. 证明严格对角占优矩阵A可逆，且除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。182002年12月30晚7:20-9:20B卷一.(1)函数f(x)=|x|在-1,1上积分，求在空间span1,x2和spanx,x3上权函数p(x)=1的最佳平方逼近函数，并说明 (2)对f(x)在-1,1上积分,求A0,A1,A2,x0,x2, 使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度二. A=2 0 1;0 2 -1;1 -1 1   (1)求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵   (2)用Givens变换，对A1进行QR分解；   (3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似三.线性二步法 y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)              fi=f(ti,yi)   (1)求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛   (2)用根条件判断收敛性   (3)绝对收敛域四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是1和n,  迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b  求w的范围，使迭代法收敛，并求w'使收敛速度最快。五. 非线性方程组    F(x)=x12-10*x1+x22+8;x1*x22+x1-10*x2+8'=0    令G(x)=1/10*(x12+x22+8)            1/10*(x1*x22+x1+8)    (1)若0<x1,x2<3/2, 用x=G(x)迭代，证明G(x)在D中存在     唯一的不动点；    (2)判断G(x)是否收敛？    (3)写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,       求出x1六. A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，|A-B|< 1/|A(-1)|    证明：    (1) B非奇异    (2) |B(-1)| <= |A(-1)|/(1-|A(-1)|*|A-B|)    (3) |A(-1)-B(-1)| <= |A(-1)|2*|A-B|/(1-|A(-1)|*|A-B|)1.三点高斯勒让得积分公式最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span1,x2和spanx,x3中求2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉的范围，要你求3.书上P257原题加了两问，证明收敛，再算一步4.householder变换Givens做QR分解5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2)求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用|A-B|<1/|inv(A)|要证B可逆,|inv(B)|<=|inv(A)|/(1-|A-B|*|inv(A)|)|inv(A)-inv(B)|<=(|inv(A)|)2*|A-B|/(1-|A-B|*|inv(A)|)填空：1 A=1,1/2;1/2,1/3求|A|2和cond2（A）2 J，GS迭代有关3 f(x)=x2+3x+2,在2，1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）计算1 F(x)=.(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=1,1,1'(2)用牛顿法在给定初值x0.'下计算两步2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.3 A=4,1,1;1,1,1;1,1,2;b=.'  (1)housholder变换求A得QR变换  (2)用QR变换结果计算Ax=b证明已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB证明|deltaX|/|x|<=cond(A)*|deltaB|/|b|1.（1）求f(x)=|x|,区间-1，1上权函数为(x)=1，在span1,x2上的最佳平方逼近（2）0，1上权函数为(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的参数使得代数精度尽可能高2。A=0 3 4；3 0 0；4 0 1（1）求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵（2）用givens变换求A1的QR分解（3）用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似3。不动点迭代F（x）=0，F（x）=x1+x22-x12+x2等价于x=G(x)，G(x)=-x22  x12（a）证明D=（x1,x2）T|-0.25<=x1,x2<=0.25上，G有唯一不动点（b）写出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1)4.初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1（a）tn=nh，用梯形法求数值解yn（b）h趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp(-t)（c）梯形法的局部阶段误差主项（d）梯形法的绝对稳定区域5（1）A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有什么关系时x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k)收敛到ATAx=ATb的唯一解（2）B为n阶方阵，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C若|B|<=<1且|x(k)-x(k-1)|<=(1-)/证明|x*-x(k)|<=6.A对称正定，（x）=0.5xTAx-xTb,p为非零向量定义()=(x+p),求为何值时()最小证明对此定义下的x*=x+p,有b-Ax*与p正交1、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求  yn+1=yn+h/2*(k1+k2)       k1=f(tn,yn)   k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)2、给定一个分段函数，求全函数为1区间0，2的最佳二次平方逼近3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度   f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2)5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A26、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(|A-B|/|A|)=1/(|inv(A)|A|)，其中|为算子范数   (2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同5道大题，若干小题，卷面成绩满分701.(1)求f(x)=sqrt(1-x2)在span1,x,x2上，权函数为rou=1/sqrt(1-x2)的最佳平方逼近多项式(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=p(x)l(x)dx=p(x)l2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？（其中0<w<2)(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵3 1 0;1 3 1;0 1 3求其cholysky分解3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的和(2)已知矩阵3 0 0;0 3 2;0 2 3，求其QR分解，计算一步H'=RQ4(1)f(x)=x22-x12-x1   其精确解为x*=0 0 0,写出牛顿法的计算公式          sin(x12)-x2;(2)已知G(x)=x22-x12                sin(x12);给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2)，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)1.已知矩阵2  1   求矩阵的谱半径，条件1范数，条件2范数，条件无穷范数           0  1 ,我做的是 2,1,3+sqr(5),3,切比雪夫多项式是T(X),问T(2x-1)的时候取值范围以及权我的计算是0,1,1/sqr(1-(2x-1)2)2.已知一个内积的定义xf(x)g(x)dx=(g,f)，范围是(0,1)，求x2在0，1上面的一次最佳平方逼近。3.要求高斯积分 x(1-x)f(x)dx=Aif(xi),求N=1以及N=2时的求积节点以及系数我的答案，随便猜得N=1，节点为0.5+sqr(3)/6,0.5-sqr(3)/6，系数都是1/12还是1/6,记不清楚了N=2时，三个节点0.5-saq(15)/10,0.5,0.5+sqr(15)/10，三个系数1/36.1/9.1/36，不知道对不对。4.LU分解解一个三阶矩阵5.牛顿迭代法6.QR分解以及HOUSEHOULDER变换7.现性多步法8.单步法求证二阶相容并且绝对稳定1、填空：a、有效数字，3.1425926近似pi小心，从小数点后第三位就不一样了b、均差f=x3+x-1求f1,1,1，f0,1,2,3，f0,1,2,3,4c、simpson公式代数精度3d、Newton-Cotes积分系数Ck的和这个就是1啦，呵呵e、A=1,2;0,1，求普半径，1，2，无穷条件数f、x2的最佳一次平方逼近和一致逼近g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk(n+1)从0到n求和2、高斯积分x2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).积分限-1，13、LU分解求方程组的解4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵用第一种QR位移迭代算一步，求A25、证明严格对角占优矩阵A可逆，且A(-1)的无穷范数小于1/min|aii|-除对角线外的|aij|6、第九章的作业题P480T6(数值分析基础高等教育出版社 关治、陆金甫)填空：1.3.14215是pi的几位有效数字  据说是32. f(x)=x3+x-1,求f1,1,16,f0,1,2,31,f0,1,2,3,403. simpson的代数精度是几阶 34. N-C的系数是Cnk，求系数和 15.1 2;0 1 谱半径 1 条件1范数9  条件2范数 32sqr(2) 条件无穷范数 96. -1,1 求f(x)=x2的最佳一次平方逼近 1/3 最佳一次一致逼近 1/27. X0,X1.Xn是相异节点 求西格码lk（0）Xk(n+1)= (-1)nX0X1Xn计算题1积分符号x2f(x)dxAf(x0)+Bf(x1)+A(x3)，-1,1,使代数精度最高求A,B，x0,x1,x2A=7/25 ,B=8/75 X0=-sqr(5/7) x1=0 x2=sqr(5/7)21 2 1;2 2 3;-1 -3 0 b=0 3 2  LU分解接x1,-1,13.2 0 1; 0 2 -1;1 -1 1 householder变换成准上三角阵 用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步证明A是严格对角占优阵，证明A可逆（书上定理）|A-1|<=1/min(|aii|-西格码|aij|)无穷范数6 yn+1=yn+h(f+h/2g(t+h/3,y+fh/3)g(t,y)=ft(t,y)+ffy(t,y)研究相容阶与收敛性 三阶相容，收敛1.(1,1/2;1/2,1)求2范数和cond22.上题的QR分解后面是几题判断题，要求写出对错和原因题不记得了，但不难，与往年差不多（本来准备做完后将题录下来的，可是实在没时间了:(）以下的小题顺序不一定对:du/dt=(u-u+)(u-u-) u+>u-,问哪个是稳态的哪个不是矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond（判断）多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去高频分量，细网格消去低频分量（判断）f (x) = f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x32-x2-x3临界点临界值正则点正则值不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵（判断）就记得这么多了大题：（4,1,1;1,2,1;1,1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进行lanczos分解（数据是回忆的，不一定对）一个函数(x)，表达示不记得了问(1)证明x=(.,.)'是其解（送分的，代入就行）(2)写出Newton法迭代式（很容易写）(3)写出当x0=(.,.)'时用newton法的x1（总体很常规，不难）A=（4,1;1,1;1,2)问(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，（送分的）4.证明题:zm属于krylov空间Km(r0,Ar0,A2r0.)，Lm=AKm(Ar0,A2r0,A3r0.)，证明（r0-Azm,v)=0,v属于Lm<=>|r0-Azm|=min|r0-Az|其中z属于Km（比较简单，书上有的）5一题变分的，要求证明两个问题等价，好像是d4u/dx4=f(x)，变分为一个边值和一阶边值为零的问题具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难可用分部积分算算应该可以做出来1。单步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn)   1)Tn+1,收敛阶   2)绝对稳定区间   3)对y'=-5y+2,y0=1(好像是），在h=0.2,0.5,1时讨论数值扰动的稳定性                2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近  2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2)     确定A,x1,x0,x2,判断代数精度，是否高斯3。给定F(x)    1）xk+1=xk-1/4F(x),x*=(1,1,1)T,证明局部收敛    2）给定x0,用牛顿算两部4。Ax=b A含未知数a  1)求a,使LLT存在   2）给定a,用cholesky算L  3)给定a,判断jacobi,gauss_siedel是否收敛  4）给定a,sor算一步5。给定A,  1)househoulder算p，A1=pAp  2)givens对A1做QR   3)算一步QR迭代，得到A26。|B|<1,证明I-B可逆，并证明|I-B|<1/1-|B|1.(1)sin(x)的pade(3*3)逼近  (2)确定求击公式的待定参数，使代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为     Gauss型2.给出一多步线性方法，要求作出  (1)该方法误差主项和阶的判定  (2)相容性判定  (3)是否满足根条件  (4)是否A稳定3.给定矩阵，要求作上Hessenberg阵和基本QR分解4.给一非线性方程组，要求  (1)写出相应的牛顿法迭代公式  (2)自己再设计一种迭代方式，并判定其局部收敛性5.给一矩阵A，含有参数a，要求  (1)用J法的充要条件求a的范围  (2)若a0，写出SOR法的分量计算公式，并求最优松弛因子6.压缩影射原理中不动点的存在性和唯一性证明1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R33  2)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，    判断是否为Gauss型    (区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-)+Bf(0)+Cf()2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+hf(n)+f(n+2)  1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶  2)是否相容  3)是否满足根条件,是否收敛  4)是否A稳定3.给定矩阵A,B.   5   1  -2       3  4  0A= -3  2   1    B= 4  4  1   4   1   3       0  0  2  1)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵  2)对B做一次QR分解4.给一非线性方程组  3(X1)2-(X2)2=0  3(X1)(X2)2-(X1)3-1=0  此方程组在D0.4<=X1=<0.6  0.5<=X2<=1上有精确解X*  要求  1)写出相应的牛顿法迭代公式,给定X(0)=(0.55,0.9)T,求X(1)  2)已知X*=(1/2,3(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性5.给一矩阵A和向量b    4 -2   a       2A= -2  4  -1    b= 6    a -1   4       5  1)求使J法迭代收敛的a的范围(注意使用最简单的收敛充要条件)  2)若a0,写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt6.|G(x)-G(y)|<=L|x-y|  0<L<1  G(D0)是D0的真子集   求证G(x)在D0中存在唯一的不动点一、给了个矩阵A1）用household正交相似变换，将A变换为上海森堡形式A12）对A1(我记得是A1,不是A,不知道看错没有)做一次QR分解，要求用第一种位移方法二1）给了个常微分方程组，求刚性比2) y(n+2)=y(n+1)+h/(3f(n+2)+f(n)/4,求阶数，判断相容性，收敛，及绝对稳定区间三，给定Ax = b1)用变分构造出它的二次形式，并证明（这题的意思我觉得就是证明方程组的解使该函数取最小值，好像就是证明书上那个定理，不知道对不对）2)给定初值，用最速下降法算一步。四，给了个非线性二元二次方程组1）判断在定义区间上是否有唯一不动点2)用newton迭代法计算一步。五，给出了一个用分段线性插值逼近函数f的表达式（形式和书上差不多)，求出它的法方程的系数矩阵，并判断它是否有解。六，A对称正定，对Ax = b   构造(I-A)x = (I+A)x - 2b  (不知道记得对不对）  证明 >0 时，迭代收敛5道大题，若干小题，卷面成绩满分701.(1)求f(x)=sqrt(1-x2)在span1,x,x2上，权函数为rou=1/sqrt(1-x2)的最佳平方逼近多项式(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=p(x)l(x)dx=p(x)l2(x)dx，其中l(k)为Lagrange多项式2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程ATAx=ATb，各种方法的收敛性怎样？（其中0<w<2)(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵3 1 0;1 3 1;0 1 3求其cholysky分解3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的和(2)已知矩阵3 0 0;0 3 2;0 2 3，求其QR分解，计算一步H'=RQ4(1)f(x)=x22-x12-x1   其精确解为x*=0 0 0,写出牛顿法的计算公式          sin(x12)-x2;(2)已知G(x)=x22-x12                sin(x12);给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2)，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)