浅谈向量在中学几何中的应用.doc

浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用 1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设，则，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即.例1（01天津）设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则解：设、，则， ，又抛物线的焦点为，可设直线AB方程为代入得，故。 2.利用向量的数量积求夹角由可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效.例2（04全国）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于AB两点，设的斜率为1，求与的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为将，代入方程，并整理得 设，则有， 夹角的大小为3.利用处理解析几何中有关垂直的问题例3（04重庆）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）.试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.分析: 证抛物线顶点在圆H的圆周上,即证,即证解：由题意，直线不能是水平线，故可设直线方程为：.设，则其坐标满足消去可得 ，则 因此，故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且.从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.xBACyO例4（04安徽 春季）如图（1）,A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心，求椭圆的方程.解:建立如图（1）的直角坐标系,则,设椭圆方程为,点C的坐标为,则点B的坐标为., 即, 图 （1） ,即, 将m=1代入,得n=1,代入椭圆方程得, , 故所求的椭圆方程为4.利用平行向量的等量关系式得到点坐标之间的关系例5（04全国）设双曲线C：，相交于两个不同的点A、B，设直线l与y轴的交点为P，且求的值.分析:设A、B两点的坐标，由就得到了A、B两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得的值。解：由双曲线与直线相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解,消去y并整理得： 设 由于都是方程的根，且, 例6（04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).()求椭圆的方程； ()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率. 解：（I）设所求椭圆方程是 由已知，得 所以. 故所求的椭圆方程是 （II）设Q，直线当 ，则，得， ， 同理得，于是，故直线的斜率是0，.5从直线的方向向量中得到直线的斜率在直线上任取两点，则为直线的方向向量，当时，而k即为直线的斜率.例7（03 全国）已知常数>0，向量=（0，）， =（1，0），经过原点O以 +为方向向量的直线与经过定点A（0，）以2为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.分析：本题的关键是从直线的方向向量中求得过点P的两条直线方程，用交轨法求得点P的轨迹方程,据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.解：=（1，0），=（0，）， ，,因此，直线OP和AP的方程分别为和,消去参数，得点的坐标满足方程,整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点. 向量与解析几何的融合充分体现了数学中的数形结合思想,解决这类问题的关键是利用向量的坐标表示,将问题中的形转化为数的关系,是解析几何新的解题思想.  二.空间向量与立体几何用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力，在解决角度、距离问题时技巧性较强，一旦思路受阻就只能放弃，新课程增加的空间向量利用代数的方法，为解决这些问题提供了通用方法。其显著优点是减弱了推理论证的成份，用计算来代替论证，其缺点是计算量加大。如果在解决问题的过程中推理论证与向量运算综合运用，则不失为一种好办法！方式的选择 用向量解题有两种方式可供选择，一种是直接用向量代数式运算，一种是向量的坐标运算。一般来说，用向量的坐标运算，思维及运算技巧更容易掌握，因而我们尽可能采用坐标运算方式。坐标运算方式的弱点是要精确的写出各个点的坐标，准确无误地写出相关向量的坐标，坐标一错则全盘皆错，另外，有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系，此时不妨考虑用代数式运算，只是运算技巧相对要强一些。1. 代数式运算方式 用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底，一般选其起点的三个不共面的向量构成基底，这样图形中任何其他向量总可以用这一组基来表示，把相关向量表示出来以后，就可用向量内积运算来讨论向量所成的角，特别是通过内积为零来证明线线垂直，用向量共线来说明线线平行等等。例8.证明：若四面体的两对对棱垂直，则第三对对棱也垂直。 已知：四面体中求证：证明:选取从点出发的三条棱的方向向量构成一组基底，令向量，两式相减得： 图（2） 所以 即有命题得证。 例9.已知边长为的正三角形的中线与中位线相交于点，将此三角形沿折成二面角，(1)求平面平面；(2)当二面角为多大时，异面直线与互相垂直？ 解:（1）因为DE为中位线，所以=。 图（3）又G为DE中点，所以而所以DE平面，又平面经过，所以平面平面（）选取以作为始点的三个向量构成一组基底，则=令得因为所以角即二面角的大小。例10.是二面角棱上的一点，分别在平面上引射线如果那么二面角的大小为_解:在上取作向量并设其模长为，在上取作向量，使其模长为分别过作垂直于于点，则所成的角即二面角 的平面角。 图（4）所以二面角的大小为。评析：此题和前两题比较起来说，似乎没有明确选择基底，实际上是以点为始点的三个向量作为基向量了。2. 向量坐标运算方式用向量坐标运算方式，(1).建立空间直角坐标系，注意尽可能利用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线垂直，也可找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直。一般轴应是右手系空间直角坐标系。事实上坐标系是右手系还是左手系不是问题的关键，重要的是所写的点的坐标须与所建立的坐标系相一致。(2).写出需要用到的点的坐标。此步一定要仔细，不能有一点的差错。(3).写出所要用到的向量。特别注意是用终点坐标减去起点坐标！(4).通过计算解决具体问题；1).求异面直线所成的角设异面直线和的方向向量分别为、，两直线所成的角设为，则有，注意异面直线所成角的范围，所以分子对内积取绝对值。2).证直线和平面平行要证直线和平面平行，一种方法是看平面上是否有和向量共线的向量，若在平面上，且有，只须交待直线不在平面上，即可判定，第二种方法是求出平面的法向量，如果，即，即可判定/平面。（图5） A B B n n 图（5） 图（6） 3). 证直线和平面垂直要证直线和平面垂直，只须求出平面的法向量，然后判定是否等于，即它们是否共线，若共线则说明平面。（图6）4). 证二平面平行要证平面平面，求出两平面的法向量，若，则.（图7） n m 图（7） 图（8）5).证二平面垂直要证平面平面，求出两平面的法向量，若，则。（图8）6).求斜线与平面所成的角求斜线与平面所成角，先求出平面的法向量，设线面角为，则有注意平面的法向量与所成的角与线面角之间的关系是,或者是（如图9），不论是哪种情况，两向量夹角的余弦的绝对值总是线面角的正弦（线面角的范围是）。 7). 求二面角的平面角 求二面角的平面角，只需 求出两个半平面的法向量，则有 图（9）设二面角的平面角为，则与的关系是相等还是互补，至于具体到一个题目中它们是相等还是互补，取决于法向量的方向，一种相对准确的判定方式图示如下（图10）： 当两个平面处于重合时，让其法向量方向一致，则当绕交线旋转时，其法向量随之一起旋转，此时不论二面角是多大，总与之相等。 图（10-1） 图（10-2） 图（10-3）8). 求点面距及线面距 点面距与线面距总是可以相互转化的，如图（11）求直线到平面的距离，也就是求点到平面的距离，它是在求斜线段与平面所成的线面角的基础上进行的，利用6）中的方法求出了，即可得： 图（11）9).求异面直线间的距离两异面直线与之间的距离最终也要转化为线面距，过作的平行平面，则到平面距离即两异面直线间的距离，进一步可转化为点面距来求解，方法如8）所示。 实际求解时，平面是不用作出的，因 图（12）为如图12所示，只要向量能够表示出来，则平面的法向量可通过解出，也可理解为两异面直线公垂线的方向向量，知道了，在两异面直线上分别选一点构成线段，即平面的斜线段（如），它与平面的线面角的正弦，即，所以两直线间的距离为3.平面的法向量的求法在以上的解法中，求平面的法向量是关键，在高中阶段只能用解方程的方式来求法向量。首先设平面的法向量为，在平面上任找两个不共线且已知坐标的向量如。建立方程组解出即可，如果方程无解，说明法向量的竖坐标不可能为1，此时只需将所设法向量坐标中的竖坐标由1改为，相应地将改为1，再解方程。例11.如图13，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与面所成的角的大小，（2）求点到平面的距离。解：（1）建立如图(13)所示空间直角坐标系，设底面的腰，则各点的坐标为:，为中点，利用中点公式可求得，在底面上的射影为，而为的重心，利用重心公式可得。所以设平面ABD的法向量为则有方程即，解得 图（13），即。设与平面所成角为，则有又点为在平面上的射影，由解得，代入上式得，即与平面所成角为。（2）平面的法向量设为，由方程，解得.设与平面所成角为，则所以到平面的距离为. 证完. 由上面的例看到，向量知识与几何知识有很大的联系，掌握并灵活应用向量解决几何问题往往可以化难为易，化繁为简、加快我们解答几何题的速度、效率。参考文献 中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准，北京市人民出版社 普通高中数学课程标准实验教科书，数学.必修4.,人民教育出版社王小红 例说平面向量与解析几何的综合应用汪昌政 用空间向量解立体几何题数学通报2005.1212