【福建】高考数学复习方略：第6章《不等式、推理与证明》第1节《不等关系与不等式》.ppt

第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式,1.两实数比较大小的法则,a-b0,a-b=0,a<b,【即时应用】 (1)若a,b,cR,ab,判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“”或“”) ( ) a2b2 ( ) (2)下列不等式中正确的是_. m-3m-5 5-m3-m 5m3m 5+m5-m,【解析】(1)特殊值法，取a=1,b=-1,c=0可知不正确. (2)m-3-m+5=20，故正确； 5-m-3+m=20，故正确； 5m-3m=2m，无法判断其符号，故错； 5+m-5+m=2m,无法判断其符号，故错. 答案：(1) (2),2.不等式的基本性质,b<a,ac,a+cb+c,acbc,ac<bc,a+cb+d,anbn,acbd,【即时应用】 (1)已知a、b、c、dR,且cd,则“a+cb+d”是“ab”的 _条件. (2)若a0,-1b0，则a,ab,ab2的大小关系为_. (3)已知a,b,cR，有以下命题： 若ab,则ac2bc2; 若ac2bc2,则ab; 若ab,则a2cb2c. 以上命题中正确的是_(请把正确命题的序号都填上).,【解析】(1)若a+cb+d,cd 不妨令a=1,b=2,c=5,d=3，则上式成立， 但ab，故充分条件不具备，反之，若ab,cd, 则a-b0,c-d0，两式相加得 a-b+c-d0，即a+cb+d， 故必要条件具备，故应为必要不充分条件.,(2)由已知得0b21,a0,故ab0,ab20且aab2,故aab2ab， (3)当c=0时，不正确；若ac2bc2，则c20, ab，故正确；由2c0知正确. 答案：(1)必要不充分 (2)aab2ab (3),3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ab,ab0 a0b ab0,0cd 0axb或axb0,(2)有关分数的性质 若ab0,m0,则 真分数的性质 假分数的性质,【即时应用】 (1) 与 的大小为_. (2)若0ab，c0，则 的大小关系为_. 【解析】(1) 又 故,(2)0ab, 又c0, 故 答案：(1) (2),热点考向 1 比较大小 【方法点睛】 比较大小的常用方法 (1)作差法 其一般步骤是：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.,(2)作商法 其一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论. (3)特值法 若是选择题还可以用特值法比较大小，若是解答题，也可以用特值法探究思路. 【提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负，若不注意极易得出相反的结论，从而误解.,【例1】(1)(2012厦门模拟)如果a，b，c满足cba且ac0，那么下列选项中不一定成立的是( ) (A)abac (B)c(b-a)0 (C)cb2ab2 (D)ac(a-c)0 (2)已知a1,a2(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) (A)MN (B)MN (C)M=N (D)不确定 (3)已知ab0，比较aabb与abba的大小.,【解题指南】(1)可用不等式的基本性质求解.(2)可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断. 【规范解答】(1)选C.由abc且ac0， a0，c0. A中，bc，a0，abac成立； B中，ba，b-a0，c0，(b-a)c0； C中，ac，b不确定，b2也可能为零， C选项不一定成立. D中，ac，a-c0，又ac0，ac(a-c)0.,(2)选B.作差比较： M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1) 又a1,a2(0,1)， 故(a1-1)(a2-1)0,故MN.,(3)作商比较： 又ab0,故 1,a-b0, 又abba0, aabbabba, aabb与abba的大小关系为：aabbabba.,【互动探究】若将本例(2)中，“a1，a2(0,1)”改为“a1，a2(1,+)”，结论又将如何？ 【解析】M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1)， a1，a2(1,+),(a1-1)(a2-1)0, 故M-N0，故MN.,【反思感悟】1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形，常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等. 2.当两个代数式的正负不确定且为多项式形式时，常用作差比较法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法.,【变式备选】比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1与2m2+m-3; (2)(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)(xy0); (3)已知a0,b0，比较 的大小. 【解析】(1)(3m2-m+1)-(2m2+m-3) =m2-2m+4=(m-1)2+30, 3m2-m+12m2+m-3.,(2)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)(x2+y2)-(x+y)2 =-2xy(x-y). xy0, -2xy(x-y)<0, (x2+y2)(x-y)<(x2-y2)(x+y). (3)因为 所以,热点考向 2 不等式性质的应用 【方法点睛】 不等式性质的应用类型分析 不等式的性质应用非常广泛，常与常用逻辑用语结合考查充要条件问题，也有应用性质比较大小问题和求范围问题，并且求参数范围问题是考查的热点问题，它常与三角函数等结合考查.,【例2】(1) 设a,b为实数，则“0ab1”是“b ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件 (2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4，求f(-2) 的取值范围.,【解题指南】(1)准确使用不等式的基本性质进行判断. (2)可利用待定系数法寻找目标式f(-2)与已知式f(-1)，f(1)之 间的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的 性质求f(-2)的取值范围. 【规范解答】(1)选D.0ab1可分为两种情况： 当a0,b0时，b ;当a0,b0时，b ，故不充分;反 之，当b0 时，有ab0，故不必要，所以应为既不充分又 不必要条件.,(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a- 2b=m(a-b)+n(a+b). 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 f(-2)=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10,即5f(-2)10.,方法二: f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又1f(-1)2,2f(1)4, 53f(-1)+f(1)10, 即5f(-2)10.,【互动探究】若本例(2)中的条件不变，求f(2)的取值范围. 【解析】设f(2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)， 则4a+2b=m(a-b)+n(a+b)，即4a+2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 所以f(2)=f(-1)+3f(1), 又1f(-1)2,2f(1)4, 7f(-1)+3f(1)14, 即7f(2)14.,【反思感悟】1.利用不等式的性质判断一个命题的真假，首先找到与命题相关的性质，明确不等式成立的条件，对于选择题、填空题要注意特殊值法的应用. 2.根据不等式的性质求范围时，一定要彻底利用不等式的性质进行变形求解，如不等式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负，同向不等式只能相加，不能相减等.同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性.,【变式备选】(1)已知12<a<60,15<b<36,求a-b, 的取值范围. (2)-1a+b3且2a-b4，求2a+3b的取值范围. 【解析】(1)欲求a-b的取值范围，应先求-b的取值范围；欲求 的取值范围，应先求 的取值范围. 15<b<36,-36<-b<-15. 又12<a<60,12-36<a-b<60-15, -24<a-b<45. 又,(2)设2a+3b=x(a+b)+y(a-b), 即,用不等式(组)表示不等关系 【方法点睛】 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 用不等式(组)来表示不等关系通常出现在生活中的实际应用问题中，它起到了“启下”的作用.将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转换关系如表.,【例】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可.,【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可 知,【反思感悟】用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义.如“产品的数量”、“零件的个数”等均需要取整数.,【变式训练】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计 划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元 的A型汽车和B型汽车.根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车 至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则由题意 可得,1.(2012龙岩模拟)当0ab1时，下列不等式中正确的 是( ) (A) (1-a)b (B)(1+a)a(1+b)b (C)(1-a)b (D)(1-a)a(1-b)b 【解析】选D.0ab1,1-a1-b, (1-a)a(1-a)b,又由指数函数的图象知(1-a)b(1-b)b， (1-a)a(1-b)b，故选D.,2.(2012漳州模拟)设a,bR,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是( ) (A)b-a0 (B)a3+b30 【解析】选D.利用赋值法:令a=1,b=0, b-a=-10,故B错误; a2-b2=10,故C错误; 排除A,B,C,选D.,3.(2013莆田模拟)若ab2.,