【福建】高考数学复习方略：第8章《平面解析几何》第6节《双曲线》.ppt

第六节 双曲线,1.双曲线的定义 (1)满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 在平面内；动点到两定点F1,F2的距离_为 定值；定值_|F1F2|. (2)焦点：_. (3)焦距：两个焦点之间的距离.,之差的绝对值,小于,两个定点F1,F2,【即时应用】 (1)思考:定义中去掉“定值小于|F1F2|”是否可以？ 提示:不可以，因为定值等于|F1F2|时，点的轨迹表示直线F1F2上位于F1,F2两侧的两条射线；当定值大于|F1F2|时，点的轨迹不存在.,(2)判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”) 平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹； ( ) 平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹； ( ) 平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹； ( ),平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹； ( ) 平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹； ( ) 平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹. ( ),【解析】由双曲线的定义可知：点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为3的双曲线；点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线；点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在. 答案:否 是 否 否 否 否,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0，-a),(0，a),2a,2b,【即时应用】 (1)思考:双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的 关系? 提示:因为离心率 所以，离心率越大， 就趋近于+，即两条渐近线所形成的角 (双曲线所在的区域)就越大，即双曲线的“张口”就越大；离 心率越小即接近1， 就趋近于0，即两条渐近线所形成的角(双 曲线所在的区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.,(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到 另一个焦点的距离为_. 【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为： ，所以a2=3， 又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为 或 . 答案: 或,(3)已知双曲线 (a0,b0)的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为_. 【解析】依题意知：2b=2，2c= ， 所以b=1， ，因此，双曲线的渐近线方程为： 答案:,热点考向 1 双曲线的定义、标准方程 【方法点睛】 1.双曲线定义的应用 利用双曲线的定义解题时，一方面要注意常数2a<|F1F2|这一条件；另一方面注意由双曲线上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.,双曲线的标准方程的理解 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程 可设为Ax2+By2=1(AB0)，这样可避免讨论和复杂的计算； (2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时， 可设双曲线方程为 (0)，据其他条件确定 的值； (3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 (0)，据其他条件确定的值.,3.求双曲线标准方程的方法及步骤 (1)定义法：根据题设条件得出或已知曲线为双曲线，可直接求出a、b、c，得出双曲线方程； (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程，将题设条件代入方程确定相关系数，最后得出方程.,【例1】(1)与双曲线 有相同的渐近线，且过点 (-3, )的双曲线方程为_. (2)(2012泉州模拟)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( ，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，若MN的中点的横 坐标为 ，则此双曲线的方程是_.,【解题指南】(1)先设出双曲线的方程，用待定系数法求解； (2)MN的中点在直线y=x-1上，从而该中点为( )，又 a2+b2=7,可采用“平方差法”求出a2,b2，进而写出方程. 【规范解答】(1)因为所求双曲线与 有相同的渐近 线，所以设所求双曲线方程为 (0)，又因为双曲 线过点(-3, )，所以 ，解得 所以所求双曲线方程为： ，即 答案:,(2)把 代入y=x-1得 MN的中点是( )， 双曲线的一个焦点为( ，0)， 可设双曲线方程为 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则,解得a2=2,从而b2=7-a2=5, 所求双曲线方程为 答案:,【互动探究】若将本例(1)中“有相同的渐近线”改为“有相同 的焦点”，则结果如何？ 【解析】双曲线 中，c=5,焦点坐标为(-5,0)、(5,0), 又因为所求双曲线与双曲线 有相同的焦点，所以可设 双曲线方程为 又因为双曲线过点(-3, )，所以 解得a2=23+ (舍去)或a2=23- ， 所以双曲线方程为：,【反思感悟】1.第(1)小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数，再需一个条件即可求解； 2.第(2)小题采用了待定系数法，因为牵扯弦的中点问题，所以采用了“代点法”即“平方差法”建立方程，从而求得参数的值.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于 P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长 为_. 【解析】因为x2-y2=8，所以2a= 由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|= |QF2|-|QF1|= 所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=,即|PF2|+|QF2|-|PQ|= 又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+ 因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+ 答案:14+,热点考向 2 双曲线的几何性质 【方法点睛】 1.双曲线的几何性质 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系.,2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 (1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意 及判断焦点的位置； (2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，若焦点不确定时， 或 ，因此离心率有两种可能.,【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.,【例2】(1)(2011福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|= 432，则曲线C的离心率等于( ) (A) 或 (B) 或2 (C) 或2 (D) 或 (2)已知双曲线 的离心率为2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_,渐近线方程为_.,【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲 线为椭圆或双曲线.再由离心率的定义即可求解 (2)由椭圆的焦点坐标得出双曲线的焦点坐标及c值，由离心率的值，可求出a，进而得出双曲线的渐近线方程.,【规范解答】(1)选A.|PF1|F1F2|PF2|=432， 可设|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，k0, 其中|F1F2|=2c=3k， 若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k， a=3k， 若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k, a=k, ,e的取值为 或 .,(2)椭圆的焦点坐标为(4，0),(-4,0)，故c=4, 且满足 ，故a=2, 所以双曲线的渐近线方程为 答案:(4,0),(-4,0),【互动探究】在本例(1)中，若圆锥曲线为双曲线且c=6，其他 条件不变，求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 【解析】因为圆锥曲线为双曲线且c=6，又因为 |PF1|F1F2|PF2|=432， 所以|PF1|=16,|PF2|=8, 2a=16-8=8，即a=4,所以,当双曲线的焦点在x轴上时，一个焦点为(6,0)，一条渐近线方 程为 x-2y=0，焦点到渐近线的距离为 ； 当双曲线的焦点在y轴上时，一个焦点为(0,6)，一条渐近线方 程为2x- y=0，焦点到渐近线的距离为 .,【反思感悟】1.第(1)小题首先是讨论曲线的类型，然后再根据相应曲线的定义，求出离心率的值. 2.第(2)小题解题的关键是求出a,b,c的值，然后求解.,【变式备选】点F1,F2是双曲线C： (a0,b0)的两个焦 点，P是C上一点，且F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的 离心率为( ),【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c,依题设不妨令|F1F2|=|PF2|, 即 即2ac=c2-a2, e2-2e-1=0, 又e1, ,热点考向 3 与双曲线有关的综合问题 【方法点睛】 直线与双曲线的位置关系 判断直线l与双曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By +D=0(A、B不同时为0)代入双曲线C的方程F(x,y)=0，消去y(也 可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,即 消去y后得ax2+bx+c=0.,直线与双曲线,方程特征,交点个数,位置关系,a=0,a0, 0,a0, =0,a0, <0,1,2,1,0,直线与双曲线的渐近线平行，两者相交.,相交,相切,相离,2.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 (1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)求得参数的取值范围； (2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.,【提醒】解决直线与双曲线相交问题时，若涉及到弦的中点或斜率，一般用点差法求解.,【例3】过双曲线 的右焦点F2，倾斜角为30的直线 交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点. (1)求|AB|； (2)求AOB的面积. 【解题指南】(1)利用方程的思想，联立直线与双曲线得方程 组，采用根与系数的关系和弦长公式求解； (2)利用点到直线的距离公式求出AB上的高，从而求出面积.,【规范解答】(1)由双曲线的方程得 F1(-3，0)，F2(3，0). 直线AB的方程为y= (x-3). 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 ，得5x2+6x-27=0.,(2)直线AB的方程变形为 原点O到直线AB的距离为,【反思感悟】1.本题是直线与双曲线的综合应用，所用到的方法为基本的坐标法，“设而不求”“整体代换”的思想方法，在圆锥曲线的关系问题中被广泛使用. 2.解直线与双曲线的位置关系或点在双曲线上等问题时，一定不能忽视点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程这一条件.,【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点， 过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)， 则E的方程为( ),【解析】选B.设双曲线的标准方程为 (a0,b0)， 由题意知c=3,a2+b2=9, 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有： 两式作差得： 又AB的斜率是 ,即 ,所以4b2=5a2. 将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5, 所以双曲线的标准方程为 ,故选B.,1.(2012湖南高考)已知双曲线C： 的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选A.由焦距为10，知2c=10,c=5. 将P(2,1)代入 得a=2b. a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20, 所以方程为,2.(2013漳州模拟)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是 ( ,0)，则其渐近线的方程为( ) (A) (B)y=4x (C) (D)y=2x,【解析】选D.双曲线x2-ky2=1的方程可化为： 又一个焦点为( ,0), a2=1,b2= ,c2=a2+b2=1+ =5,得 双曲线方程为 渐近线方程为y=2x.,2.(2013漳州模拟)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是 则其渐近线的方程为( ) (A) (B)y=4x (C) (D)y=2x 【解析】选D.双曲线x2-ky2=1的方程可化为： 又一个焦点为 得 双曲线方程为 渐近线方程为y=2x.,3.(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 的离心率为 则m的值为_ 【解析】由题意，双曲线的焦点在x轴上， 所以 所以m=2. 答案:2,4.(2012宁德模拟)已知点(2，3)在双曲线C： (a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_. 【解析】由题意可得 解之得 所以所求离心率 答案:2,