【福建】高考数学复习方略：选修4-5《不等式选讲》第1节《不等式和绝对值不等式》.ppt

选修4-5 不等式选讲 第一节 不等式和绝对值不等式,1.基本不等式与平均值不等式 (1)基本不等式 _(a,bR+), a2+b2_. (2)三个正数的平均值不等式 _(a,b,cR+).,2ab,【即时应用】 (1)思考:函数f(x)=x+ 的最小值是2吗？ 提示：函数f(x)=x+ 的最小值不是2. 当x0时，f(x)=x+ 2 =2; 当x0时，f(x)=x+ =- -2. 显然f(x)既没有最大值也没有最小值.,(2)若x0,则函数f(x)=x+ 的最小值为_. 【解析】x0,f(x)= 当且仅当 ，即x=2时取等号, f(x)min=3. 答案:3,2.含有绝对值的不等式及其解法 (1)含有绝对值的不等式 _|a+b|_. (2)含绝对值不等式的解法 含一个绝对值的不等式的解集,|a|-|b|,|a|+|b|,x|a<x<a,x|xa或,x<a,x|cax,bc,x|axbc或,axb-c,含两个绝对值的不等式的解法 |xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 ()利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想 ()利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想 ()通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想,【即时应用】 (1)若不等式|x1|x2|<a无实数解，则a的取值范围是_ (2)不等式|x-5|+|x+3|10的解集是_.,【解析】(1)由绝对值不等式的性质知|(x+1)-(x-2)|x+1|+ |x-2| ，所以|x+1|+|x-2|的最小值为3，由|x1|x2|<a无解，知a3. (2)由不等式的几何意义知，式子|x-5|+|x+3|表示数轴上的点x与点5的距离和与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，x(-,-46,+). 答案:(1)(-,3 (2)(-,-46,+),热点考向 1 利用基本不等式求最值 【方法点睛】 利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)基本不等式的一般形式为a1+a2+an 或 (其中a1,a2,anR+)当且仅 当a1=a2=an时取等号.,(2)利用式求最小值要求积为定值，利用式求最大值要求和为定值，具体来说：()各量均为正值，()各量的积或和为定值，()保证等号成立，即一正、二定、三相等. 【提醒】求最值时，一定要指出自变量的对应取值.,【例1】(1)已知x0,y0,且x+y=1,求 的最小值. (2)若实数x,y满足xy0,x2y=2,求xy+x2的最小值. 【解题指南】(1)注意x+y=1的运用,应用a+b 求最小值. (2)运用三个正数的平均值不等式求解,注意x2y=2的应用.,【规范解答】(1)x0,y0,x+y=1, = 当且仅当 即 时取等号. 的最小值为25.,(2)xy0 xy+x2= = 当且仅当 ，即x=1,y=2时等号成立, xy+x2的最小值为3.,【互动探究】本例(1)中，若把“x+y=1”换成“ =1”,试 求xy的最小值. 【解析】x0,y0 当且仅当 即x=8，y=18时等号成立. 0 xy144, 即xy的最小值为144.,【反思感悟】解答本例(1)时，通过变形使其积为定值，求解本例(2)时，通过配凑使积式中出现x2y的平方形式，从而达到积为定值的目的，同时一定要验证等号成立的条件是否具备.,【变式备选】1.若0 x1，求函数f(x)=x2(1-x)的最大值. 【解析】0 x1，1-x0. f(x)=x2(1-x)= 4 当且仅当 =1-x，即x= 时,2.已知x0,y0，且9x+y-xy=0，求x+y的最小值. 【解析】方法一：x0,y0,9x+y-xy=0， 9x+y=xy,即 x+y=(x+y) 当且仅当 时，“”成立，又 即x=4,y=12时，上式取等号. 故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.,方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9(定值)可知x1,y9. x+y=(x-1)+(y-9)+10 =6+10=16. 当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，“”成立. 故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.,热点考向 2 含有绝对值不等式的解法 【方法点睛】 含有绝对值不等式的解法 含有绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理，而去掉绝对值的方式主要有以下三种：(1)利用常见的等价命题；(2)对绝对值内的式子符号进行讨论；(3)两边平方(必须保证两边都是正数),【例2】(2012新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x2|. (1)当a =3时，求不等式f(x)3的解集； (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围. 【思路点拨】(1)将a=-3代入函数f(x)，然后通过绝对值零点分区间讨论得不等式f(x)3的解集. (2)解不等式f(x)|x4|得解集，由区间1,2是解集的子集确定a的取值范围.,【规范解答】(1)当a=-3时，f(x)= 当x2时，由f(x)3得-2x+53， 解得x1； 当2x3时，f(x)3无解； 当x3时，由f(x)3得2x-53, 解得x4, 所以f(x)3的解集为x|x1或x4.,(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|， 当x1,2时得4-x-(2-x)|x+a| -2-ax2-a. 由条件得-2-a1且2-a2, 即-3a0. 故满足条件的a的取值范围为-3,0.,【变式训练】(2013福州模拟)已知函数f(x)=x2+2x和g(x)的图象关于原点对称. (1)解关于x的不等式g(x)f(x)-|x-1|； (2)如果对xR,不等式g(x)+cf(x)-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围.,【解析】函数f(x)=x2+2x和g(x)的图象关于原点对称， g(x)=-f(-x)=-x2+2x,g(x)=-x2+2x. (1)不等式g(x)f(x)-|x-1|可化为2x2|x-1|,也就是 2x2x-1(x1)或2x21-x(x1)，由于无解，而的 解为-1x . 原不等式的解集为-1， .,(2)不等式g(x)+cf(x)-|x-1|可化为c2x2-|x-1|. 令函数F(x)=2x2-|x-1|， 则F(x)=2x2-|x-1|= 因为F(x)=2x2-x+1(x1)是增函数，且最小值F(x)min=F(1)=2; 而F(x)=2x2+x-1(x1)的最小值为F(x)min=F(- )=- . 由此可得函数F(x)的最小值为- ， 实数c的取值范围是(-,- .,【变式备选】(2011天津高考)已知集合A=xR|x+3|+|x- 4|9,B=xR|x=4t+ -6,t(0,+),则集合AB =_. 【解析】AxR|x+3|+|x-4|9=xR|-4x5, B=xR|x=4t+ -6,t(0,+) =xR|x ,t(0,+) =xR|x-2, AB=xR|-4x5xR|x-2=xR|-2x5. 答案：xR|-2x5,热点考向 3 含参不等式的恒成立问题 【方法点睛】 解含参不等式的方法 解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注意：(1)要考虑参数的取值范围；(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏,【例3】已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【解题指南】问题(1)可先求解|x-a|3，然后利用集合相等求a；问题(2)转化为求f(x)+f(x+5)的最小值问题，可利用分段函数求解，也可利用绝对值不等式的性质求解.,【规范解答】(1)由f(x)3得|x-a|3, 解得a-3xa+3. 又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5, 所以 解得a=2. (2)方法一：当a=2时，f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5), 于是g(x)=|x-2|+|x+3|=,所以当x-3时，g(x)5; 当-3x2时，g(x)=5; 当x2时，g(x)5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)+f(x+5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立， 则m的取值范围为(-,5.,方法二：当a=2时，f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3x2时等号成立)得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)+f(x+5)m,即g(x)m对一切实数x恒成立， 则m的取值范围为(-，5.,【反思感悟】有关不等式恒成立问题，关键是求函数的最值，如af(x)在某一区间内恒成立，则af(x)min；如af(x)在某一区间内恒成立，则af(x)max.,【变式训练】设函数f(x)|x1|x2|. (1)解不等式f(x)3； (2)若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】(1)因为 f(x)=|x-1|+|x-2|= 所以当x1时，32x3，解得x0； 当1x2时，f(x)3无解； 当x2时，2x33，解得x3. 所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).,(2)因为f(x)= 所以f(x)min1. 因为f(x)a恒成立，所以a1， 即实数a的取值范围是(，1).,【变式备选】若不等式|x1|x3|a 对任意的实数 x恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】因为|x1|x3|4，故4a ， 当a0时，a+ 4，只有取a=2时，原不等式成立； 当a<0时，原不等式显然成立，故实数a的取值范围为 a|a<0或a=2.,